Roulement sans glissement : frottement, forces et énergie

1. Définir le modèle avant de choisir une équation

On modélise un corps rigide circulaire sur une surface droite et immobile. Son centre de masse coïncide avec son centre géométrique; son rayon R et sa répartition de masse sont constants. L’axe de rotation passe par le centre et est perpendiculaire au plan du mouvement. On néglige la déformation, la résistance de l’air et la résistance au roulement. La ligne d’action de la force normale passe par le centre : son moment autour de ce centre est donc nul.

Écrivons le moment d’inertie central sous la forme $I_{\mathrm{CM}}=kmR^2$. Le facteur de forme sans dimension k vaut 1/2 pour un cylindre plein ou un disque uniforme autour de son axe de symétrie, 2/5 pour une sphère pleine uniforme et 1 pour un cerceau mince. Ces valeurs ne sont pas interchangeables : un cylindre creux à paroi épaisse exige son propre moment d’inertie.

Vous utiliserez un diagramme des forces, les composantes, $\sum F=ma$, $\sum\tau_{\mathrm{CM}}=I_{\mathrm{CM}}\alpha$ et l’énergie cinétique. Au besoin, revoyez les moments de force et les bras de levier ou l’inertie de rotation et les tensions d’une poulie. Pour une poulie, l’absence de glissement relie une corde au bord en rotation; pour le roulement, elle relie le point de contact du corps au sol.

Dans chaque calcul, la translation positive est dirigée vers le bas de la pente ou vers la droite. La rotation positive est le sens de roulement correspondant, horaire pour un roulement vers la droite ou une surface descendant vers la droite. La relation signée est donc $v=R\omega$. Si l’on choisissait plutôt le sens antihoraire positif, une roue roulant vers la droite aurait $v=-R\omega$. Choisissez une convention et conservez-la.

2. Un centre en mouvement peut avoir un point de contact instantanément immobile

La vitesse du point de contact le long de la surface est la somme des contributions de translation et de rotation :

Rouler sans glisser sur cette surface immobile signifie $v_{\mathrm{contact}}=0$. Tant que cette contrainte est respectée,

L’accélération désigne ici celle du centre le long de la surface droite, et non l’accélération totale du point matériel au contact. Ce point matériel peut avoir une accélération non nulle même lorsque sa vitesse instantanée est nulle.

Le frottement statique s’adapte : sa valeur n’est pas imposée d’avance. Calculez d’abord la force nécessaire au mouvement sans glissement. Vérifiez ensuite $|f_s|\leq\mu_sN$. L’égalité décrit le cas limite, pas tous les corps qui roulent. Si la force nécessaire dépasse la limite, rejetez la solution sans glissement. Utilisez un modèle avec frottement cinétique et calculez v et ω indépendamment.

Le frottement s’oppose au glissement relatif, ou à sa tendance, au contact. Il ne s’oppose pas nécessairement à la vitesse du centre. Une roue idéale roulant librement à vitesse constante sur un sol horizontal n’a besoin d’aucun frottement. Une roue entraînée par un couple moteur à l’axe peut exiger un frottement statique vers l’avant. La direction dépend des forces et des moments appliqués, et non du seul mot « roulement ».

Où va l’énergie?

Sans glissement, la substitution donne

La fraction en translation est $1/(1+k)$; celle en rotation est $k/(1+k)$. Ces deux énergies appartiennent au même corps. N’ajoutez pas un terme distinct $\tfrac12I_{\mathrm{contact}}\omega^2$ à cette expression : la forme utilisant le théorème des axes parallèles inclurait déjà la translation.

Dans notre modèle idéal sans glissement sur un sol immobile, la puissance instantanée nette du frottement statique sur le corps rigide est nulle, car son point d’application a une vitesse nulle. Il peut néanmoins modifier le partage entre translation et rotation : sa contribution au bilan d’énergie cinétique du centre de masse est compensée par sa contribution de rotation. Cela ne signifie pas que le frottement statique ne fait jamais de travail dans d’autres situations, par exemple sur un tapis roulant.

3. Déduire le résultat sur une pente et vérifier ses conditions

On lâche un corps au repos sur un plan incliné d’un angle θ mesuré par rapport à l’horizontale, avec $0<\theta<90^\circ$. La gravité agit au centre; sa composante parallèle au plan est $mg\sin\theta$. Sans frottement, elle accélérerait le centre sans produire de moment autour de lui : le contact tendrait à glisser vers le bas. Le frottement statique est donc dirigé vers le haut et fournit le moment qui augmente la rotation associée au roulement vers le bas.

Soit f la grandeur non négative du frottement vers le haut. Avec la translation positive vers le bas et la rotation positive dans le sens du roulement vers le bas,

Appliquez $\alpha=a/R$ et $I_{\mathrm{CM}}=kmR^2$. L’équation des moments devient $f=kma$. Sa substitution dans l’équation de translation donne

La solution sans glissement n’existe dans le modèle de frottement statique que si

La masse s’élimine du seuil, mais pas la forme ni l’inclinaison. Une fois l’adhérence suffisante, un coefficient disponible plus grand n’augmente pas a; il augmente la marge avant le glissement.

Pour une descente verticale h à partir du repos, la conservation idéale de l’énergie mécanique donne

Cette méthode donne plus rapidement la vitesse, mais pas le frottement nécessaire. Elle n’est valide qu’après avoir justifié le roulement, sans pertes dissipatives ni apport d’énergie supplémentaire. La distance parcourue sur la pente est $s=h/\sin\theta$, et non h. La vérification $v^2=2as$ reproduit le résultat énergétique.

