Révisez les fonctions, les limites, la continuité, les dérivées et les primitives pour MATH 140 à McGill, Calculus 1. Essayez un exercice corrigé ou demandez de l’aide individuelle pour choisir une méthode et comprendre chaque étape. Vous pouvez partir de l’énoncé seul.
MATH 140 à McGill introduit les fonctions et graphiques, les limites, la continuité, les dérivées, les primitives et leurs applications. Vous y apprenez à dériver des fonctions et à trouver des primitives, en vous appuyant sur les notions de fonctions utilisées ensuite en calcul intégral.
Fonctions et graphiquesLimitesContinuitéDérivéesMéthodes de différentiationAntidifférentiation et applications
Difficultés fréquentes
Choisir une règle de dérivation pour une fonction composée
Construire un modèle d’optimisation ou de taux liés
MATH 140 : un court diagnostic de limites et de dérivées
Commencez par rendre une fonction continue et trouver sa dérivée à partir de la définition. Combinez ensuite les règles de dérivation pour trouver une tangente.
Ajoutez les primitives et les applications si elles figurent dans votre liste de révision.
Avant de commencer : Prévoyez 15 minutes pour les deux questions, puis 15 minutes pour revoir l’étape qui vous a posé problème.
1. Combler un trou sans modifier le voisinage
Pour x=2, soit g(x)=(x2−4)/(x−2), et posons g(2)=k. Trouvez k pour que g soit continue en 2. Pour cette valeur, trouvez g′(2) à partir du quotient de différences.
Voir la solution expliquée
Pour x=2, la factorisation et la simplification donnent g(x)=x+2. Ainsi, limx→2g(x)=4. La continuité impose la valeur définie séparément k=4.
Avec k=4 et h=0, hg(2+h)−g(2)=h(4+h)−4=1. Le passage à la limite donne g′(2)=1.
La simplification n’attribue pas à elle seule la valeur manquante. La valeur choisie fait d’abord coïncider toute la fonction avec une droite dans ce voisinage, ce qui permet le calcul de la dérivée.
Soit f(x)=x2e−x pour x réel. Trouvez f′(x) et l’équation de la tangente en x=1.
Voir la solution expliquée
L’opération extérieure est un produit. L’exponentielle nécessite aussi la règle de la chaîne : (e−x)′=−e−x. Donc f′(x)=2xe−x−x2e−x.
En x=1, f(1) et f′(1) valent toutes deux 1/e. La forme point-pente donne y−e1=e1(x−1), soit y=x/e.
Vérifiez que la droite passe par le point initial. La pente seule ne détermine pas la tangente; oublier le signe négatif de la dérivée intérieure change la pente.
Construire votre révision à partir de vos réponses
Commencer par la première étape erronée
Pour une erreur de domaine ou de limite, utilisez la leçon liée à la question 1 et précisez quelle égalité exclut une entrée. Pour une erreur de dérivée, utilisez les trois questions sur les règles de dérivation liées à la question 2.
Passer à une application
Reprenez ensuite l’exemple de boîte ouverte sur cette page. Cachez la solution, écrivez le domaine physique, puis comparez le point stationnaire admissible au comportement aux bornes.
Terminer par des exercices variés
Choisissez des questions adaptées dans les exercices de limites et de dérivées liés plus bas. Ils sont organisés autour de notions de MATH 203 à Concordia; retenez celles de votre plan de McGill et ajoutez vos primitives assignées si elles sont à l’étude.
Si vous souhaitez de l’aide pour ces questions, vous pouvez commencer la séance avec un problème de limite, de dérivée ou d’application que vous ne savez pas aborder. Si vous avez une tentative, votre tuteur peut la revoir avec vous; sinon, vous pouvez travailler la première étape ensemble et clarifier l’algèbre, la définition ou la règle de dérivation utile.
Révisez calcul du secondaire, fonctions, factorisation, identités trigonométriques et exponentielles/logarithmes. MATH 139 est indiqué non offert au catalogue départemental 2026–2027. Si vos bases en calcul sont limitées, demandez à McGill quelle voie est actuellement disponible; MATH 139 et 140 ne forment pas une séquence obligatoire.
Conditions d’inscription
Les conseils ci-dessus concernent la préparation aux études, pas l’admissibilité. Vérifiez les préalables, restrictions et disponibilités actuels auprès de votre établissement : McGill University.
Primitives : retrouver une fonction à partir d’une valeur
Une fonction dérivable vérifie f′(x)=3x2−4x+2 pour tout réel x et f(0)=5. Trouvez f(x).
Avant de calculer, demandez-vous si la dérivée détermine une fonction unique. Quelle information supplémentaire apporte f(0)=5?
Voir un indice
Cherchez un terme dont la dérivée vaut 3x2, un autre dont la dérivée vaut −4x et un autre dont la dérivée vaut 2. Une constante disparaît lorsqu’on la dérive.
Voir la solution expliquée
Inversez la règle des puissances, terme par terme. Toute primitive sur la droite réelle s’écrit f(x)=x3−2x2+2x+C, où C est une constante.
La dérivée ne détermine pas C. La condition initiale le fait : f(0)=C=5. Donc f(x)=x3−2x2+2x+5.
Vérifiez les deux conditions. La dérivée redonne 3x2−4x+2, et la substitution de x=0 donne 5. Vérifier seulement la dérivée ne permettrait pas de repérer une constante incorrecte.
