Points, pente et graphiques de droites

Commencer par ce que montre un graphique

Un graphique place des couples de nombres dans un dessin. Dans cette leçon, l’axe horizontal représente l’entrée et l’axe vertical représente la sortie. Lisez le nom des axes et la valeur de chaque graduation avant de lire un point.

Vous utiliserez des nombres entiers, des nombres négatifs et des équations simples. Si remplacer une variable par une valeur ou résoudre $2x+1=7$ vous pose problème, commencez par le bloc d’algèbre de base de notre guide existant.

Une fonction associe une seule sortie à chaque entrée permise. La notation $f(2)$ signifie « la sortie lorsque l’entrée vaut 2 »; elle ne signifie pas $f\times2$ .

1 Lire un couple de coordonnées

Dans un point $(x,y)$ , on écrit d’abord la coordonnée horizontale, puis la coordonnée verticale. L’origine est le point $(0,0)$ , où les axes se croisent. Les valeurs horizontales positives sont à droite; les valeurs verticales positives sont au-dessus de l’origine.

Exemple résolu : placer $A=(-2,3)$ . À partir de l’origine, déplacez-vous de 2 unités vers la gauche, puis de 3 unités vers le haut. Une unité correspond à une graduation du dessin; aucune unité physique n’est attribuée aux axes.

Le point A est à deux unités à gauche et trois unités au-dessus de l’origine. — Les deux axes sont gradués de $-3$ à 3 à intervalles réguliers d’une unité. Le point $A=(-2,3)$ est indiqué.

À vous

où se situe $B=(2,-1)$ ?

Réponse et raisonnement

à 2 unités vers la droite et à 1 unité vers le bas de l’origine. Inverser les coordonnées donnerait $(-1,2)$ , un autre point.

2 Passer d’une règle à des points

Exemple résolu : la règle $f(x)=2x+1$ demande de doubler l’entrée, puis d’ajouter 1. Remplacez $x$ par chaque entrée :

$x=0$ : $f(0)=2(0)+1=1$ , donc le point est $(0,1)$ .
$x=1$ : $f(1)=2(1)+1=3$ , donc le point est $(1,3)$ .
$x=2$ : $f(2)=2(2)+1=5$ , donc le point est $(2,5)$ .

Placez ces points. Cette règle est définie pour toute entrée réelle et produit une droite : tracez donc la droite qui les relie. Trois points dans une table ne prouvent pas à eux seuls qu’une règle inconnue produit une droite; c’est la règle donnée ici qui le justifie.

Une droite passe par les points (0,1), (1,3) et (2,5). Sa pente est 2. — Le dessin montre les trois points et une droite qui se prolonge au-delà, avec une unité par graduation sur les deux axes.

À vous

pour $g(x)=x-2$ , trouvez les sorties lorsque $x=0,2,4$ , puis écrivez les trois points.

Réponse et raisonnement

les sorties sont $-2,0,2$ , ce qui donne $(0,-2)$ , $(2,0)$ et $(4,2)$ . L’entrée reste la première coordonnée de chaque couple.

3 Mesurer la variation avec une pente

Pour une droite non verticale, la pente est la variation de la coordonnée verticale divisée par la variation de la coordonnée horizontale. Gardez le même ordre dans les deux soustractions.

Exemple résolu : utilisez les points $(0,1)$ et $(2,5)$ de la règle précédente.

\text{pente}=\frac{5-1}{2-0}=\frac{4}{2}=2.

La droite monte de 2 unités verticales chaque fois que l’entrée augmente de 1 unité. Inverser l’ordre des deux points donne la même pente : $(1-5)/(0-2)=(-4)/(-2)=2$ .

À vous

trouvez la pente de la droite passant par $(1,7)$ et $(4,1)$ .

Réponse et raisonnement

$(1-7)/(4-1)=-6/3=-2$ . La sortie diminue de 2 chaque fois que l’entrée augmente de 1 le long de cette droite.

Une droite horizontale a une pente de 0. La pente d’une droite verticale n’est pas définie, car sa variation horizontale vaut 0; on ne peut pas diviser par 0.