Exemple résolu 1 : descente d’un cylindre plein

Un cylindre plein uniforme a $m=3{,}00\,\mathrm{kg}$, $R=0{,}200\,\mathrm m$ et $k=1/2$. Initialement au repos sur une pente de 20,0°, il dispose d’un coefficient $\mu_s=0{,}200$. Son centre descend verticalement de $h=0{,}800\,\mathrm m$. Trouvez l’accélération, le frottement et la vitesse finale. Utilisez $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$.

Étape 1 : résoudre les équations des forces et des moments

L’accélération est dirigée vers le bas; le frottement, vers le haut. L’accélération angulaire est $\alpha=a/R=11{,}18\,\mathrm{rad/s^2}$, dans le sens du roulement vers le bas. Le moment du frottement autour du centre augmente la rotation, même si cette force réduit l’accélération du centre par rapport à celle d’un objet glissant sans frottement.

Étape 2 : vérifier que le frottement statique peut fournir cette force

Puisque 3,355 N est inférieur à 5,531 N, le roulement sans glissement est possible. De façon équivalente, $\mu_{s,\min}=\tfrac13\tan20^\circ=0{,}1213$. Le frottement réel vaut 3,355 N, et non 5,531 N.

Étape 3 : inclure les deux énergies cinétiques

La perte d’énergie potentielle vaut 23,544 J. La translation reçoit 15,696 J et la rotation reçoit 7,848 J; leur somme vaut 23,544 J. Un calcul utilisant seulement $mgh=\tfrac12mv^2$ prédirait une vitesse trop élevée.

Étape 4 : vérifier avec la distance sur la pente

Ici, $s=0{,}800/\sin20^\circ=2{,}339\,\mathrm m$. Le résultat des forces donne $v=\sqrt{2as}=3{,}235\,\mathrm{m/s}$, en accord avec l’énergie. Le rayon influence ω et α, mais s’élimine de a et de v dans ce modèle lorsque k reste fixe.

Exemple résolu 2 : traction horizontale au centre

Un cylindre plein uniforme de masse 4,00 kg et de rayon 0,250 m est initialement au repos sur un sol horizontal. Une force horizontale constante de 12,0 N est appliquée au centre vers la droite, sans couple ajouté. Prenez $\mu_s=0{,}150$. Déterminez son mouvement et sa vitesse après un déplacement du centre de 2,00 m.

La traction centrale a un moment nul autour du centre. Sans frottement, elle déplacerait le cylindre sans le faire tourner : le bas tendrait à glisser vers la droite. Le frottement doit agir vers la gauche pour produire une rotation horaire. Soit f sa grandeur vers la gauche.

On a donc $f=kma$, d’où

Vérifions : $N=mg=39{,}24\,\mathrm N$, donc $\mu_sN=5{,}886\,\mathrm N$. Les 4,00 N nécessaires sont disponibles. Le coefficient minimal vaut $4{,}00/39{,}24=0{,}1019$.

La force appliquée effectue un travail $Fs=(12{,}0)(2{,}00)=24{,}0\,\mathrm J$. Le travail net du frottement statique est nul dans ce modèle idéal. À partir du repos,

L’énergie de translation vaut 16,0 J et celle de rotation vaut 8,0 J. La vérification $v^2=2as=8{,}00\,\mathrm{m^2/s^2}$ concorde.

Pourquoi « le frottement pointe toujours vers l’arrière » n’est pas une règle

Remplaçons la traction centrale par un couple moteur horaire de grandeur τ, sans force horizontale appliquée. La seule force horizontale est le frottement statique. Dans ce modèle différent, il pointe vers la droite : $f=ma$ et $\tau-fR=I_{\mathrm{CM}}\alpha$. Sans glissement, $a=\tau/[mR(1+k)]$. Le frottement produit la translation vers l’avant et s’oppose à une partie du couple moteur. Sa grandeur nécessaire doit toujours respecter $f\leq\mu_smg$. Sa direction dépend de la façon dont on entraîne la roue.

Quatre problèmes progressifs

Essayez chaque mise en équation avant d’ouvrir la solution. Utilisez $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ et les hypothèses de corps rigide idéal ci-dessus.

Liste de vérification finale

1. Précisez l’inertie autour du centre, le modèle de contact et les sens positifs.
2. Utilisez la translation et les moments pour trouver le frottement nécessaire sans glissement.
3. Vérifiez la limite statique avant de valider le résultat sans glissement ou d’utiliser sa formule énergétique.
4. Incluez les deux énergies cinétiques; distinguez la hauteur verticale de la distance sur la pente.
5. En cas de glissement, déterminez sa direction et résolvez séparément translation et rotation.

Portée et références

Cette leçon originale complète l’inertie de rotation et le travail et l’énergie. Pour une autre présentation du modèle physique, consultez OpenStax University Physics, Rolling Motion, en anglais. La matière et les exigences d’évaluation doivent être vérifiées dans le plan actuel de la section de l’étudiant; un ancien guide de mécanique ne prouve pas qu’un sujet est obligatoire cette session.

L’ancien guide NYA sur la rotation de Vanier inclut le roulement comme enrichissement. Cela justifie des exercices complémentaires, et non l’affirmation que le sujet est obligatoire dans le SN1 actuel. Utilisez-le seulement lorsqu’il correspond à la matière de votre section.