Objets reliés : forces de contact, tension et poulies

1. Garder ensemble les forces d’un seul objet

Le système est l’objet ou le groupe d’objets que vous choisissez d’étudier. Une force extérieure provient de l’extérieur de cette frontière. Une force intérieure décrit une interaction entre objets à l’intérieur. La même force de contact peut être extérieure pour un chariot et intérieure pour les deux chariots réunis.

Pour chaque diagramme, nommez d’abord l’objet qui subit les forces. Repérez ensuite ce qui le touche ou l’attire. Tracez uniquement les forces qui agissent sur lui. Un diagramme de forces remplace l’environnement par des flèches de force; une flèche d’accélération se place à côté, avec une étiquette qui la distingue des forces.

Si le chariot A pousse le chariot B vers la droite, B pousse A vers la gauche avec une force de même grandeur. Ces forces forment une paire de la troisième loi de Newton : elles décrivent la même interaction, mais agissent sur des objets différents. Elles ne s’annulent donc pas dans le diagramme d’un seul chariot. Elles s’éliminent quand on additionne les deux équations horizontales avec le même sens positif.

Le poids d’un chariot et la force de soutien de la piste agissent tous deux sur le chariot. Même lorsqu’ils se compensent, ils ne forment pas une paire de la troisième loi. La force associée à celle de la piste sur le chariot est celle du chariot sur la piste.

2. Relier les mouvements avant de calculer

1. Choisissez le système selon la question. Étudiez le groupe pour trouver une accélération commune et un seul objet pour trouver une force d’interaction. Le raccourci du groupe exige une relation de mouvement justifiée.
2. Tracez un diagramme de forces par objet et précisez le sens positif de chaque équation.
3. Écrivez la contrainte de mouvement : la relation imposée par le maintien du contact ou la longueur de la corde. Le simple fait que deux objets soient reliés ne prouve pas que leurs vecteurs accélération sont égaux.
4. Écrivez une équation des forces par objet. Le symbole Σ signifie « additionner les composantes des forces avec leur signe »; m est la masse de cet objet et a sa composante d’accélération suivant l’axe choisi.
5. Résolvez les équations ensemble, puis vérifiez le contact, la tension de la corde et l’hypothèse d’absence de glissement. Un résultat incompatible avec le modèle exige de changer de modèle.

Deux chariots qui restent appuyés l’un contre l’autre sur une piste droite ont la même accélération suivant la piste. Deux masses suspendues aux extrémités d’une corde tendue et inextensible passant sur une poulie fixe parcourent des distances égales dans des sens verticaux opposés. Leurs accélérations ont la même grandeur, mais leurs composantes verticales ont des signes opposés si vous utilisez un même axe orienté vers le haut.

Distinguez trois raisons : les forces d’une même interaction sont égales et opposées selon la troisième loi; la tension uniforme découle des hypothèses de corde et de poulie idéales; la relation entre accélérations découle de la géométrie et de la longueur de la corde.

3. Exemple résolu : deux chariots en contact

Le chariot A, de masse $m_A=2{,}0\,\mathrm{kg}$, se trouve juste à gauche du chariot B, de masse $m_B=3{,}0\,\mathrm{kg}$. Une force horizontale $F=15\,\mathrm N$ pousse A vers la droite. Les chariots partent ensemble sur une piste horizontale de résistance négligeable et restent en contact. Trouvez leur accélération et la force de contact. Choisissez la droite comme sens positif.

Lire le diagramme en mots

Une force de 15 N pousse le chariot A de 2 kg contre le chariot B de 3 kg. Les diagrammes séparés montrent la force appliquée vers la droite et le contact vers la gauche sur A, le contact vers la droite sur B, ainsi que le poids et la normale verticale sur chaque chariot.