4 Lire la règle d’une droite

Une droite non verticale peut s’écrire $y=mx+b$ . Ici, $x$ est la coordonnée d’entrée, $y$ la coordonnée de sortie, $m$ la pente et $b$ la sortie lorsque $x=0$ . Le point $(0,b)$ est l’intersection avec l’axe des ordonnées; sa coordonnée $b$ est l’ordonnée à l’origine.

Pour $y=2x+1$ , la pente vaut 2 et l’intersection avec l’axe des ordonnées est $(0,1)$ . Pour trouver l’intersection avec l’axe des abscisses, posez $y=0$ : $0=2x+1$ , donc $x=-1/2$ . Le point d’intersection est $(-1/2,0)$ . Un point d’intersection n’est pas une pente.

Application résolue : un réservoir contient initialement 6 litres d’eau et se remplit à un débit constant de 3 litres par minute. Soit $t$ le temps écoulé, mesuré en minutes, et $V$ le volume, mesuré en litres. Avant que le réservoir soit plein,

V=3t+6.

La pente représente 3 litres par minute. L’ordonnée à l’origine représente les 6 litres présents au départ. Pour $t=4$ , $V=3(4)+6=18$ : le réservoir contient donc 18 litres, à condition de ne pas s’être rempli auparavant. On utilise $t\ge0$ et on cesse d’appliquer ce modèle lorsque le réservoir est plein. Le contexte peut restreindre l’utilisation d’une règle algébrique.

À vous

un autre réservoir contient initialement 5 litres et se remplit à 2 litres par minute. Écrivez sa règle et trouvez son volume après 3 minutes, en supposant qu’il n’est pas encore plein.

Réponse et raisonnement

$V=2t+5$ , avec $t$ mesuré en minutes et $V$ en litres. Pour $t=3$ , le volume est de 11 litres. La pente est de 2 litres par minute, et non de 11 litres par minute.

Le point de rencontre de deux droites : remplacer une variable par une expression égale

L’équation d’une droite décrit plusieurs points. Un système demande des coordonnées qui vérifient deux équations en même temps. Ici, $x$ et $y$ sont des nombres réels qui représentent les coordonnées horizontale et verticale. Une solution est un couple $(x, y)$ , pas seulement une valeur de $x$ .

Exemple résolu

Trouvez le point commun à ces deux droites :

$y = 2x + 1$

$x + y = 7$

La première équation indique que $y$ et $2x + 1$ ont la même valeur en chaque point de cette droite. Nous pouvons donc remplacer $y$ par l’expression entière $2x + 1$ dans la deuxième équation. C’est la substitution :

$x + (2x + 1) = 7$

$3x + 1 = 7$

$3x = 6$

$x = 2$

Les parenthèses gardent l’expression de remplacement groupée. Revenez maintenant à la première équation initiale pour retrouver $y$ :

$y = 2(2) + 1 = 5$

La solution candidate est $(2, 5)$ .

Vérifiez les deux équations initiales :

$5 = 2(2) + 1$ est vrai.

$2 + 5 = 7$ est vrai.

Le point $(2, 5)$ appartient donc aux deux droites. Leurs pentes sont différentes : la deuxième règle peut s’écrire $y = -x + 7$ . Elles se rencontrent en un seul point. Sur un croquis, placez leur intersection à $x = 2$ et $y = 5$ ; chaque droite doit passer par ce point.

Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle?

Toute solution commune vérifie $y = 2x + 1$ . Elle doit donc aussi vérifier $x + (2x + 1) = 7$ . Inversement, si $x$ résout cette dernière équation et que l’on définit $y = 2x + 1$ , les deux équations initiales sont vérifiées. Conserver la première équation permet de retrouver le couple complet. Remplacer $y$ dans la première équation elle-même donnerait seulement $2x + 1 = 2x + 1$ , ce qui n’ajoute aucune contrainte.

Pour ces mêmes droites, on peut aussi utiliser la comparaison : écrivez les deux règles sous la forme $y = \cdots$ , puis égalisez leurs expressions, $2x + 1 = -x + 7$ . On obtient encore $x = 2$ . La substitution est particulièrement pratique lorsqu’une équation donne déjà une variable isolée.

