Nombres complexes : choisir l’angle, trouver toutes les racines

1. Situer le point avant de choisir l’angle

Écrivons $z=a+bi$, où $a$ et $b$ sont réels et $i^2=-1$. C’est la forme cartésienne. La partie réelle est $a$; la partie imaginaire est le nombre réel $b$, et non $bi$. Placez $z$ au point $(a,b)$ : l’axe réel est horizontal et l’axe imaginaire est vertical.

Le module $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ est la distance à l’origine. Pour $z\ne0$, un argument $\theta$ est un angle allant de l’axe réel positif vers le point, compté positivement dans le sens antihoraire. Alors

$$\begin{gathered}z=r(\cos\theta+i\sin\theta),\\ a=r\cos\theta,\quad b=r\sin\theta.\end{gathered}$$

C’est la forme polaire. On écrit parfois $\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta$ pour alléger la notation. Pour $\theta$ réel, la notation d’Euler $e^{i\theta}$ désigne la même expression; elle n’est pas nécessaire aux calculs qui suivent.

Ajouter un nombre entier de tours donne le même point. Tous les arguments s’écrivent $\theta+2\pi k$, où $k$ est un entier quelconque. Dans cette leçon, l’argument principal $\operatorname{Arg}z$ est celui de l’intervalle $(-\pi,\pi]$. Un cours peut choisir un autre intervalle; suivez la convention indiquée.

Pour $z=0$, le module est nul et l’argument n’est pas défini. Même si $0(\cos\theta+i\sin\theta)=0$ pour tout angle, aucun de ces angles ne donne une direction à l’origine.

2. Exemple : pourquoi le quadrant compte

Écrivez $z=-1+i$ sous forme polaire.

1. Trouver la distance

   $a=-1$, $b=1$, donc $r=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2$.

2. Situer le point

   Le point $(-1,1)$ est dans le deuxième quadrant. Son angle de référence, l’angle aigu avec la direction de l’axe réel la plus proche, est $\pi/4$. À partir de l’axe réel positif, dans le sens antihoraire, on obtient $\pi-\pi/4=3\pi/4$.

3. Écrire et vérifier

   $$z=\sqrt2\operatorname{cis}(3\pi/4).$$

   Retrouvons les coordonnées : $\sqrt2\cos(3\pi/4)=-1$ et $\sqrt2\sin(3\pi/4)=1$. Les deux conviennent.

Une calculatrice peut donner $\arctan(1/(-1))=-\pi/4$. Mais cet angle a un cosinus positif et un sinus négatif : il pointe vers le quatrième quadrant et donne $1-i$. Ce n’est pas un argument de $-1+i$. En revanche, $-5\pi/4$ en est un, car il diffère de $3\pi/4$ d’un tour complet.

Vérification rapide : quel est l’argument principal de $-2i$? Le point est directement sous l’origine, sur l’axe imaginaire, donc la réponse est $-\pi/2$. L’angle $3\pi/2$ décrit la même direction, mais se trouve hors de notre intervalle principal.

3. Multiplier les modules et additionner les angles

Pour deux nombres non nuls $z=r\operatorname{cis}\theta$ et $u=s\operatorname{cis}\phi$, de modules positifs $r,s$ et d’arguments réels $\theta,\phi$, les formules d’addition du sinus et du cosinus donnent

$$zu=rs\operatorname{cis}(\theta+\phi).$$

La multiplication change la longueur et fait tourner la direction. Pour un entier positif $n$, répéter cette multiplication donne la formule de Moivre :

$$z^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta).$$

On multiplie l’angle par $n$ et on élève le module à la puissance $n$. On peut ensuite soustraire des tours complets à l’angle obtenu.

Vérifier le même carré sous deux formes

Pour $z=-1+i$, le développement cartésien donne

$$(-1+i)^2=1-2i+i^2=-2i.$$

La forme polaire donne

$$\begin{gathered}(\sqrt2\operatorname{cis}(3\pi/4))^2\\ =2\operatorname{cis}(3\pi/2)\\ =-2i.\end{gathered}$$

Le nouveau module vaut $2$, et le nouveau point se trouve directement sous l’origine. Les deux méthodes concordent. Élever séparément les deux termes au carré ferait oublier le terme du milieu, $-2i$.

