Concordia University · MAST 219

Tutorat MAST 219 · Concordia

Calcul à plusieurs variables II : tutorat individuel en ligne et préparation aux examens.

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60 min en ligne : 55 $ CAD · Tarifs Préparer un examen

Cours répertorié

Aperçu du cours

MAST 219 développe l’intégration multiple et le calcul vectoriel, notamment les intégrales sur des courbes et des surfaces. L’exemple ci-dessous porte sur le flux sortant d’une surface fermée; situez-le dans le cours à l’aide du plan de votre section. Envoyez votre chapitre et votre tentative afin de confirmer l’aide possible avant de réserver.

Notions à travailler pour MAST 219

Intégrales doubles et triplesChangements de coordonnées et de variablesIntégrales curvilignes et champs conservatifsIntégrales de surface et orientationThéorèmes de Green, de Stokes et de la divergence

Difficultés fréquentes

Vérifier si une surface est fermée
Choisir des normales extérieures cohérentes
Distinguer flux net et contributions des différentes faces

Vérifier la surface fermée avant d’utiliser la divergence

Les coordonnées et les valeurs du champ de ce modèle sont sans dimension. Soit $E=[0,1]\times[0,2]\times[0,1]$ un pavé solide et $S=\partial E$ sa frontière complète, avec ses six faces. Pour $\mathbf F(x,y,z)=(x,2y,3z)$ , calculez le flux sortant $\Phi=\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$ , où $\mathbf n$ est la normale unitaire extérieure et $dS$ un élément d’aire. Prévoyez le signe avant d’intégrer.

Les flèches indiquent des normales extérieures, pas les valeurs du champ. Les faces cachées comptent aussi.

Indice : commencer par une face

Sur $x=1$ , la normale extérieure est $(1,0,0)$ : seule la première composante du champ contribue. Le théorème de la divergence s’applique à une frontière fermée, lisse par morceaux, lorsque les dérivées partielles premières du champ sont continues sur un ouvert contenant le solide.

Comparer les faces au calcul volumique

Le champ polynomial est continûment différentiable partout et le pavé possède une frontière fermée, lisse par morceaux. Sa divergence est $\nabla\cdot\mathbf F=1+2+3=6$ . Le volume vaut $1\cdot2\cdot1=2$ , donc :

\Phi=\iiint_E(\nabla\cdot\mathbf F)\,dV=6(2)=12.

Vérifions directement : la face $x=1$ contribue $1\times2=2$ , la face $y=2$ contribue $4\times1=4$ et la face $z=1$ contribue $3\times2=6$ . Chaque face située à une coordonnée nulle contribue zéro, car la composante correspondante du champ s’y annule. La somme $2+4+6=12$ confirme le flux sortant positif.

N’utilisez pas l’intégrale volumique pour la seule face supérieure : le théorème donne le flux de toute la frontière fermée. La normale à une face ne pointe pas nécessairement dans la direction du champ.

À vous : un flux total nul peut-il cacher des flux non nuls?

Gardez le pavé et l’orientation extérieure, mais prenez $\mathbf G=(x,2y,-3z)$ . Calculez le flux total et celui de la face supérieure. Un flux total nul signifie-t-il que le champ est nul sur la frontière?

Vérifier le nouveau champ

Cette fois, $\nabla\cdot\mathbf G=1+2-3=0$ , donc le flux sortant total est nul. Sur le dessus, $\mathbf G\cdot\mathbf n=-3$ et l’aire vaut $2$ , d’où $-6$ . Les autres contributions non nulles sont $2$ et $4$ . Elles se compensent : $2+4-6=0$ . Un flux net nul n’implique ni un champ nul ni un flux nul sur chaque face.

Si l’orientation pose problème, reprenez le rappel sur l’orientation d’un parcours. Il concerne les courbes; vérifier la normale d’une surface reste une étape distincte.

Passer d’une frontière fermée à une surface ouverte

L’exemple du pavé ci-dessus inclut ses six faces. Si le problème suivant donne une surface courbe ouverte, marquez son bord et déterminez ce qui la fermerait. Utilisez la leçon sur le flux de surface pour construire un vecteur aire orienté, puis essayez les six exercices guidés de flux. Comparez le calcul direct à celui avec une surface de fermeture en gardant chaque contribution ajoutée signée.

Pour travailler les bornes d’intégration plutôt que le sens d’une normale, utilisez les exercices existants d’intégrales doubles. Apportez votre croquis, les surfaces incluses et la première étape non justifiée à un tuteur.

Comment le tutorat aide

Apportez le croquis de votre surface et le calcul d’une face. Votre tuteur peut vérifier les faces incluses, les normales extérieures et la régularité du champ avant d’appliquer un théorème. Comparez une contribution directe au calcul volumique, puis modifiez le champ et prévoyez quels termes changent de signe.

Préparation aux examens de MAST 219

Exercez-vous à choisir les bornes des intégrales multiples et à décider entre une intégration directe sur une courbe ou une surface et le théorème approprié. Vérifiez la région, l’orientation et les hypothèses sur le champ avant de calculer, puis expliquez comment le résultat correspond à la géométrie.

Utilisez le plan de votre section pour choisir les chapitres à réviser. Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Besoin d’aide pour MAST 219?

Envoyez votre sujet et vos disponibilités. Nous confirmerons les notions couvertes et l’horaire par texto ou courriel avant le paiement.

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Questions sur les séances

Dans quelle langue les séances se déroulent-elles?

Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

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