Trois courtes vérifications

Vérification 1

Vérifier un point proposé. Pour le système initial $y = 2x + 1$ et $x + y = 7$ , le point $(1, 3)$ est-il une solution? Vérifiez chaque équation.

Réponse et raisonnement pour la vérification 1

La première est vérifiée, car $3 = 2(1) + 1$ . La deuxième ne l’est pas, car $1 + 3 = 4$ , et non 7. Appartenir à une seule droite ne suffit pas.

Vérification 2

Nouvel essai guidé. Résolvez $y = 3x$ et $x + y = 8$ . Commencez par remplir l’espace : $x + (\square) = 8$ . Trouvez ensuite les deux coordonnées et vérifiez-les.

Réponse et raisonnement pour la vérification 2

Remplacez $y$ par $3x$ : $x + 3x = 8$ . Ainsi, $4x = 8$ et $x = 2$ . Puis $y = 3(2) = 6$ . Les deux équations initiales sont vérifiées : $6 = 3(2)$ et $2 + 6 = 8$ . La solution est $(2, 6)$ .

Vérification 3

Nouvel essai autonome. Résolvez $y = 2x$ et $x + y = 5$ . Conservez les fractions exactes et vérifiez le couple dans les deux équations.

Réponse et raisonnement pour la vérification 3

La substitution donne $x + 2x = 5$ , donc $3x = 5$ et $x = \frac{5}{3}$ . Alors $y = \frac{10}{3}$ . Vérification : $\frac{10}{3} = 2(\frac{5}{3})$ , et $\begin{aligned}\frac{5}{3}+\frac{10}{3}&=\frac{15}{3}\\&=5.\end{aligned}$ La solution est $(\frac{5}{3}, \frac{10}{3})$ . Les coordonnées ne sont pas nécessairement des nombres entiers.

Choisir la suite

Si regrouper les termes était difficile, revoyez l’algèbre de base et les équations. Si placer un point était difficile, revoyez la section sur les couples ci-dessus. Ces exemples ont une seule intersection; d’autres systèmes peuvent n’avoir aucun point commun ou en avoir une infinité. Lorsque votre cours aborde l’élimination ou les matrices, la leçon existante sur les opérations par lignes explique ces cas et pourquoi ses opérations conservent les solutions.

Approfondissement facultatif : distance, point milieu et médiatrice

Une pente décrit une direction. Une distance mesure une longueur. Un point milieu est une position. Apprenez à choisir la grandeur demandée, puis à combiner ces notions pour déterminer une droite ou vérifier une propriété géométrique.

Commencez lorsque vous savez lire des coordonnées, calculer avec des nombres signés et des fractions, calculer une pente et résoudre une équation du premier degré. Pour la formule de distance, vous utiliserez aussi Pythagore et les racines carrées. Les coordonnées sont des nombres réels dans un repère cartésien aux axes perpendiculaires. Les deux axes utilisent la même unité de longueur. Si un problème ne précise aucune unité physique, exprimez les longueurs en unités.

1. Construire la distance à partir d’un triangle rectangle

Soient les extrémités $A=(x_1,y_1)$ et $B=(x_2,y_2)$ . Les indices servent à distinguer les deux points; ce ne sont pas des exposants. Pour aller de $A$ à $B$ , les accroissements des coordonnées sont

\Delta x=x_2-x_1,\qquad \Delta y=y_2-y_1.

Ces accroissements peuvent être négatifs. La valeur absolue $|u|$ est la distance, positive ou nulle, entre un nombre réel $u$ et zéro; par exemple, $|-4|=4$ . Tracez un déplacement horizontal et un déplacement vertical entre les extrémités. Leurs longueurs sont $|\Delta x|$ et $|\Delta y|$ , et ils forment un angle droit. Lorsque les deux accroissements sont non nuls, le segment direct $AB$ est l’hypoténuse. Si $d$ désigne sa longueur, la relation de Pythagore donne

d^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2.

Une longueur est positive ou nulle. On prend donc la racine carrée non négative :

d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

La formule convient aussi aux segments horizontaux ou verticaux : l’un des accroissements au carré vaut zéro. Si les deux accroissements sont nuls, les points sont confondus et la distance vaut zéro. Inverser les extrémités change le signe des deux accroissements, mais les carrés conservent la même distance.

