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Concordia University · ENGR 213

Tutorat ENGR 213 à Concordia

Tutorat individuel en ligne, en anglais, pour ENGR 213 à Concordia. Travaillez le choix d’une méthode, les termes manquants et les conditions initiales. Essayez les exemples et les exercices guidés ci-dessous.

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60 min en ligne : 55 $ CAD · TarifsPréparer un examenEssayer un exercice gratuitÉquations linéaires du premier ordre : guide du facteur intégrant
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Aperçu du cours

ENGR 213 à Concordia présente la théorie et les applications des équations différentielles ordinaires en génie. Le cours passe des modèles du premier ordre aux équations linéaires d’ordre supérieur, aux solutions en séries et aux systèmes linéaires. Commencez par l’exemple de racine double ou de système ci-dessous, ou utilisez les exercices guidés pour choisir une solution particulière lorsque le second membre est non nul.

Notions à travailler pour ENGR 213

Équations du premier ordre et modèles à conditions initialesÉquations linéaires d’ordre supérieur et méthodes pour les équations non homogènesNombres complexes et solutions en séries de puissancesSystèmes linéaires, valeurs propres et vecteurs propres

Difficultés fréquentes

  • Garder deux termes de solution indépendants lorsqu’une racine caractéristique est double
  • Distinguer la valeur initiale de la dérivée initiale
  • Conserver le même ordre des variables dans un système linéaire

Choisir l’étape à travailler en équations différentielles

Partez de l’équation que vous étudiez pour choisir un exercice. Suivez les sujets et les méthodes autorisées dans votre section.

Se préparer à ce cours

Révisez la règle du produit, les dérivées exponentielles, l’intégration de base et le produit d’une matrice par un vecteur colonne. Toutes les variables de ces exercices sont sans dimension. Commencez par le court diagnostic sur les systèmes; l’exemple résolu explique ensuite pourquoi une racine double nécessite un second terme de solution.

Conditions d’inscription

Concordia exige MATH 204 avant le cours ou en concomitance, et MATH 205 au préalable. Confirmez votre admissibilité et toute formation équivalente auprès de Concordia.

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Vérifier la mise en système d’une équation du second ordre

Soit tt réel et y=y(t)y=y(t) une fonction réelle deux fois dérivable. Les primes désignent les dérivées par rapport à tt; toutes les variables sont sans dimension. Considérez y′′+3y′+2y=0,y(0)=2,y′(0)=−1.\begin{gathered}y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0,\\ y(0)=2,\quad y^{\prime}(0)=-1.\end{gathered} Définissez les variables d’état z1=yz_1=y et z2=y′z_2=y^{\prime}, puis le vecteur colonne z=(z1,z2)T\mathbf z=(z_1,z_2)^{\mathsf T}, où T\mathsf T désigne la transposée. Un étudiant écrit z′=(01−3−2)z,z(0)=(22).\begin{gathered}\mathbf z^{\prime}=\begin{pmatrix}0&1\\-3&-2\end{pmatrix}\mathbf z,\\ \mathbf z(0)=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.\end{gathered} Corrigez la matrice et le vecteur initial. Trouvez ensuite z1′(0)z_1^{\prime}(0) et z2′(0)z_2^{\prime}(0) sans résoudre l’équation.

Voir un indice

Dérivez d’abord chaque définition : que valent z1′z_1^{\prime} et z2′z_2^{\prime}? Isolez y′′y^{\prime\prime} dans l’équation initiale. Chaque ligne doit donner la dérivée d’une variable d’état, dans l’ordre (z1,z2)(z_1,z_2).

Voir le raisonnement

  1. Écrire les dérivées des deux variables d’état

    Par définition, z1′=y′=z2z_1^{\prime}=y^{\prime}=z_2. L’équation initiale donne z2′=y′′=−2y−3y′=−2z1−3z2.\begin{aligned}z_2^{\prime}&=y^{\prime\prime}\\&=-2y-3y^{\prime}\\&=-2z_1-3z_2.\end{aligned}

    La bonne matrice est donc A=(01−2−3),z′=Az.\begin{gathered}A=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-3\end{pmatrix},\\\mathbf z^{\prime}=A\mathbf z.\end{gathered} Ici, AA désigne la matrice constante des coefficients. Sa seconde ligne place le coefficient de yy en premier et celui de y′y^{\prime} en second. L’étudiant les a inversés.