La frontière en tirets entoure A et B; la poussée extérieure de 15 N la traverse. La droite est positive. Dans les diagrammes séparés, A reçoit F à droite, C à gauche, la normale de la piste N_A vers le haut et le poids m_A g vers le bas. B reçoit C à droite, la normale N_B vers le haut et le poids m_B g vers le bas. C vaut 9,0 N sur chaque chariot. Les deux forces C forment une paire de troisième loi sur des objets différents. Le poids et la normale d’un chariot ne forment pas une telle paire. F − C = m_A a et C = m_B a donnent a = 3,0 m/s². La flèche d’accélération en tirets est séparée des diagrammes de forces. Les flèches pleines sont des forces; leur longueur est schématique.

Notons $C$ la grandeur, positive ou nulle, de la force de contact. A subit la force appliquée vers la droite et la force de contact $C$ vers la gauche. B subit la force de contact $C$ vers la droite. Chacun subit aussi son propre poids vers le bas et la normale de la piste vers le haut; ces forces verticales se compensent. « Normale » signifie perpendiculaire à la surface de contact.

L’accélération horizontale commune est a. Les équations séparées sont :

Additionnez les équations. Les termes de contact s’éliminent parce qu’ils sont intérieurs au système des deux chariots :

Revenez au chariot B seul pour trouver la force qui l’accélère :

La force de contact vaut 9,0 N vers la droite sur B et 9,0 N vers la gauche sur A. La résultante sur A vaut donc 6,0 N vers la droite, ce qui convient à sa masse plus petite et à la même accélération. La force appliquée de 15 N est extérieure; ce n’est pas la force que A transmet à B.

Vérification du modèle : un contact ordinaire peut pousser, mais ne peut pas tirer. Ici, C est positif, donc le maintien du contact est cohérent. Si le mouvement supposé exigeait une grandeur de contact négative, il faudrait séparer les chariots et revoir leurs accélérations.

4. Exemple résolu : deux masses suspendues

Une masse gauche $m_L=2{,}0\,\mathrm{kg}$ et une masse droite $m_R=3{,}0\,\mathrm{kg}$ sont suspendues à une seule corde passant sur une poulie fixe. On les lâche sans vitesse initiale, avec assez d’espace pour bouger librement. La corde reste tendue, ne s’allonge pas et a une masse négligeable. La poulie a une inertie de rotation négligeable et un axe sans frottement. Ce sont les hypothèses de poulie idéale utilisées ici. Trouvez l’accélération et la tension.

Lire le diagramme en mots

Deux masses sont reliées par une corde sur une poulie fixe : 2 kg à gauche et 3 kg à droite. La tension est vers le haut sur chacune. L’accélération et le sens positif sont vers le haut à gauche, vers le bas à droite.

L’axe de la poulie est fixé au plafond. Une corde tendue monte verticalement depuis L, passe sur le demi-cercle supérieur de la poulie et descend verticalement vers R. L a une masse de 2,0 kg et R de 3,0 kg. Chaque diagramme comporte exactement deux forces : T vers le haut et le poids vers le bas. Un axe positif local en tirets, séparé des forces, pointe vers le haut pour L et vers le bas pour R. T = 23,52 N; les poids valent 19,6 N et 29,4 N. Ainsi T − m_Lg = m_La et m_Rg − T = m_Ra, avec a = 1,96 m/s². La tension uniforme vient du modèle idéal; les grandeurs égales d’accélération viennent de la longueur fixe de la corde. Les deux forces T dirigées vers le haut ne sont pas une paire de troisième loi. Les flèches en tirets de la scène représentent l’accélération. Les longueurs des flèches sont schématiques.

La tension $T$ est la force de traction exercée par la corde, dirigée le long de la corde en s’éloignant de la masse. Selon ces hypothèses, sa grandeur est la même des deux côtés. Chaque masse subit seulement deux forces : la tension vers le haut et le poids vers le bas. Choisissez le haut comme sens positif pour L et le bas pour R. Notons $a$ la grandeur positive commune de leurs accélérations pour le mouvement qu’on vérifie.