Exemple résolu 1 : distinguer le segment direct du trajet en deux étapes

Calculez la distance entre $A=(-3,1)$ et $B=(3,9)$ . L’accroissement horizontal est $3-(-3)=6$ , et l’accroissement vertical est $9-1=8$ . Ainsi,

d(A,B)=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10.

La distance est de 10 unités. Un trajet de 6 unités à l’horizontale, puis de 8 unités à la verticale, mesure 14 unités; ce n’est pas le segment direct. La pente de la droite qui porte ce segment vaut $8/6=4/3$ , ce qui représente encore une autre grandeur. Ne divisez pas les accroissements lorsqu’on demande une longueur.

2. Trouver le point à mi-chemin sur le segment

Pour atteindre le point milieu $M$ , partez de $A$ et effectuez la moitié de chaque accroissement :

\begin{aligned}x_M&=x_1+\frac{x_2-x_1}{2}=\frac{x_1+x_2}{2},\\y_M&=y_1+\frac{y_2-y_1}{2}=\frac{y_1+y_2}{2}.\end{aligned}

On obtient donc

M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).

Faites la moyenne des deux abscisses, puis celle des deux ordonnées. La moitié des accroissements donne seulement un déplacement à partir de $A$ . Pour obtenir les coordonnées du point milieu, il faut ajouter les coordonnées de départ.

Exemple résolu 2 : vérifier les deux moitiés

Pour les mêmes points $A=(-3,1)$ et $B=(3,9)$ ,

M=\left(\frac{-3+3}{2},\frac{1+9}{2}\right)=(0,5).

De $A$ à $M$ , les accroissements sont $(3,4)$ . De $M$ à $B$ , ils sont aussi $(3,4)$ . Chaque moitié mesure $\sqrt{3^2+4^2}=5$ , soit la moitié de 10. Le point milieu est le point $(0,5)$ ; la demi-longueur est le nombre 5.

3. Combiner un point milieu et une direction perpendiculaire

Pour deux extrémités distinctes, la médiatrice est la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à la droite qui le porte. Les deux conditions comptent : une droite qui passe par le milieu n’est pas nécessairement perpendiculaire.

Pour une droite de pente $m$ , ni horizontale ni verticale, une droite perpendiculaire a pour pente $-1/m$ . Pour comprendre le signe et l’inverse, faites subir un quart de tour au déplacement $(\Delta x,\Delta y)$ : le nouveau déplacement est $(-\Delta y,\Delta x)$ . Sa pente vaut $\Delta x/(-\Delta y)=-1/m$ . Ce raisonnement utilise des axes perpendiculaires et la même unité de longueur sur les deux axes.

Si le segment initial est horizontal, sa médiatrice est verticale : $x=x_M$ .
Si le segment initial est vertical, sa médiatrice est horizontale : $y=y_M$ .
Ne calculez pas $-1/0$ et n’attribuez pas une pente numérique à une droite verticale.
Si les extrémités sont confondues, elles ne déterminent pas une médiatrice unique. Tous les points sont à la même distance de ces deux extrémités identiques.

Exemple résolu 3 : construire l’équation, puis vérifier les conditions

Déterminez la médiatrice du segment reliant $C=(0,0)$ à $D=(6,4)$ .

Trouver le point milieu. $M=((0+6)/2,(0+4)/2)=(3,2)$ .
Trouver la direction. La pente de $CD$ vaut $4/6=2/3$ . La pente perpendiculaire vaut donc $-3/2$ .
Utiliser le milieu pour trouver l’ordonnée à l’origine. Écrivez $y=-\frac32x+b$ . Puisque $(3,2)$ appartient à cette droite, $2=-\frac32(3)+b$ , d’où $b=\frac{13}{2}$ .

y=-\frac32x+\frac{13}{2}.

Vérifiez le point : pour $x=3$ , la règle donne $y=2$ . Vérifiez la direction : $(2/3)(-3/2)=-1$ . Ces deux vérifications établissent que la droite est la médiatrice.

