Tutorat 203-SN3-RE · Dawson

1. Interpréter le mode. Un nœud est un point dont le déplacement transversal reste nul; un ventre est un point d’amplitude d’oscillation maximale. Chaque extrémité fixe est donc un nœud. Notons $n$ le numéro entier positif de l’harmonique et $\lambda$ la longueur d’onde. Une corde fixée aux deux extrémités contient $n$ demi-longueurs d’onde : $L=n\lambda/2$. Pour le troisième harmonique, $n=3$, d’où $\lambda=2L/3=0{,}50\,\mathrm{m}$. 2. Trouver la fréquence. Notons $f$ le nombre d’oscillations par seconde. La relation d’onde $v=f\lambda$ donne $f=v/\lambda=(90\,\mathrm{m/s})/(0{,}50\,\mathrm{m})=180\,\mathrm{Hz}$. Ce sont trois demi-longueurs d’onde, et non trois longueurs d’onde entières, qui occupent la corde. 3. Situer les nœuds et les ventres. Deux nœuds voisins sont séparés de $\lambda/2=0{,}25\,\mathrm{m}$; leurs positions sont donc $x=0$, $0{,}25$, $0{,}50$ et $0{,}75\,\mathrm{m}$. Chaque ventre se trouve à mi-chemin entre deux nœuds : $x=0{,}125$, $0{,}375$ et $0{,}625\,\mathrm{m}$. Ces positions donnent trois segments vibrants et placent bien les deux extrémités parmi les nœuds. 4. Modifier la tension. Notons $T$ la tension de la corde en newtons et $\mu$ sa masse linéique, c’est-à-dire sa masse par unité de longueur en $\mathrm{kg/m}$. Pour cette corde idéale, $v=\sqrt{T/\mu}$. Remplacer $T$ par $4T$, avec $\mu$ fixe, multiplie la vitesse par $\sqrt4=2$, ce qui donne $180\,\mathrm{m/s}$. Garder $L$ et $n=3$ fixes conserve $\lambda=2L/3$; les positions des nœuds et des ventres restent donc inchangées. La fréquence double pour atteindre $360\,\mathrm{Hz}$, puisque $f=v/\lambda$. Cela modifie la fréquence de résonance, sans déterminer l’amplitude de vibration.