Marianopolis College · 201-SH2-MS

Tutorat 201-SH2-MS à Marianopolis : calcul différentiel en sciences humaines

Une dérivée peut représenter une pente, un taux de variation ou l’effet approximatif d’une unité produite en plus. Dans le cours 201-SH2-MS, son interprétation compte autant que son calcul. Nablio aide les étudiants de Marianopolis à relier formules, graphiques et problèmes de sciences humaines ou de gestion. L’exemple ci-dessous montre pourquoi maximiser le revenu et maximiser le profit peuvent donner des résultats différents.

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Cette page est en français. Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

Calculer et interpréter les dérivées

Limites et continuité : déterminer vers quoi tend une fonction et comparer cette limite à sa valeur au point.
Définition et règles de dérivation : relier le quotient de différences au taux de variation instantané.
Graphiques et optimisation : utiliser les signes, les points critiques et le domaine permis pour justifier la réponse.
Analyse marginale : distinguer coût ou revenu total, moyen et marginal, en précisant les unités.

Définir la grandeur à optimiser

Définissez la variable de décision et l’intervalle des valeurs possibles. Si vous cherchez le profit maximal, soustrayez les coûts du revenu avant de dériver. Annuler le revenu marginal répond à une autre question. Vérifiez ensuite que le point trouvé est bien un maximum sur l’intervalle permis. Dans un modèle continu, une valeur marginale estime l’effet d’une petite augmentation de la production; elle n’est pas généralement le coût exact de l’unité entière suivante.

Exemple résolu : quelle production maximise le profit?

Dans ce modèle original à production continue, vendre q unités donne un prix de $p(q)=100-0{,}5q$ dollars par unité. Le coût total vaut $C(q)=400+20q$ dollars, avec $0\le q\le200$ . Trouvez la quantité, le prix et le profit au maximum.

Le revenu est le prix multiplié par la quantité : $R(q)=q(100-0{,}5q)$ . Soustrayez le coût total pour obtenir $P(q)=80q-0{,}5q^2-400$ .
La dérivée du profit est $P'(q)=80-q$ . Le seul point stationnaire est $q=80$ , à l’intérieur de l’intervalle permis.
Comme $P''(q)=-1<0$ sur tout l’intervalle, le profit est strictement concave et ce point est son unique maximum.
Le prix vaut $p(80)=60$ dollars par unité. Le revenu est de 4 800 dollars et le coût de 2 000 dollars, soit un profit maximal de 2 800 dollars.
Vérification économique : $R'(80)=100-80=20$ et $C'(80)=20$ dollars par unité. Le revenu marginal égale le coût marginal à la quantité optimale.

Maximiser seulement le revenu donnerait q = 100. En tenant compte des coûts variables, le profit est plutôt maximal à q = 80. Il faut définir l’objectif et vérifier le maximum, pas seulement annuler une dérivée.

Et si le coût variable augmente?

Conservez la fonction de prix et l’intervalle permis, mais prenez $C(q)=400+30q$ . Trouvez la nouvelle quantité optimale, le prix et le profit. Expliquez le sens de la variation de la production.

Voir la solution expliquée

Le profit vaut $P(q)=70q-0{,}5q^2-400$ . La dérivée $P'(q)=70-q$ s’annule à q = 70 et la dérivée seconde reste négative. Le prix vaut 65 dollars par unité et le profit 2 050 dollars. Un coût marginal plus élevé rend les dernières unités moins rentables : la quantité optimale diminue.

Exemple et exercice originaux de Nablio, sans affiliation au collège. Ils ne proviennent pas d’une évaluation du cours. Suivez le plan actuel de votre section pour la matière à réviser.

Choisir la prochaine vérification à partir de votre tentative

Si la fonction de profit était correcte, mais pas sa dérivée, utilisez la vérification guidée des règles de dérivation. Repérez l’opération extérieure avant de dériver; les questions suivantes combinent plusieurs règles.
Si vous avez confondu coût total, coût moyen et coût marginal, reprenez le coût marginal comme taux. Ensuite, comparez une estimation locale à la variation exacte. Ces deux premières sections prolongent le calcul différentiel; la section d’intégration qui suit constitue une étape distincte.

Pour chaque nouveau modèle, repérez la grandeur à optimiser et l’intervalle admissible, puis vérifiez si la production est traitée comme continue. Utilisez les hypothèses de ce modèle pour établir le calcul.

Travailler la mise en équation et la dérivation

Apportez votre plan de cours actuel et l’énoncé complet, si vous les avez. Vous pouvez commencer la question avec votre tuteur ou reprendre ce que vous avez essayé. La séance peut porter sur la construction de la fonction, le choix d’une règle de dérivation ou l’interprétation d’un tableau de signes. Le but est de rendre votre raisonnement assez clair pour le réutiliser dans un nouveau problème.

Nous travaillons sur des exercices autorisés sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

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