Tout point de cette droite est à égale distance de $C$ et de $D$ . Pour un point autre que $M$ , les deux triangles rectangles formés avec ce point, $M$ et une extrémité ont les mêmes longueurs pour leurs deux côtés de l’angle droit : la distance commune à $M$ et les deux demi-longueurs égales du segment. La relation de Pythagore donne donc des distances égales aux extrémités. Au point $M$ , cette égalité découle de la définition du milieu.

La réciproque est également vraie : tout point à égale distance de deux extrémités distinctes appartient à leur médiatrice. Pour ces deux extrémités, vérifiez la réciproque par le calcul en développant les carrés et en regroupant les termes. Un point $P=(x,y)$ a des distances égales exactement lorsque leurs carrés sont égaux, puisque les distances sont positives ou nulles :

\begin{aligned}x^2+y^2&=(x-6)^2+(y-4)^2,\\x^2+y^2&=x^2-12x+36+y^2-8y+16,\\12x+8y&=52,\\y&=-\frac32x+\frac{13}{2}.\end{aligned}

Chaque étape est réversible. La condition d’égalité des distances donne exactement la droite trouvée.

4. Utiliser la droite pour choisir une position

Exemple résolu 4 : un point équidistant sur un sentier

Sur le plan d’une cour, les coordonnées sont mesurées en mètres sur les deux axes. Deux repères se trouvent en $C=(0,0)$ et en $D=(6,4)$ . Un sentier rectiligne suit $y=5$ . À quel endroit du sentier une fontaine pourrait-elle être à égale distance des deux repères? Dans ce modèle, considérez le sentier comme la droite entière.

La fontaine doit se trouver à la fois sur la médiatrice calculée ci-dessus et sur le sentier. Remplacez $y$ par 5 :

5=-\frac32x+\frac{13}{2}\quad\Longrightarrow\quad10=-3x+13\quad\Longrightarrow\quad x=1.

Le point candidat est $P=(1,5)$ . Vérifiez à l’aide des distances calculées à partir des coordonnées initiales :

\begin{aligned}d(P,C)&=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}\ \mathrm m,\\d(P,D)&=\sqrt{(1-6)^2+(5-4)^2}=\sqrt{26}\ \mathrm m.\end{aligned}

Les deux distances sont égales, et $P$ appartient à $y=5$ . Les deux droites ont des pentes différentes; leur intersection est donc unique. Si un sentier réel se limite à un segment, ses extrémités imposent une restriction supplémentaire. Vérifiez-la avant de choisir une position.

Huit exercices, d’une seule étape à une nouvelle situation

Essayez chaque exercice avant d’ouvrir l’indice ou la réponse. Sauf indication contraire, les coordonnées n’ont pas d’unité physique. Un croquis aide à organiser les données; il ne remplace pas le calcul.

1. Commencer par un segment horizontal

Pour $A=(-4,3)$ et $B=(5,3)$ , trouvez la distance et le point milieu sans calculatrice.

Indice

L’ordonnée reste fixe. Quel est l’écart entre les abscisses, et quelle est leur moyenne?

Réponse expliquée

La distance vaut $|5-(-4)|=9$ unités. Le point milieu est $((-4+5)/2,(3+3)/2)=(1/2,3)$ . Un point milieu peut avoir une coordonnée fractionnaire même si les coordonnées des extrémités sont entières.

2. Distinguer longueur et position

Pour $A=(-1,2)$ et $B=(3,5)$ , trouvez la distance et le point milieu. Vérifiez la distance entre le milieu et chacune des extrémités.

Indice

Les accroissements complets valent 4 et 3; ceux de chaque demi-segment valent 2 et $3/2$ .

Réponse expliquée

La distance vaut $\sqrt{4^2+3^2}=5$ unités. Le point milieu est $(1,7/2)$ . Chaque moitié mesure $\sqrt{2^2+(3/2)^2}=\sqrt{25/4}=5/2$ unités. Donnez le milieu sous forme de couple de coordonnées, et non sous forme de demi-longueur.

3. Retrouver une extrémité à partir du milieu

Une extrémité est $A=(-5,4)$ , et le point milieu est $M=(1,-2)$ . Trouvez l’autre extrémité $B$ .

Indice

Écrivez $(-5+x_B)/2=1$ et $(4+y_B)/2=-2$ .