La longueur fixe de la corde impose que la masse gauche monte autant que la masse droite descend. Elle justifie le même a dans ces sens locaux opposés. L’addition des équations scalaires élimine T :

R accélère vers le bas et L vers le haut. Utilisez la masse gauche pour trouver la tension :

La tension se situe entre les deux poids, soit 19,6 N et 29,4 N. La résultante est donc vers le haut à gauche et vers le bas à droite. La masse qui descend accélère moins vite qu’en chute libre, car la tension réduit la résultante vers le bas.

Pourquoi la tension a-t-elle disparu?

Les deux forces de corde vers le haut sur les masses ne forment pas une paire de la troisième loi. Chacune est associée à la force de cette masse sur la corde. Nous avons choisi le haut comme sens positif à gauche et le bas à droite. T entre donc positivement dans une équation et négativement dans l’autre. Les tensions égales s’éliminent quand on additionne ces équations. Cette somme utilise deux axes locaux. Ce n’est pas une seule équation verticale globale pour des objets qui se déplacent ensemble : les masses suspendues accélèrent dans des sens opposés.

Ne réutilisez pas le modèle idéal dans un autre montage sans le vérifier. Une poulie dont l’inertie de rotation est appréciable peut nécessiter des tensions différentes de ses deux côtés. Une corde détendue n’impose pas la contrainte de mouvement d’une corde tendue.

5. Exemple résolu : quand les blocs superposés glissent

Le bloc du dessus a une masse $m=2{,}0\,\mathrm{kg}$; le bloc du dessous a une masse $M=4{,}0\,\mathrm{kg}$. Le sol sous le bloc du dessous est sans frottement. Une force horizontale $F$ pousse uniquement le bloc du dessous vers la droite. Entre les blocs, le coefficient de frottement statique vaut $\mu_s=0{,}30$ et le coefficient cinétique vaut $\mu_k=0{,}20$. Les blocs sont initialement au repos ensemble. Ils restent à plat, gardent leur contact vertical et ne basculent pas. Trouvez la plus grande force F qui leur permet de se déplacer ensemble.

Lire le diagramme en mots

Un bloc de 2 kg repose sur un bloc de 4 kg poussé vers la droite sur un sol sans frottement. Le dessus subit N vers le haut, mg vers le bas et le frottement vers la droite. Le dessous subit R vers le haut, Mg et N vers le bas, F vers la droite et le frottement vers la gauche.

Un bloc supérieur m = 2,0 kg repose sur un bloc inférieur M = 4,0 kg. F pousse seulement le dessous vers la droite; le sol est sans frottement. Le diagramme du dessus comprend N vers le haut, mg vers le bas et le frottement statique fₛ vers la droite. Celui du dessous comprend la normale du sol R vers le haut, son propre poids Mg vers le bas, la normale N du dessus vers le bas sur une flèche décalée distincte, F vers la droite et fₛ vers la gauche. N = mg, R = (M + m)g, fₛ = ma et F − fₛ = Ma tant que les blocs ne glissent pas. Les paires de normales et de frottements agissent sur des blocs différents. Après le début du glissement dans cet exemple, remplacer fₛ par fₖ dans les deux diagrammes; les sens restent les mêmes tant que le dessous glisse vers la droite sous le dessus. Les longueurs des flèches sont schématiques et ne sont pas des données numériques.

Notons $N$ la grandeur de la normale entre les blocs, $R$ la normale du sol sur le bloc du dessous et $f_s$ la grandeur du frottement statique entre les blocs. Sans accélération verticale, $N=mg$ pour le dessus et $R=(M+m)g$ pour le dessous. La normale du contact supérieur agit vers le haut sur le dessus et vers le bas sur le dessous. Le frottement agit vers la droite sur le dessus et vers la gauche sur le dessous.

Supposez d’abord qu’il n’y a pas de glissement relatif. Les blocs ont alors la même accélération horizontale a; cela ne signifie pas qu’ils sont immobiles dans la pièce. Les deux équations horizontales sont :

Le bloc du dessus a besoin du frottement pour accélérer. Comparez ce frottement nécessaire à la limite statique disponible :

L’accélération maximale sans glissement et la poussée maximale valent donc :

Pour F = 12 N, l’accélération commune vaut 2,0 m/s² et le frottement nécessaire vaut 4,0 N. Le maximum statique disponible est 5,88 N : le mouvement sans glissement est donc compatible avec le modèle. Le frottement statique réel vaut 4,0 N, et non son maximum de 5,88 N.

