MATH 209 à Concordia, Fundamental Mathematics II, développe le calcul pour des applications quantitatives. Le plan d’automne 2026 relie limites et dérivées à l’analyse marginale, à la demande, aux graphiques et à l’optimisation, puis aborde l’intégration. L’exemple distingue estimation marginale et variation exacte, puis vérifie une limite de production.
Notions à travailler pour MATH 209
Limites, continuité et dérivéesDérivées exponentielles, logarithmiques et implicitesAnalyse marginale, taux liés et élasticité de la demandeÉtude de courbes et optimisation à une variablePrimitives et substitutionIntégrales définies et aires entre courbes
Difficultés fréquentes
Confondre le coût marginal avec le coût moyen ou avec le coût exact de l’unité entière suivante
Retenir un point stationnaire sans vérifier la capacité, l’intervalle admissible et ses extrémités
Une hausse de prix rapporte plus par unité, mais peut réduire les ventes. Cette leçon indépendante relie l’élasticité au revenu. Elle distingue une prévision près d’un prix donné (une prévision locale) de la variation du revenu entre deux prix (une variation finie). Elle complète l’exemple de bénéfice et de capacité ci-dessous.
Révisez notation fonctionnelle, factorisation, expressions rationnelles, exposants et logarithmes. Pour une fonction f, notez a la valeur initiale de l’entrée et h sa variation. Exercez-vous à développer f(a+h)−f(a) : il s’agit de la variation de la fonction, et non de sa nouvelle valeur. Dans un modèle de gestion, précisez quantité, prix, revenu et coût avec leurs unités avant le calcul.
Conditions d’inscription
Le calendrier actuel indique MATH 206 ou l’équivalent, et non MATH 208, comme préalable. Un crédit ou une exemption pour MATH 203 ou l’équivalent empêche l’obtention de crédits pour MATH 209. D’autres restrictions de programme s’appliquent; confirmez l’admissibilité auprès de Concordia.
Définition de la dérivée : développer et interpréter le quotient de différences
Soit f(x)=3x2−2x, où x est réel. Notons h une variation non nulle de l’entrée à partir de x=4; la nouvelle entrée est donc 4+h. Développez et simplifiez le quotient de différences hf(4+h)−f(4). Vers quel nombre tend-il lorsque h tend vers zéro, et que représente ce nombre?
Voir le raisonnement
1. Calculer les deux valeurs de la fonction. D’abord, f(4)=3(42)−2(4)=40. Comme (4+h)2=16+8h+h2, la nouvelle valeur est f(4+h)=3(16+8h+h2)−8−2h=40+22h+3h2.
2. Former la variation de sortie avant de diviser. En soustrayant la valeur initiale, on trouve f(4+h)−f(4)=22h+3h2=h(22+3h). Puisque h=0, la division est permise et hf(4+h)−f(4)=22+3h. Ce quotient représente la variation moyenne de sortie par unité de variation de l’entrée entre 4 et 4+h.
3. Passer à la limite. Lorsque h→0, le terme 3h tend vers zéro, donc limh→0hf(4+h)−f(4)=22. C’est la dérivée f′(4), c’est-à-dire le taux de variation instantané, ou la pente de la tangente, à l’entrée 4. L’apostrophe désigne la dérivation par rapport à x.
4. Conserver la restriction du quotient initial. Le quotient initial n’est pas défini en h=0; sa limite décrit ses valeurs pour des variations non nulles proches de zéro. On peut simplifier le facteur commun pour une variation non nulle de l’entrée, puis calculer la limite. On ne peut pas remplacer cette variation par zéro dans la fraction initiale. Pour vérifier indépendamment, la règle de dérivation donne f′(x)=6x−2, donc f′(4)=22.
Vérifier la capacité avant de maximiser le bénéfice
L’analyse marginale décrit la variation locale d’un modèle. L’optimisation cherche la meilleure décision admissible. Cet exemple de gestion montre pourquoi ces questions sont liées, mais exigent des vérifications distinctes.
1. Construire le revenu et le bénéfice à partir des fonctions
Dans un modèle hebdomadaire simplifié, q est la quantité vendue et le prix unitaire est p(q)=90−0,3q dollars. Le coût total est C(q)=600+18q+0,1q2 dollars, et la capacité impose 0≤q≤70. On traite q comme une variable continue et on suppose que toute la production est vendue au prix du modèle. Le revenu est la quantité multipliée par le prix : R(q)=qp(q)=90q−0,3q2. Le bénéfice est le revenu moins le coût total : P(q)=R(q)−C(q)=72q−0,4q2−600. Le coût fixe de 600 dollars reste dans le bénéfice, même si sa dérivée est nulle.
La zone ombrée indique la capacité 0≤q≤70. Le point plein est le maximum admissible; le cercle vide et la courbe en pointillés prolongent le modèle hors de cette capacité.
