Concordia University · MAST 218

Tutorat MAST 218 · Concordia

Calcul à plusieurs variables I : tutorat individuel en ligne et préparation aux examens.

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60 min en ligne : 55 $ CAD · Tarifs Préparer un examen

Cours répertorié

Aperçu du cours

MAST 218 développe le calcul différentiel à plusieurs variables après l’étude des courbes et de la géométrie vectorielle. Suivez le plan de votre section pour relier dérivées partielles, plans tangents, taux directionnels et optimisation sous contraintes. Envoyez votre chapitre et votre tentative afin de confirmer l’aide possible avant de réserver.

Notions à travailler pour MAST 218

Courbes paramétriques et polairesVecteurs et courbes dans l’espaceDérivées partielles et plans tangentsGradients et dérivées directionnellesExtremums et multiplicateurs de Lagrange

Difficultés fréquentes

Normaliser une direction avant de mesurer une variation par unité de distance
Distinguer une variation nulle au premier ordre d’une fonction constante
Distinguer optimisation avec et sans contraintes

Une direction demande un vecteur unitaire

Les coordonnées numériques $x,y$ sont exprimées en centimètres. Le modèle original $T(x,y)=20+3x^2-2y^2$ donne la température en degrés Celsius. Au point $P=(1,1)$ , trouvez le taux instantané de variation de la température par centimètre parcouru dans la direction $\mathbf v=(4,3)$ . Prévoyez si la température augmente ou diminue au départ. Il s’agit d’un modèle d’exercice, et non de données expérimentales.

Indice : distinguer direction et distance

Le gradient contient les deux taux partiels. Un vecteur de direction indique une direction, mais sa longueur n’est pas nécessairement égale à un. Normalisez-le pour calculer un taux par unité de distance.

Relier la direction au taux

En gardant l’autre coordonnée constante, on obtient $\nabla T=(6x,-4y)$ , donc $\nabla T(P)=(6,-4)$ , en °C/cm. Le vecteur a pour longueur $\lVert\mathbf v\rVert=5$ ; sa direction unitaire est $\mathbf u=(4/5,3/5)$ .

D_{\mathbf u}T(P)=\nabla T(P)\cdot\mathbf u=\frac{24-12}{5}=\frac{12}{5}\,\mathrm{^{\circ}C/cm}.

Le résultat positif indique une hausse initiale. Pour une petite distance positive $s$ , en centimètres, la variation au premier ordre vaut environ $(12/5)s$ °C. Le gradient est un vecteur; la dérivée directionnelle est un taux scalaire signé.

Le produit $\nabla T(P)\cdot\mathbf v=12$ , sans normalisation, n’est pas un taux par centimètre. Il donne le taux par unité du paramètre dans $P+t\mathbf v$ .

À vous : un taux nul n’implique pas une fonction constante

Gardez le même modèle et le même point, mais prenez la direction $\mathbf w=(2,3)$ . Calculez la dérivée directionnelle. Substituez ensuite le parcours paramétré par la distance $\mathbf q(s)=(1+2s/\sqrt{13},1+3s/\sqrt{13})$ . La température est-elle constante sur ce parcours?

Vérifier votre raisonnement

La direction unitaire est $(2,3)/\sqrt{13}$ , d’où le taux $(12-12)/\sqrt{13}=0$ °C/cm. Une substitution directe donne $T(\mathbf q(s))=21-6s^2/13$ . Pour tout déplacement $s$ non nul suffisamment petit, la température est inférieure à sa valeur initiale $T(P)=21$ °C, même si sa dérivée première en $s=0$ est nulle. La dérivée directionnelle décrit la variation au premier ordre au point, pas tout le parcours.

Pour approfondir la différence entre taux par distance et taux par temps, consultez la leçon existante sur le gradient et la dérivée directionnelle. Ce sont des exercices thématiques, pas une évaluation de MAST 218.

Des taux directionnels aux extremums sous contraintes

Pour $f(x,y)=x^2+4y^2$ avec $x+y=5$ , demandez-vous d’abord : $(0,0)$ est-il admissible, et quelles valeurs $x$ peut-il prendre? Un point stationnaire du problème sans contrainte n’est utile que s’il respecte les contraintes réelles.

Vérifier l’ensemble admissible avant de dériver

Le point $(0,0)$ n’est pas admissible, car la somme de ses coordonnées vaut zéro. Sur la droite entière, $y=5-x$ et $x$ peut prendre toute valeur réelle. Ajouter $x\ge0$ , $y\ge0$ limiterait plutôt $x$ à $[0,5]$ ; il faudrait alors examiner les extrémités.

Essayez les exercices guidés pour comparer la substitution aux multiplicateurs de Lagrange, inclure les candidats intérieurs et ceux du bord, puis justifier l’existence ou l’absence d’extremums globaux. Ce sont des exercices thématiques de la suite du cours; suivez le plan de votre section pour choisir les notions à revoir.

Six exercices d’optimisation sous contraintes · Lire la leçon sur l’ensemble admissible et Lagrange

Comment le tutorat aide

Apportez un croquis de la surface, le point et la direction choisie. Votre tuteur peut vérifier ce qui reste constant, si la direction est unitaire et les unités du taux. Essayez ensuite une direction où la variation au premier ordre est nulle, puis expliquez ce que cela permet ou non de conclure.

Pour l’optimisation sous contraintes, apportez aussi l’ensemble admissible, votre liste complète de candidats et votre conclusion locale ou globale. Votre tuteur peut vérifier si un point du bord oublié, une hypothèse de régularité ou une condition d’admissibilité change la réponse.

Préparation aux examens de MAST 218

Combinez des problèmes de géométrie vectorielle et de courbes avec les dérivées partielles, les plans tangents et l’optimisation prévus au plan de votre section. Faites un croquis, précisez ce qui reste constant lors d’une dérivation et vérifiez les contraintes avant d’utiliser les multiplicateurs de Lagrange.

Utilisez le plan de votre section pour choisir les chapitres à réviser. Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Besoin d’aide pour MAST 218?

Envoyez votre sujet et vos disponibilités. Nous confirmerons les notions couvertes et l’horaire par texto ou courriel avant le paiement.

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Questions sur les séances

Dans quelle langue les séances se déroulent-elles?

Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

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