Qu’est-ce qui change au-delà du seuil?

Appliquez maintenant $F=24\,\mathrm N$ aux blocs initialement au repos. L’hypothèse d’accélération commune demanderait un frottement de 8,0 N, supérieur à 5,88 N. Le bloc du dessous glisse vers la droite sous celui du dessus. Utilisez le frottement cinétique, de grandeur $f_k=\mu_kN$, et attribuez des accélérations distinctes $a_t$ au dessus et $a_b$ au dessous, toutes deux positives vers la droite.

Les deux accélèrent vers la droite, mais le dessous accélère davantage. Le dessus glisse donc vers la gauche par rapport au dessous. Le frottement sur le dessus demeure dirigé vers la droite : il s’oppose au glissement relatif au contact. Ces équations s’appliquent tant que ce glissement continue et que les blocs se chevauchent encore. Après le début du glissement, il n’y a plus une seule accélération commune à utiliser dans l’équation des deux blocs.

6. Essayez quatre exercices

Utilisez g = 9,8 m/s² partout. Tracez les forces et écrivez la relation de mouvement avant d’ouvrir un indice. Les exercices passent de l’identification des interactions à la vérification d’un modèle, puis à sa modification.

Exercice 1 : quelles forces vont ensemble?

Deux chariots A et B restent en contact sur une piste horizontale sans frottement pendant qu’une main pousse A vers B. Identifiez (a) la force associée à la force de contact de A sur B, (b) si cette paire est intérieure au système A + B et (c) si le poids de A et la force de la piste sur A forment une paire de la troisième loi. Expliquez pourquoi les résultantes sur les deux chariots n’ont pas forcément la même grandeur.

Exercice 2 : pousser de l’autre côté

Sur une piste horizontale sans frottement, le chariot A (1,5 kg) se trouve à gauche du chariot B (2,5 kg); ils sont initialement immobiles et en contact. Poussez d’abord A vers la droite avec 10 N. Trouvez l’accélération et la force de contact. Dans un essai distinct avec le même montage au repos, poussez B vers la gauche avec 10 N. Recommencez les calculs. Une poussée de même grandeur implique-t-elle une même force de contact?

Exercice 3 : un chariot tiré par une masse suspendue

Un chariot de 3,0 kg repose sur une table horizontale sans frottement. Une corde horizontale relie le chariot à une poulie idéale fixe au bord droit, puis descend verticalement jusqu’à une masse suspendue de 1,0 kg. La corde est tendue, de masse négligeable et inextensible; l’inertie de rotation de la poulie et le frottement de son axe sont négligeables. Après le lâcher sans vitesse initiale, le chariot avance vers la poulie. Trouvez l’accélération de chaque objet et la tension avant qu’un obstacle arrête le mouvement.

Exercice 4 : vérifier l’accélération commune

Un bloc de 1,5 kg repose sur un bloc de 3,5 kg posé sur un sol sans frottement. Entre les blocs, le coefficient de frottement statique vaut μs = 0,40 et le coefficient cinétique vaut μk = 0,25. Les deux partent du repos, restent à plat et ne basculent pas. Une force horizontale pousse uniquement le bloc du dessous vers la droite. (a) Avec une poussée de 15 N, les blocs se déplacent-ils ensemble? Trouvez l’accélération et le frottement. (b) Trouvez la plus grande poussée permettant l’absence de glissement. (c) Dans un nouvel essai partant du repos, appliquez 25 N. Trouvez l’accélération de chaque bloc tant qu’ils glissent l’un par rapport à l’autre et restent en contact.