Réessayez sans la solution
Trouvez g(x) si g′(x)=6x2−4 pour tout réel x et g(1)=3. Vérifiez séparément la dérivée et la valeur donnée.
Vérifier la nouvelle tentative
Une primitive est g(x)=2x3−4x+C. Comme g(1)=2−4+C=3, on obtient C=5. Ainsi, g(x)=2x3−4x+5. Sa dérivée vaut 6x2−4 et g(1)=3. La valeur donnée de la fonction n’est pas automatiquement la constante : remplacez d’abord x par l’entrée indiquée, puis trouvez C.
Si la vérification par dérivation pose problème, utilisez la vérification des règles ci-dessous. Si la dérivée est correcte mais que la condition initiale n’est pas satisfaite, revenez à la substitution qui détermine C. Un tuteur peut vous demander d’expliquer les deux vérifications, puis modifier la condition initiale pour une nouvelle tentative.
Rappel facultatif : développer un quotient de différences
Soit f(x)=x2 pour une variable réelle x, et soit h=0 une variation de cette variable à partir de 3. Simplifiez hf(3+h)−f(3).
Voir le raisonnement
Développez le numérateur : (3+h)2−9=6h+h2=h(6+h). Comme h=0, la simplification donne 6+h. C’est le taux de variation moyen de la fonction pour cette variation de la variable. Sa limite lorsque h→0 vaut 6, le taux de variation instantané donné par la dérivée f′(3).
Une réponse d’optimisation doit respecter le domaine physique
Trouver où la dérivée s’annule n’est qu’une étape d’un problème d’optimisation. Cet exemple de boîte utilise la géométrie pour trouver les dimensions permises, puis vérifie lesquelles donnent le plus grand volume.
1. Construire le modèle à partir des dimensions
Notons V(x) le volume de la boîte en centimètres cubes lorsque le côté du carré retiré vaut x centimètres. Découpez un carré de côté x centimètres à chaque coin d’une feuille de 30 cm×20 cm, puis relevez les côtés pour former une boîte ouverte. Sa hauteur est x et sa base mesure 30−2x par 20−2x. Ainsi, V(x)=x(30−2x)(20−2x). La hauteur et les deux dimensions de la base doivent être positives. Les tailles de découpe permises forment donc le domaine physique 0<x<10.
Découpez quatre carrés de même côté x, puis relevez les bandes extérieures. La hauteur de la boîte sera x; pour que la hauteur et les deux dimensions de la base restent positives, il faut 0<x<10 cm.
2. Dériver la grandeur à maximiser
En développant, V(x)=600x−100x2+4x3,V′(x)=600−200x+12x2. Résoudre V′(x)=0 donne x=325±57. Les racines valent environ 3,924 et 12,743. La plus grande est hors du domaine physique : elle ne peut pas décrire cette boîte.
3. Justifier le maximum du candidat restant
Notons x∗ la taille de découpe permise restante où la dérivée est nulle; l’indice sert simplement à nommer cette dimension particulière de découpe. Le modèle polynomial se prolonge continûment sur [0,10], avec un volume nul aux deux extrémités. Il possède un seul point à l’intérieur de cet intervalle où la dérivée est nulle, x∗=325−57. Son volume est positif; la comparaison avec les extrémités établit donc le maximum global. On peut aussi vérifier que V′ passe du positif au négatif à cet endroit.
4. Interpréter la réponse avec ses unités
Il faut découper des carrés de côté environ 3,924 cm. Le volume maximal est approximativement V(x∗)≈1056,31 cm3. La variable choisie est une longueur; la grandeur maximisée est un volume. Distinguez ces unités et n’arrondissez qu’après l’évaluation de l’expression exacte.
À vous de jouer
Reprenez le modèle pour une feuille carrée de 24 cm×24 cm. Quelle découpe maximise le volume de la boîte ouverte?
Voir la solution expliquée
Ici, V(x)=x(24−2x)2, avec 0<x<12, et V′(x)=(24−2x)(24−6x). Le candidat intérieur est x=4 cm; x=12 est une extrémité où les dimensions de la base deviennent nulles. La comparaison avec les volumes nuls aux extrémités donne le maximum 4⋅162=1024 cm3.
Au prochain problème d’optimisation, écrivez le domaine physique avant de dériver. Expliquez ensuite comment chaque candidat est comparé aux extrémités et à la question initiale.
Comment le tutorat aide
Vous pouvez commencer une séance de tutorat MATH 140 avec une question que vous ne savez pas encore aborder. Votre tuteur peut expliquer l’algèbre nécessaire, montrer comment interpréter une limite et vous aider à choisir une règle de dérivation. Pour une application, vous pouvez repérer les grandeurs et construire l’équation ensemble. En optimisation, votre tuteur peut vous aider à déterminer les valeurs permises et à justifier un maximum ou un minimum. Pour une primitive, vous pouvez vérifier la réponse ensemble en la dérivant, puis essayer une question semblable avec son aide.
Préparation aux examens de MATH 140
Travaillez séparément choix de dérivation et interprétation. En optimisation, comparez candidats admissibles et extrémités. Ajoutez les primitives élémentaires prévues au plan.
Utilisez le plan de votre section pour choisir les chapitres à réviser. Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.
Cours connexes
Liens utiles pour la préparation ou la suite des études; ce ne sont pas des équivalences ni une séquence d’inscription obligatoire.
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