Réponse expliquée

Les équations donnent $-5+x_B=2$ et $4+y_B=-4$ , donc $B=(7,-8)$ . Vérification : $((-5+7)/2,(4-8)/2)=(1,-2)$ . Faire la moyenne de $A$ et de $M$ donnerait le milieu du mauvais segment.

4. Construire une médiatrice sans l’exemple

Déterminez la médiatrice du segment reliant $C=(-2,1)$ et $D=(2,3)$ . Vérifiez les deux conditions requises.

Indice

Trouvez le milieu et la pente de $CD$ avant d’écrire la règle de la nouvelle droite.

Réponse expliquée

Le milieu est $(0,2)$ . La pente initiale vaut $(3-1)/(2-(-2))=1/2$ ; la pente perpendiculaire vaut $-2$ . La droite a pour équation $y=-2x+2$ . Elle contient $(0,2)$ , et $(1/2)(-2)=-1$ ; c’est donc la médiatrice recherchée.

5. Traiter les exceptions

Déterminez la médiatrice de (a) $A=(2,-3)$ , $B=(2,7)$ ; (b) $C=(-4,6)$ , $D=(8,6)$ . Expliquez pourquoi il n’est pas nécessaire de calculer l’inverse d’une pente.

Indice

Un segment vertical a une médiatrice horizontale; un segment horizontal a une médiatrice verticale.

Réponse expliquée

(a) Le segment est vertical et son milieu est $(2,2)$ , donc sa médiatrice est $y=2$ . (b) Le segment est horizontal et son milieu est $(2,6)$ , donc sa médiatrice est $x=2$ . La pente d’une droite verticale n’est pas définie, et l’inverse multiplicatif de zéro n’existe pas.

6. Conserver toutes les positions possibles

Soit $A=(2,1)$ et $B=(x,5)$ . La distance $AB$ vaut 5 unités. Trouvez toutes les valeurs possibles de $x$ . Laquelle reste si $B$ est à droite de $A$ ?

Indice

Élevez au carré les deux membres non négatifs de l’équation de distance, puis résolvez $(x-2)^2=9$ .

Réponse expliquée

À partir de $\sqrt{(x-2)^2+16}=5$ , on obtient $(x-2)^2=9$ . Donc $x-2=3$ ou $x-2=-3$ , ce qui donne $x=5$ ou $x=-1$ . Les deux donnent la distance $\sqrt{9+16}=5$ . La condition « à droite de $A$ » exige $x>2$ , donc seule la valeur $x=5$ reste. La valeur non négative $\sqrt9=3$ se distingue des deux solutions de $u^2=9$ .

7. Vérifier une propriété géométrique

Un triangle a pour sommets $A=(-2,0)$ , $B=(4,0)$ , $C=(1,4)$ . Vérifiez que $AC=BC$ , puis montrez que la droite passant par $C$ et par le milieu de $AB$ est perpendiculaire à $AB$ . Le triangle est-il équilatéral?

Indice

Comparez les carrés des distances. Vérifiez si $AB$ et la droite passant par son milieu sont horizontales ou verticales.

Réponse expliquée

$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ et $BC=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$ . Le milieu de $AB$ est $(1,0)$ ; la droite passant par ce point et par $C$ est donc $x=1$ . Elle est verticale, tandis que $AB$ appartient à la droite horizontale $y=0$ ; les droites sont perpendiculaires. Le triangle est isocèle. Il n’est pas équilatéral, car $AB=6$ , alors que les deux autres côtés mesurent 5.

8. Vérifier si une réponse mathématique respecte le sentier

Sur un plan gradué en mètres, les repères sont $A=(0,0)$ et $B=(8,4)$ . Un sentier contient uniquement les points qui vérifient $x=2$ et $0\leq y\leq5$ : l’ordonnée est comprise entre 0 et 5, bornes incluses. Un point de ce sentier peut-il être à égale distance des repères? Justifiez votre réponse.

Indice

Trouvez la médiatrice et son intersection avec $x=2$ , puis vérifiez les ordonnées permises.