7. Vérification facultative : les accélérations ne sont pas toujours égales

Une extrémité de corde est fixée au plafond. La corde descend autour d’une poulie mobile qui porte une charge, remonte sur une poulie fixe au plafond, puis redescend jusqu’à une extrémité libre. Elle reste tendue et inextensible. La poulie se déplace uniquement à la verticale, et les trois segments droits de longueur variable restent verticaux : les deux qui soutiennent la poulie mobile et celui qui va à l’extrémité libre.

Lire le diagramme en mots

Une corde fixée au plafond passe sous une poulie mobile portant une charge, sur une poulie fixe au plafond, puis descend vers une extrémité libre. Deux segments variables soutiennent la poulie mobile; un segment variable mène à l’extrémité libre.

Une extrémité de corde est fixée au plafond. La corde descend le long du segment 1, passe sous la poulie mobile, remonte par le segment 2, passe sur la poulie fixe supérieure puis descend par le segment 3 jusqu’au bout libre. La charge est reliée à l’axe de la poulie mobile, et non à une extrémité de corde. Les trois segments rectilignes de longueur variable sont verticaux. Les positions yₚ et yₑ sont mesurées vers le bas depuis la même référence fixe au plafond, avec des lignes de cote en tirets séparées. Les longueurs d’enroulement et les décalages fixes sont inclus dans c : 2yₚ + yₑ + c = L. Les segments 1 et 2 raccourcissent chacun de 1 cm lorsque la poulie monte de 1 cm; le segment 3 s’allonge de 2 cm et le bout libre descend de 2 cm. Les flèches en tirets du second panneau représentent des déplacements, pas des forces. En dérivant, 2aₚ + aₑ = 0 et aₑ = −2aₚ pour les accélérations algébriques comptées vers le bas.

Notons $y_p$ la position de la poulie mobile vers le bas et $y_e$ celle de l’extrémité libre vers le bas, chacune mesurée depuis un repère horizontal fixe. Notons $L$ la longueur totale fixe de la corde et $c$ la contribution constante des portions fixes de corde et des décalages géométriques dans ces mesures de position. La relation de longueur est :

Si la poulie mobile monte de 1 cm, chacun des segments qui la soutiennent raccourcit de 1 cm. Le segment de l’extrémité libre doit donc s’allonger de 2 cm : cette extrémité descend de 2 cm. Le même rapport fixe s’applique aux vitesses et aux accélérations.

Avec $a_p$ et $a_e$ les accélérations signées vers le bas de la poulie et de l’extrémité libre :

L’accélération de l’extrémité libre a une grandeur deux fois plus grande que celle de la poulie mobile et un sens opposé. Une seule corde ne garantit pas des accélérations de même grandeur. Dessinez les segments de corde qui changent avant d’écrire la contrainte.

8. Vérifier la méthode et choisir la suite

• Pouvez-vous nommer l’objet qui subit chaque force?
• Pouvez-vous identifier l’hypothèse qui relie les accélérations?
• Êtes-vous revenu à un seul objet pour trouver la force de contact ou la tension?
• Avez-vous vérifié que le contact, la tension et le frottement respectent le modèle choisi?

Vérifier vos diagrammes et vos équations avec un tuteur

Apportez un problème qui vous bloque. Vous n’avez pas besoin d’avoir commencé une solution. Vous pouvez partir de l’énoncé avec votre tuteur, dessiner les forces sur chaque objet et expliquer comment la corde ou le contact relie leurs mouvements. Si vous avez déjà une tentative de solution, votre tuteur peut vous aider à repérer et à corriger la première étape qui ne découle pas du diagramme ou des hypothèses. Essayez ensuite vous-même un problème semblable, avec une vérification du glissement. Renseignez-vous sur le tutorat en mécanique.

Liens avec les cours

Ces exercices thématiques peuvent accompagner le travail sur les lois de Newton et les objets en interaction en mécanique 203-AS1-MS et en mécanique 203-SN1-RE à Marianopolis. Votre plan de cours actuel indique les modèles et le niveau de détail pertinents.

Pour approfondir le choix et le tracé des forces, revenez aux diagrammes de forces et au frottement. Pour une vitesse après un déplacement ou une collision, comparez les méthodes dans travail, énergie ou quantité de mouvement.