2. Distinguer coût marginal et variation exacte
Le symbole prime dans C′(q) désigne la dérivée du coût total par rapport à la quantité q, en dollars par unité. On dérive terme à terme : le coût fixe 600 donne zéro, 18q donne 18 et 0,1q2 donne 0,2q. Notons Δq une augmentation de quantité à partir de 40, et ΔC=C(40+Δq)−C(40) la variation exacte du coût. Le coût marginal est C′(q)=18+0,2q,C′(40)=26. À q=40, le taux instantané de variation du coût vaut 26 dollars par unité supplémentaire. Il permet d’estimer le coût d’une petite augmentation de quantité : ΔC≈26Δq. Pour une unité entière, la variation exacte est C(41)−C(40)=26,1 dollars. L’estimation marginale est proche, mais différente. Elle n’est pas non plus le coût moyen C(40)/40=37 dollars par unité.
3. Trouver un point stationnaire, puis appliquer la capacité
Pour une fonction dérivable sur un intervalle fermé, on compare les points stationnaires intérieurs et les extrémités. Un point stationnaire est une quantité intérieure où la première dérivée est nulle. La seconde dérivée, notée P′′(q), décrit la variation de la première. Une seconde dérivée négative rend ici le graphique concave vers le bas. Le bénéfice marginal vaut P′(q)=72−0,8q. L’annuler donne q=90. Puisque P′′(q)=−0,8<0, ce point maximise la fonction quadratique sans la contrainte de capacité; toutefois, 90 dépasse la capacité de 70. Sur l’intervalle permis par la capacité, P′(q)≥P′(70)=16>0 : le bénéfice augmente partout. La plus grande quantité admissible, q=70, maximise donc le bénéfice. Un maximum à une extrémité n’exige pas une dérivée nulle.
4. Présenter séparément quantité, prix et bénéfice
À q=70, on obtient p(70)R(70)C(70)P(70)=69 dollars par uniteˊ,=4830 dollars,=2350 dollars,=2480 dollars. À l’autre extrémité, P(0)=−600, ce qui concorde avec l’augmentation du bénéfice. La réponse est 70 unités au prix modélisé de 69 dollars, pour un bénéfice hebdomadaire de 2480 dollars.
Niveau 1 : Optimum intérieur
Un nouveau modèle a p(q)=72−0,2q, C(q)=240+12q+0,1q2 et 0≤q≤120. Trouvez quantité, prix et bénéfice maximal en vérifiant les extrémités.
Voir la solution expliquée
On conserve les mêmes significations : q est la quantité, p le prix unitaire, C le coût total et P=qp−C le bénéfice. En multipliant le prix par la quantité avant de soustraire le coût, on obtient P(q)=60q−0,3q2−240, donc P′(q)=60−0,6q. Le point stationnaire q=100 appartient à l’intervalle et P′′=−0,6<0. Le prix vaut 52 dollars par unité et le bénéfice 2760 dollars; les bénéfices aux extrémités valent −240 et 2640, ce qui confirme le maximum.
Niveau 2 : Capacité réduite
Dans le modèle initial, réduisez la capacité de 70 à 50. Trouvez le nouvel optimum et le bénéfice.
Voir la solution expliquée
P′(q)>0 sur [0,50]; choisissez q=50. Le prix vaut 75 dollars et le bénéfice 2000 dollars. La substitution donne P(50)=72(50)−0,4(50)2−600=2000, contre P(0)=−600. La quantité stationnaire 90 reste hors de l’intervalle admissible.
Niveau 3 : Erreur d’approximation
Avec le coût initial, estimez la variation de q=40 à q=43 par le coût marginal; comparez avec la variation exacte et expliquez l’écart.
Voir la solution expliquée
L’estimation vaut C′(40)⋅3=78 dollars. La variation exacte est 78,9 dollars : l’estimation est trop faible de 0,9 dollar. Notons h l’augmentation de quantité à partir de 40; ici h=3. En développant la formule quadratique du coût, on obtient C(40+h)−C(40)=26h+0,1h2. L’estimation linéaire omet le terme quadratique positif, qui vaut 0,9 lorsque h=3.
À la prochaine application, précisez la fonction, les unités et l’intervalle admissible avant de dériver. Vérifiez ensuite séparément l’admissibilité, les extrémités et le sens du nombre annoncé.
Votre tuteur peut distinguer le modèle, la dérivée et l’interprétation dans votre tentative pour repérer l’étape à retravailler. Vous pouvez ensuite résoudre un problème comparable d’analyse marginale ou d’optimisation en discutant des unités, des capacités et de la justification du maximum.
Préparation aux examens de MATH 209
Composez des séries variées à partir du plan actuel : limites, règles de dérivation, applications, étude de courbes et intégration. Avant le calcul, précisez la grandeur recherchée et la méthode. Comparez estimation marginale et variation exacte lorsqu’elles sont disponibles; vérifiez une primitive en la dérivant. Confirmez modalités d’évaluation et aides autorisées auprès de votre section.
Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.
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