Réponse expliquée

Le milieu est $(4,2)$ , et la pente de $AB$ vaut $1/2$ . Sa médiatrice a pour pente $-2$ , donc $y=-2x+10$ . Pour $x=2$ , elle donne $y=6$ . C’est la seule intersection avec la droite verticale, mais 6 est hors de $[0,5]$ . Aucun point du sentier décrit ne convient. Vous pouvez vérifier la conclusion directement : au point $(2,y)$ , l’égalité des carrés des distances exige $4+y^2=36+(y-4)^2$ , qui se simplifie en $8y=48$ , donc encore $y=6$ . Le point $(2,6)$ est bien à la même distance des repères, soit $\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ mètres; il ne respecte pas la restriction du sentier.

Choisir un nouvel essai. Pour une erreur de signe ou de racine carrée, refaites les exercices 1 et 2 en vérifiant les différences de coordonnées initiales. Pour un milieu oublié ou une direction perpendiculaire incorrecte, revenez aux exercices 3 à 5. Pour une solution perdue ou une position inadmissible, refaites les exercices 6 à 8 et énoncez la restriction géométrique avant de choisir une réponse.

Où se situent ces notions?

Ces notions font partie du cours MPM2D de 10e année en Ontario. Au Québec, la distance et les droites perpendiculaires sont étudiées en 4e secondaire; le point milieu fait partie de la 4e secondaire en CST et en TS, et de la 5e secondaire en SN. Commencez par les exercices qui correspondent à ce que vous étudiez en classe.

Réessayer sans les exemples résolus

Pour $h(x)=-x+4$ , trouvez $h(-2)$ , la pente et l’intersection avec l’axe des ordonnées.
Trouvez la pente de la droite passant par $(-1,2)$ et $(3,2)$ . Écrivez une équation de cette droite.
Une droite de pente 3 passe par $(0,-2)$ . Écrivez sa règle et trouvez la sortie lorsque $x=2$ .

Réponse et raisonnement pour la question 1

$h(-2)=-(-2)+4=6$ ; pente $-1$ ; intersection $(0,4)$ .

Réponse et raisonnement pour la question 2

Pente $(2-2)/(3-(-1))=0/4=0$ ; équation $y=2$ .

Réponse et raisonnement pour la question 3

$y=3x-2$ ; lorsque $x=2$ , $y=4$ .

Avant de continuer, expliquez avec vos mots un point, une pente et une intersection avec un axe. Pour travailler les longueurs et les angles, passez à « Triangles rectangles : longueurs et angles ».

Besoin d’aide pour relier les coordonnées à la règle? En tutorat d’algèbre et de précalcul, votre tuteur peut reprendre l’étape qui vous pose problème, puis vous accompagner pendant que vous tracez vous-même un graphique semblable.

Points, pente et graphiques de droites

Commencer par ce que montre un graphique

1 Lire un couple de coordonnées

À vous

2 Passer d’une règle à des points

À vous

3 Mesurer la variation avec une pente

À vous

4 Lire la règle d’une droite

À vous

Le point de rencontre de deux droites : remplacer une variable par une expression égale

Exemple résolu

Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle?

Trois courtes vérifications

Vérification 1

Vérification 2

Vérification 3

Choisir la suite

Approfondissement facultatif : distance, point milieu et médiatrice

1. Construire la distance à partir d’un triangle rectangle

Exemple résolu 1 : distinguer le segment direct du trajet en deux étapes

2. Trouver le point à mi-chemin sur le segment

Exemple résolu 2 : vérifier les deux moitiés

3. Combiner un point milieu et une direction perpendiculaire

Exemple résolu 3 : construire l’équation, puis vérifier les conditions

4. Utiliser la droite pour choisir une position

Exemple résolu 4 : un point équidistant sur un sentier

Huit exercices, d’une seule étape à une nouvelle situation

1. Commencer par un segment horizontal

2. Distinguer longueur et position

3. Retrouver une extrémité à partir du milieu

4. Construire une médiatrice sans l’exemple

5. Traiter les exceptions

6. Conserver toutes les positions possibles

7. Vérifier une propriété géométrique

8. Vérifier si une réponse mathématique respecte le sentier

Où se situent ces notions?

Réessayer sans les exemples résolus

Utile pour

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Fonctions : transformations, composition et réciproques