Valeurs intermédiaires, accroissements finis et extrema : vérifier les hypothèses

Trois questions, trois garanties différentes

Dans cette leçon, $a<b$ sont des nombres réels finis. Une fonction est continue sur $[a,b]$ lorsqu’elle est continue à l’intérieur de l’intervalle et possède la continuité unilatérale appropriée à chaque extrémité. La dérivabilité est exigée uniquement lorsqu’elle est indiquée. Une prime désigne une dérivée.

• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si $f$ est continue sur $[a,b]$, toute valeur entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte dans cet intervalle. En particulier, des signes opposés aux extrémités garantissent un zéro strictement entre elles. Cela ne prouve pas l’unicité.
• Théorème des accroissements finis (TAF, ou MVT en anglais) : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$, il existe au moins un $c\in(a,b)$ tel que $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ Une pente de tangente égale la pente de la sécante sur l’intervalle. Le théorème ne dit pas que $c$ est le milieu de l’intervalle ni qu’il est unique.
• Théorème des valeurs extrêmes : une fonction continue sur l’intervalle fermé et borné $[a,b]$ atteint un maximum absolu et un minimum absolu. Le théorème ne les situe pas et n’exige pas la dérivabilité.

Si une hypothèse n’est pas satisfaite, le théorème ne peut pas fournir sa garantie. Cela ne prouve pas, à lui seul, que sa conclusion est fausse. Examinez la fonction avant de tirer cette conclusion plus forte.

Exemple résolu 1 : prouver l’existence d’une racine, puis exclure une seconde

Montrez que $p(x)=x^3+x-1$ possède exactement une racine réelle et encadrez-la sans utiliser de formule de résolution d’une équation cubique.

1. Établir l’existence sur un intervalle précisé

Un polynôme est continu sur $[0,1]$. Aux extrémités, $p(0)=-1$ et $p(1)=1$. Puisque zéro se trouve entre ces valeurs, le TVI garantit au moins une racine dans $(0,1)$. Il s’agit d’un énoncé d’existence, pas encore d’un dénombrement exact.

2. Utiliser la dérivée pour établir l’unicité

Pour tout réel $x$, $p'(x)=3x^2+1>0$. Pour justifier pourquoi cela exclut deux racines, prenez deux réels quelconques $u<v$. Le polynôme vérifie les hypothèses du TAF sur $[u,v]$. Pour un certain $c\in(u,v)$,

$$p(v)-p(u)=p'(c)(v-u)>0.$$

Ainsi, $p$ est strictement croissante sur toute la droite réelle. Deux entrées différentes ne peuvent pas donner toutes deux zéro. En combinant « au moins une » et « au plus une », on conclut qu’il existe exactement une racine réelle.

3. Préciser la position sans prétendre donner une valeur exacte

$$p(0{,}68)=-0{,}005568,\qquad p(0{,}69)=0{,}018509.$$

La continuité garantit une racine entre ces entrées, et l’unicité permet de l’identifier à la même racine. Donc $0{,}68<r<0{,}69$. Le milieu $0{,}685$ fournit une approximation dont l’erreur absolue est inférieure à $0{,}005$, pas une solution exacte. Pour raffiner l’estimation, divisez encore l’intervalle en deux et conservez le sous-intervalle dont les valeurs aux extrémités sont de signes opposés.

Erreur à éviter : affirmer que « le TVI prouve qu’il y a exactement une racine ». Le TVI a établi l’existence; la dérivée positive a établi l’unicité.

Exemple résolu 2 : trouver la tangente qui correspond au taux moyen

Pour $f(x)=\ln x$ sur $[1,4]$, vérifiez que le TAF s’applique et trouvez tous les points qui satisfont sa conclusion. Ici, $\ln$ désigne le logarithme naturel.

1. Vérifier l’intervalle entier

L’intervalle contient uniquement des entrées positives. La fonction $\ln x$ est donc continue sur $[1,4]$ et dérivable sur $(1,4)$. Vérifier seulement les valeurs aux extrémités ne suffirait pas à établir ces hypothèses.

2. Calculer la pente moyenne, puis l’égaler à la dérivée

$$m=\frac{\ln4-\ln1}{4-1}=\frac{\ln4}{3}.$$

Puisque $f'(x)=1/x$, un point satisfaisant la conclusion vérifie

$$\frac1c=\frac{\ln4}{3},\qquad c=\frac3{\ln4}\approx2{,}164.$$

Cette valeur se situe strictement entre 1 et 4, comme exigé. Ce n’est pas le milieu $2{,}5$. La dérivée $1/x$ est strictement décroissante pour les entrées positives; cet exemple possède donc exactement un tel point. L’unicité vient du comportement de la dérivée, et non du TAF lui-même.

3. Interpréter les deux droites

La sécante passant par les extrémités et la tangente en $c$ ont la même pente $m$. L’équation de la tangente est

$$y=\ln c+\frac1c(x-c).$$

Elles sont parallèles, mais ce ne sont pas la même droite. Le théorème relie des taux de variation, pas les positions verticales des droites. Un croquis devrait montrer le point de tangence à une entrée intérieure, plutôt que le placer automatiquement au milieu.

Quatre exercices progressifs : choisir l’affirmation avant de calculer

Gardez chaque solution fermée jusqu’à ce que vous ayez écrit les hypothèses du théorème et la conclusion précise recherchée.

1. Un changement de signe autour d’une entrée exclue

Soit $f(x)=1/(x-2)$, définie pour $x\ne2$. Puisque $f(1)=-1$ et $f(3)=1$, un étudiant affirme qu’il existe un zéro dans $(1,3)$. Analysez son affirmation. Existe-t-il réellement un zéro?

2. Des hauteurs égales aux extrémités, mais un coin à l’intérieur

Soit $g(x)=|x-2|$ sur $[0,4]$. Sa pente moyenne est nulle. Peut-on utiliser le TAF pour conclure que $g'(c)=0$ en un point intérieur? Vérifiez la dérivée.

3. Des extrema atteints ou des valeurs limites

Considérez $h(x)=(x-2)^2$. Trouvez ses extrema absolus d’abord sur $[1,4]$, puis sur $(1,4)$. Quelle conclusion est garantie par le théorème des valeurs extrêmes?

4. Combiner existence, unicité et encadrement de la dérivée

Soit $q(x)=e^x+x-3$. Prouvez qu’elle possède exactement un zéro réel $r$ et que $0<r<1$. Utilisez ensuite le TAF pour montrer que $$0<1-r<\frac{e-2}{2}.$$ Expliquez pourquoi cette inégalité précise la position sans calculer exactement $r$.

Quoi travailler ensuite

Dans chaque argument, soulignez l’intervalle, encerclez les hypothèses et indiquez si le résultat porte sur l’existence, l’unicité, la position ou l’atteinte d’une valeur. Si la difficulté concerne un facteur simplifié ou une valeur manquante, revoyez les domaines et les limites. Pour appliquer ce raisonnement à votre matière, consultez le tutorat MATH 140. Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

Références usuelles, en anglais : OpenStax Calculus Volume 1 sur la continuité, le théorème des accroissements finis et les maxima et minima. Les exercices et les explications ci-dessus sont originaux.