  2. Transcrire chaque condition initiale

    La première composante est z1(0)=y(0)=2z_1(0)=y(0)=2. La seconde est z2(0)=y′(0)=−1z_2(0)=y^{\prime}(0)=-1, d’où z(0)=(2−1).\mathbf z(0)=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}. Répéter la valeur 2 dans les deux positions imposerait une autre dérivée initiale.

  3. Vérifier les taux initiaux dans les deux formes

    Le produit matriciel donne z′(0)=Az(0)=(−1−4+3)=(−1−1).\begin{aligned}\mathbf z^{\prime}(0)&=A\mathbf z(0)\\ &=\begin{pmatrix}-1\\-4+3\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}.\end{aligned} Ainsi, z1′(0)=−1z_1^{\prime}(0)=-1 et z2′(0)=−1z_2^{\prime}(0)=-1.

    L’équation différentielle de départ donne aussi y′′(0)=−3(−1)−2(2)=−1.\begin{aligned}y^{\prime\prime}(0)&=-3(-1)-2(2)\\&=-1.\end{aligned} Les deux formes concordent. Le vecteur z(0)\mathbf z(0) contient deux valeurs initiales; z′(0)\mathbf z^{\prime}(0) contient leurs taux de variation.

Exemple résolu : une racine double et deux conditions initiales

Soit t∈Rt\in\mathbb R une variable indépendante sans dimension et y=y(t)y=y(t) une fonction réelle deux fois dérivable. Les primes désignent les dérivées par rapport à tt, et ee est la base de l’exponentielle naturelle. Résolvez y′′+4y′+4y=0,y(0)=1,y′(0)=0.\begin{gathered}y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=0,\\ y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=0.\end{gathered}

1. Reconnaître la racine double

Cette équation est du second ordre : sa dérivée d’ordre le plus élevé est la dérivée seconde. Elle est linéaire à coefficients constants, car son membre de gauche additionne la fonction inconnue et ses dérivées, chacune multipliée par une constante. Elle est homogène, car, une fois ces termes placés à gauche, le membre de droite est nul. L’essai y=erty=e^{rt}, où rr est une constante réelle, donne (r2+4r+4)ert=0(r^2+4r+4)e^{rt}=0. L’exponentielle ne s’annule pas, donc r2+4r+4=(r+2)2=0.r^2+4r+4=(r+2)^2=0. La racine caractéristique r=−2r=-2 est double. Cet essai fournit e−2te^{-2t}, mais pas encore deux termes de solution indépendants.

2. Trouver le deuxième terme de solution indépendant

Posons y=e−2tu(t)y=e^{-2t}u(t), où uu est une nouvelle fonction inconnue. Cette substitution est réversible pour tout réel tt. La règle du produit donne y′=e−2t(u′−2u),y′′=e−2tu′′−4e−2tu′+4e−2tu.\begin{aligned}y^{\prime}&=e^{-2t}(u^{\prime}-2u),\\y^{\prime\prime}&=e^{-2t}u^{\prime\prime}\\&\quad-4e^{-2t}u^{\prime}\\&\quad+4e^{-2t}u.\end{aligned} En substituant dans l’équation, les termes en uu et en u′u^{\prime} s’annulent; il reste e−2tu′′=0e^{-2t}u^{\prime\prime}=0. Ainsi, u′′=0u^{\prime\prime}=0, puis u=a+btu=a+bt, où a,ba,b sont des constantes réelles arbitraires. Donc y=(a+bt)e−2t.y=(a+bt)e^{-2t}. Ce calcul explique le facteur supplémentaire tt, au lieu de simplement le mémoriser.

