Tutorat 201-SN2-RE à Dawson : calcul différentiel

Atelier d’étude de courbes : une asymptote oblique

Cette pratique originale pour 201-SN2-RE à Dawson prolonge la leçon existante sur le tracé de courbes avec une asymptote oblique et un exercice de transfert à partir du graphique d’une dérivée. C’est une option de révision par sujet, pas une prédiction de votre examen. Consultez le plan de votre section avant d’inclure les applications aux courbes ou les asymptotes obliques dans une révision chronométrée.

Si votre prochaine évaluation porte seulement sur les premières notions : travaillez les domaines et les limites, puis le choix des règles de dérivation. Revenez ici lorsque votre plan inclut les applications. Pour l’exemple précédent à trois branches, consultez les coupures du domaine et les signes des dérivées; cet atelier ne remplace ni cette leçon ni le problème de la zone imprimée ci-dessus.

Une étude complète

Étudiez $f(x)=x^2/(x-1)$. Trouvez son domaine, ses intersections avec les axes, ses asymptotes, ses variations, ses extrema et sa concavité. Tracez des branches séparées et justifiez l’existence ou l’absence de points d’inflexion. Essayez un premier croquis avant de lire l’explication.

Lire l’étude complète

1. Noter le domaine et les intersections

Le dénominateur exclut $x=1$ : $D=\mathbb R\setminus\{1\}$. Le seul zéro du numérateur est $x=0$, qui appartient au domaine. Les deux intersections avec les axes coïncident donc en $(0,0)$. Conservez la valeur exclue dans les tableaux de signes.

2. Séparer la partie polynomiale

La division polynomiale donne $$f(x)=x+1+\frac1{x-1}.$$ Lorsque $x\to1^-$, le dernier terme tend vers $-\infty$; lorsque $x\to1^+$, il tend vers $+\infty$. Ainsi, $x=1$ est une asymptote verticale. Comme $f(x)-(x+1)\to0$ aux deux infinis, l’asymptote oblique est $y=x+1$; il n’y a pas d’asymptote horizontale. La courbe reste sous cette droite pour $x<1$ et au-dessus pour $x>1$, puisque la différence vaut $1/(x-1)$. Elle ne croise jamais cette droite dans cet exemple.

3. Utiliser les signes, pas seulement les points stationnaires

$$f'(x)=1-\frac1{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.$$ Le dénominateur est positif partout où il est défini. Séparez les intervalles aux deux zéros, 0 et 2, et à la valeur exclue 1.

• $x<0$ : $f'>0$, la fonction croît vers $(0,0)$.
• $0<x<1$ : $f'<0$, la fonction décroît vers $-\infty$.
• $1<x<2$ : $f'<0$, la fonction décroît depuis $+\infty$.
• $x>2$ : $f'>0$, la fonction croît à partir de $(2,4)$.

Le passage de + à − prouve un maximum local en $(0,0)$; le passage de − à + prouve un minimum local en $(2,4)$. Aucun n’est global sur tout le domaine : les valeurs ne sont bornées ni supérieurement ni inférieurement. Ne dites pas que la fonction décroît « de 0 à 2 » sans signaler la coupure en 1.

4. Distinguer concavité et croissance

$$f''(x)=\frac2{(x-1)^3}.$$ La dérivée seconde est négative sur $(-\infty,1)$ : la branche gauche est concave vers le bas. Elle est positive sur $(1,\infty)$ : la branche droite est concave vers le haut. Le changement se produit de part et d’autre d’un point absent. Il n’y a donc aucun point d’inflexion. Un point d’inflexion doit appartenir à la courbe.

5. Construire et vérifier le croquis

Équivalent textuel : la branche gauche s’approche de l’asymptote oblique par-dessous lorsque x tend vers moins l’infini, monte jusqu’à (0,0), puis descend vers moins l’infini lorsque x tend vers 1 par la gauche. La branche droite part de plus l’infini à droite de 1, descend jusqu’à (2,4), puis remonte en s’approchant de l’asymptote oblique par-dessus. La branche gauche est toujours concave vers le bas; la branche droite est toujours concave vers le haut.

Vérifiez $f(-1)=-1/2$, $f(1/2)=-1/2$, $f(3)=9/2$. Ces points aident à repérer une erreur de tracé, mais les signes de la dérivée justifient le comportement de chaque branche entière.

Trois problèmes de transfert

Gardez les réponses fermées. Pour chaque conclusion, écrivez votre justification : domaine, changement de signe, limite ou pente du graphique de la dérivée.

1. Construire un nouveau tableau de signes

Soit $g(x)=(x+1)^2/(x-2)$. Sans logiciel de tracé, trouvez le domaine, l’asymptote oblique et tous les intervalles de croissance et de décroissance. Situez et classez les extrema locaux; dites s’ils sont globaux. Vous pouvez utiliser $g'(x)=(x+1)(x-5)/(x-2)^2$, mais vérifiez cette expression en réécrivant d’abord g.

2. Lire le graphique de la dérivée, pas la hauteur de la fonction

Une fonction F dérivable sur $(-3,5)$ possède la dérivée continue représentée ci-dessous : des segments relient $(-3,2)$, $(1,-2)$ et $(5,2)$. La dérivée s’annule donc en −1 et en 3. Sachant que $F(1)=2$, trouvez les intervalles de croissance et de décroissance, les abscisses des extrema locaux, les intervalles de concavité et le point d’inflexion. Aucune intégration n’est nécessaire : la valeur de la fonction en 1 est fournie. Ne confondez pas un sommet du graphique de F′ avec un extremum de F.

3. Examiner une affirmation sur l’inflexion

Un étudiant affirme : « Si la dérivée seconde est nulle ou change de signe à une valeur de x, cette valeur correspond à un point d’inflexion. » Testez l’affirmation en 0 pour $p(x)=x^4$, $q(x)=1/x$ et $r(x)=x^3$. Indiquez quelle courbe, s’il y en a une, possède un point d’inflexion à cette abscisse et justifiez chaque décision.

Choisissez votre prochaine tentative : si une valeur exclue a disparu de votre tableau, reprenez les domaines et les limites; si vous avez confondu croissance et concavité vers le haut, refaites le problème 2 en écrivant séparément vos conclusions sur F′ et F″. Pour le tutorat, apportez la matière prévue dans votre section, votre croquis et la première étape que vous ne savez pas justifier. Utilisez la demande de tutorat existante du cours, sans présumer qu’un sujet sera à l’examen ni qu’un rendez-vous est confirmé.