Pour additionner ou soustraire, la forme cartésienne est généralement plus simple : regroupez séparément les parties réelles et imaginaires. La règle d’addition des angles s’applique à la multiplication.

4. Trouver toutes les racines

Cherchons tous les nombres complexes $w$ tels que $w^n=z$, où $n$ est un entier positif et $z=r\operatorname{cis}\theta\ne0$. Écrivons $w=\rho\operatorname{cis}\alpha$, de module positif $\rho$ et d’argument $\alpha$. En comparant les modules, $\rho^n=r$, donc $\rho=r^{1/n}$, la racine nième réelle positive de $r$. En comparant les angles, $n\alpha=\theta+2\pi k$. Ainsi,

$$\begin{gathered}w_k=r^{1/n}\operatorname{cis}\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right),\\ k=0,1,\ldots,n-1.\end{gathered}$$

L’indice $k$ distingue les racines. Elles se trouvent sur un cercle de rayon $r^{1/n}$, avec un écart angulaire de $2\pi/n$ entre deux racines voisines. Ces $n$ choix sont distincts; augmenter $k$ de $n$ ajoute un tour complet et redonne une racine déjà trouvée. Diviser un seul argument par $n$ ne donne généralement qu’une racine. Si $z=0$, la seule racine distincte est $w=0$.

Exemple : résoudre $w^3=-8$

Utilisons $-8=8\operatorname{cis}\pi$. Chaque racine a pour module $2$. Les trois angles sont $\pi/3$, $\pi$ et $5\pi/3$, pour $k=0,1,2$. Donc

$$w\in\{1+i\sqrt3,\ -2,\ 1-i\sqrt3\}.$$

Chaque cube a pour module $2^3=8$ et pour angle un multiple impair de $\pi$, donc vaut $-8$. Une vérification cartésienne indépendante de la première racine donne $(1+i\sqrt3)^2=-2+2i\sqrt3$, puis $(-2+2i\sqrt3)(1+i\sqrt3)=-8$. L’autre racine non réelle est sa conjuguée, obtenue en changeant le signe de la partie imaginaire; son cube vaut aussi $-8$. Enfin, $(-2)^3=-8$.

5. Essayer, vérifier et réessayer

Écrivez votre tentative avant d’ouvrir une réponse. Si un résultat semble incorrect, vérifiez d’abord le quadrant, puis le module, puis le nombre de racines distinctes.

1. Convertir un nouveau point

Trouvez le module et l’argument principal de $-\sqrt3-i$, puis écrivez sa forme polaire.

2. Calculer une puissance et la vérifier

Calculez $(1+i)^4$ en forme polaire. Vérifiez en élevant deux fois au carré.

3. Retrouver les deux racines carrées

Résolvez $w^2=-2i$. Donnez les deux réponses sous forme cartésienne.

4. Trouver quatre racines distinctes

Résolvez $w^4=-16$. Énumérez les racines et expliquez pourquoi ajouter $k=4$ ne donne aucune nouvelle réponse.

5. Réessayer avec une autre direction

Sans recopier les angles précédents, résolvez $w^3=8i$. Prévoyez l’écart angulaire entre les racines avant de calculer, puis vérifiez une racine sous forme cartésienne.

6. Choisir la suite

Si les angles vous bloquent, faites un croquis avec les signes des parties réelle et imaginaire avant de calculer. Si ce sont les racines, écrivez toute la famille $\theta+2\pi k$ avant de diviser. Pour vérifier une réponse, demandez-vous : le module est-il correct, la direction est-elle correcte et y a-t-il assez de réponses distinctes?

Pour situer cette notion dans votre cours, consultez le soutien pour MATH 202 ou le soutien pour ENGR 213. Pour une autre notion d’algèbre, essayez les sommes finies et la récurrence; pour revoir les bases, consultez les compétences en algèbre avant le calcul.

Si vous souhaitez de l’aide, apportez une tentative et le plan actuel de votre cours à une séance de tutorat. Nous pouvons reprendre l’étape où le quadrant ou le nombre de racines est devenu moins clair, puis utiliser un nouvel exercice pour vérifier votre compréhension. Demander du tutorat.