3. Appliquer les deux conditions initiales

En zéro, y(0)=a=1y(0)=a=1. La dérivée de la famille est y′=(b−2a−2bt)e−2t.y^{\prime}=(b-2a-2bt)e^{-2t}. Ainsi, y′(0)=b−2a=0y^{\prime}(0)=b-2a=0, donc b=2b=2. La solution est y(t)=(1+2t)e−2t,t∈R.\begin{gathered}y(t)=(1+2t)e^{-2t},\\t\in\mathbb R.\end{gathered}

4. Vérifier l’équation et les valeurs initiales

Les dérivées sont y′=−4te−2ty^{\prime}=-4te^{-2t} et y′′=(8t−4)e−2ty^{\prime\prime}=(8t-4)e^{-2t}. Dans y′′+4y′+4yy^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y, mettez e−2te^{-2t} en facteur. Le coefficient de tt vaut 8−16+8=08-16+8=0, et le terme constant vaut −4+4=0-4+4=0 : l’équation est donc vérifiée. De plus, y(0)=1y(0)=1 et y′(0)=0y^{\prime}(0)=0. La formule et l’équation sont définies pour tout réel tt; aucun dénominateur ne s’annule, et le coefficient de la dérivée d’ordre le plus élevé reste non nul. Rien de cela ne restreint donc l’intervalle.

À vous de jouer

Gardez la même équation, mais remplacez les conditions par y(0)=0y(0)=0 et y′(0)=1y^{\prime}(0)=1. Trouvez a,ba,b dans y=(a+bt)e−2ty=(a+bt)e^{-2t}, puis vérifiez les deux conditions.

Voir la solution expliquée

On a maintenant a=0a=0, puis b−2a=1b-2a=1 donne b=1b=1. Donc y=te−2ty=te^{-2t} pour tout réel tt. Sa dérivée est y′=(1−2t)e−2ty^{\prime}=(1-2t)e^{-2t}, d’où y(0)=0y(0)=0 et y′(0)=1y^{\prime}(0)=1. La dérivée seconde est y′′=(4t−4)e−2ty^{\prime\prime}=(4t-4)e^{-2t}; l’équation est vérifiée puisque (4t−4)+4(1−2t)+4t=0(4t-4)+4(1-2t)+4t=0.

Avant d’appliquer une formule à un autre problème, identifiez son ordre, sa linéarité et ses coefficients. Le raisonnement sur la racine double s’applique ici parce que l’équation est homogène à coefficients constants. Un autre type d’équation demande une méthode adaptée.

Nombres complexes : puissances et toutes les racines

Choisissez le bon argument, calculez les puissances et trouvez toutes les racines distinctes. Commencez par le quadrant si les signes ne concordent pas.

Comment le tutorat aide

Partez d’un problème d’ENGR 213 qui vous bloque, ou reprenez les notions de base avec votre tuteur avant de choisir une méthode. Votre plan de cours, si vous l’avez, peut nous aider à choisir des exemples. Votre tuteur peut vérifier le type d’équation, un terme homogène ou particulier manquant et l’application des conditions initiales. Pour une équation à coefficients constants avec second membre, comparez la forme proposée aux racines caractéristiques avant de développer les dérivées. Pour un système, vérifiez l’ordre des variables d’état et chaque ligne de la matrice. Essayez ensuite une équation modifiée et justifiez vous-même le choix.

Préparation aux examens de ENGR 213

Exercez-vous à reconnaître le type d’équation avant de choisir une méthode. Vérifiez ensuite la solution dans l’équation initiale et appliquez chaque condition donnée. Suivez la matière et les méthodes autorisées pour votre évaluation; les exemples ici ciblent seulement deux compétences.

Utilisez le plan de votre section pour choisir les chapitres à réviser. Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Liens utiles pour la préparation ou la suite des études; ce ne sont pas des équivalences ni une séquence d’inscription obligatoire.

Tutorat MATH 204Vecteurs et matricesTutorat MATH 205Calcul différentiel et intégral II
Pratique autonome

Exercices gratuits et guides pour ENGR 213

Pour une équation linéaire du premier ordre, cette leçon montre comment obtenir un coefficient de 1 devant la dérivée première, utiliser un facteur intégrant et trouver l’intervalle où la solution est valide.

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Questions sur les séances

Dans quelle langue les séances se déroulent-elles?

Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

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