Mathématiques fondamentales I : envoyez votre chapitre pour confirmer les sujets que nous pouvons travailler avant de réserver.
MATH 208 à Concordia, Fundamental Mathematics I, relie l’algèbre aux modèles quantitatifs de gestion. Le plan d’automne 2026 passe des fonctions et calculs financiers aux matrices, aux contraintes de ressources, au dénombrement et aux probabilités. L’exemple ci-dessous construit une décision de production à partir d’inégalités.
Révisez fractions, pourcentages, exposants, résolution d’équations et tracé d’une droite. Exercez-vous à définir une variable et ses unités avant de traduire un énoncé. En calcul financier, distinguez le taux annuel du taux par période de versement ou de capitalisation. Ces conseils d’étude ne déterminent pas l’admissibilité.
Le calendrier actuel de Concordia indique MATH 206 ou l’équivalent comme préalable. Des restrictions de crédit et de programme s’appliquent aussi; Concordia détermine les équivalences et l’admissibilité. MATH 209 est un cours connexe, pas un préalable indiqué.
Consulter le catalogue officielSoient et deux quantités réelles inconnues qui vérifient et . Trouvez-les, puis déterminez si ce même couple respecte aussi la limite .
1. Éliminer une inconnue. Multiplions la deuxième équation par pour obtenir . Soustrayons-la de la première : . Les deux termes contenant s’annulent et il reste . 2. Retrouver l’autre inconnue. En remplaçant dans , on obtient , donc . Le couple solution est . 3. Vérifier les égalités initiales. Elles donnent et ; les deux sont donc satisfaites. 4. Vérifier séparément la limite supplémentaire. Pour ce couple, , et . Le couple respecte donc l’inégalité, avec un écart de sous la limite. Si l’inégalité modélise une contrainte de capacité, cet écart représente une unité de capacité inutilisée. Résoudre les égalités ne suffit pas à vérifier une limite supplémentaire.
Une contrainte de ressource est une limite, pas une obligation d’utiliser toutes les heures disponibles. Cet exemple de production relie un petit calcul matriciel à la méthode graphique de programmation linéaire.
Un atelier choisit les quantités hebdomadaires de lots standard et de lots haut de gamme. Un lot standard exige heures d’assemblage et heure de finition; un lot haut de gamme en exige respectivement et . L’atelier dispose de heures d’assemblage et de heures de finition. On suppose que tous les lots produits sont vendus et rapportent respectivement ou dollars après les coûts variables. Notons la marge hebdomadaire totale, en dollars : le revenu des ventes moins les coûts variables de production. Les lots standard rapportent dollars; les lots haut de gamme rapportent . Ces marges s’additionnent.
Les heures d’assemblage utilisées valent : on multiplie chaque nombre de lots par les heures nécessaires par lot, puis on additionne. Ce total ne peut dépasser 120. De même, la finition utilise heures, au plus 70. Les quantités ne peuvent être négatives. Un plan admissible est un couple qui respecte simultanément les quatre inégalités. Le modèle est sous les contraintes Des coûts fixes identiques pour tous les choix ne changent pas le mélange qui maximise cette marge. On autorise d’abord des fractions de lots; l’optimum obtenu aura aussi des nombres entiers de lots.
Une frontière correspond à l’égalité dans une contrainte. Un sommet peut se trouver à l’intersection de deux frontières : calculons d’abord celle des deux droites de ressources. Dans la matrice, les deux premières colonnes sont les coefficients de et de ; la colonne après la barre contient les heures disponibles. Soustraire un multiple d’une équation à l’autre conserve leurs solutions communes. À l’intersection où les deux ressources sont entièrement utilisées, résolvez les égalités des frontières. La matrice augmentée est En remplaçant la ligne 1 par la ligne 1 moins deux fois la ligne 2, on obtient Donc , puis . Vérification : et . Ce calcul fournit un candidat; il ne prouve pas encore qu’il est optimal.
Les axes non négatifs sont aussi des frontières. Sur l’axe horizontal, posez : il faut respecter et , donc la limite la plus stricte est 60. Sur l’axe vertical, posez : il faut respecter et , donc on retient 35. Les sommets du polygone admissible sont donc , , et . Les autres intersections avec les axes, et , violent une contrainte. Calculons Ce polygone contient des points admissibles et il est borné : il ne s’étend pas indéfiniment. Un objectif linéaire, comme la marge totale ici, atteint un maximum à l’un de ses sommets; il suffit donc de les comparer. Géométriquement, un objectif linéaire n’a pas de maximum isolé strictement à l’intérieur du polygone : sa valeur varie à taux constant le long de chaque segment. Chaque point du polygone est une moyenne pondérée des sommets; sa valeur ne peut donc dépasser la plus grande valeur aux sommets.
Il faut choisir lots standard et lots haut de gamme, pour une marge hebdomadaire maximale de dollars avant les coûts fixes. Les deux ressources sont entièrement utilisées dans cet optimum précis. Cela découle de la comparaison des sommets, pas d’une règle exigeant l’épuisement de toutes les ressources. Si des lots indivisibles donnaient un optimum fractionnaire, un simple arrondi pourrait violer une contrainte ou manquer le meilleur choix entier.
Avec les contraintes initiales, testez et ; calculez la marge uniquement pour les plans admissibles.
utilise heures d’assemblage, mais heures de finition; ce plan est inadmissible. Le plan utilise et heures et rapporte une marge de dollars.
Passez à heures d’assemblage et heures de finition, en conservant . Trouvez les sommets admissibles et le meilleur mélange.
Les nouvelles frontières sont et . Soustraire deux fois la seconde équation de la première donne , donc et . Sur les axes, il faut respecter et . Les sommets sont , , , . Les marges correspondantes valent , , et ; choisissez .
Reprenez les capacités initiales, mais utilisez . Trouvez l’optimum et les capacités inutilisées.
Seul l’objectif a changé : la région admissible et ses quatre sommets restent identiques. On recalcule à ces sommets plutôt que de rechercher l’intersection. Aux sommets initiaux, les nouvelles marges valent , , et . Choisissez : l’assemblage utilise les heures, mais la finition seulement heures sur , ce qui laisse heures inutilisées. Une ressource peut donc rester partiellement inutilisée à l’optimum.
Au prochain problème d’allocation de ressources, écrivez d’abord les inégalités. Utilisez l’élimination pour trouver les intersections des frontières, éliminez les points inadmissibles et comparez l’objectif à chaque sommet restant.
Plan officiel de MATH 208 à Concordia, automne 2026
Votre tuteur peut reprendre votre mise en équation pour relier les lignes et colonnes d’une matrice aux grandeurs du problème, puis repérer une erreur d’élimination ou de contrainte de ressource. En probabilités, vous pouvez comparer ensemble les univers possibles et vous exercer à justifier un choix de dénombrement ou de conditionnement.
Choisissez la matière à revoir à partir du plan actuel de votre section. Mélangez finance, systèmes, inégalités et probabilités pour devoir choisir la méthode. Reprenez une erreur sans sa solution, puis modifiez une condition et expliquez l’effet sur la démarche ou la réponse. Respectez les règles de votre section sur les calculatrices et documents autorisés.
Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.
Comprenez les opérations réversibles sur les lignes, résolvez un système et distinguez une, aucune ou une infinité de solutions. Exercices originaux pour MATH 204 à Concordia et MATH 133 à McGill.
Dix compétences essentielles en algèbre, avec exemples résolus, erreurs fréquentes et questions corrigées pour préparer le calcul universitaire ou collégial.
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