Marianopolis College · 201-SH3-MS

Tutorat 201-SH3-MS à Marianopolis : calcul intégral en sciences humaines

Dans le cours 201-SH3-MS, la difficulté est souvent de décider ce que l’intégrale doit additionner. Une aire entre des courbes économiques, une probabilité et une mesure de répartition des revenus peuvent faire appel à des calculs proches sans représenter la même chose. Nablio aide les étudiants de Marianopolis à choisir l’intégrande, les bornes et les unités. L’exemple original ci-dessous relie un modèle de marché aux surplus du consommateur et du producteur.

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Cette page est en français. Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

Écrire une intégrale qui répond à la question

Intégrales définies et primitives : distinguer une valeur accumulée d’une famille de fonctions.
Techniques d’intégration et intégrales impropres : choisir une méthode et vérifier l’existence de la limite.
Surplus du consommateur et du producteur : repérer la courbe pertinente, le prix du marché et l’intervalle de quantités.
Probabilités et mesures d’inégalité : interpréter une aire sous une densité ou liée à une courbe de Lorenz avant de calculer.

Tracer et identifier la région d’abord

Trouvez les intersections nécessaires pour fixer les bornes. Pour une aire entre deux courbes, vérifiez laquelle reste au-dessus de l’autre sur tout l’intervalle. Dans un calcul de surplus, une différence de prix en dollars par unité est multipliée par un petit intervalle de quantité : le résultat est en dollars. Pour une probabilité, intégrez une densité non négative sur l’événement; son aire totale sur toutes les valeurs possibles doit valoir un. Ces vérifications révèlent souvent une erreur de mise en équation avant même le calcul d’une primitive.

Exemple résolu : deux aires distinctes à l’équilibre du marché

Un modèle original de marché continu utilise un prix de demande $D(q)=80-2q$ et un prix d’offre $S(q)=20+q$ , en dollars par unité. Trouvez la quantité et le prix d’équilibre, puis les surplus du consommateur et du producteur. Les courbes sont supposées valides pour les quantités non négatives utilisées.

À l’équilibre, les prix de demande et d’offre sont égaux : $80-2q=20+q$ . On obtient $q_*=20$ unités et $p_*=40$ dollars par unité.
Pour $0\le q<20$ , le prix de demande dépasse le prix du marché; les deux prix sont égaux en $q=20$ . Le surplus du consommateur vaut $\begin{aligned}SC&=\int_0^{20}(40-2q)\,dq\\&=[40q-q^2]_0^{20}=400.\end{aligned}$ Il s’agit de 400 dollars, pas de 400 dollars par unité.
Pour les producteurs, soustrayez le prix d’offre du prix du marché : $\begin{aligned}SP&=\int_0^{20}(20-q)\,dq\\&=[20q-q^2/2]_0^{20}=200.\end{aligned}$ Le surplus du producteur vaut 200 dollars.
Vérifiez géométriquement : les régions sont deux triangles de base 20 et de hauteurs 40 et 20. Leurs aires sont $20(40)/2=400$ et $20(20)/2=200$ .

La dépense totale de 800 dollars, égale au prix multiplié par la quantité, ne représente aucun des deux surplus. Chacun mesure une aire distincte par rapport au même prix du marché.

Essayer une intégrale de probabilité

Une variable continue non négative X a pour densité $f(x)=kx$ sur $0\le x\le2$ , et zéro ailleurs. Trouvez k pour obtenir une densité valide, puis calculez $P(1\le X\le2)$ .

Voir la solution expliquée

L’aire totale doit valoir un : $\int_0^2 kx\,dx=2k=1$ , donc $k=1/2$ . La probabilité demandée vaut $\int_1^2 \frac{x}{2}\,dx=\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^2=\frac34,$ soit 0,75. Il faut intégrer sur l’événement : la valeur de la densité en un point n’est pas une probabilité.

Exemple et exercice originaux de Nablio, sans affiliation au collège. Ils ne proviennent pas d’une évaluation du cours. Suivez le plan actuel de votre section pour la matière à réviser.

Vérifier la méthode, puis l’intervalle

Si vous avez choisi la bonne région de surplus ou le bon événement, mais bloquez sur la primitive, commencez par simplifier avant de choisir une technique d’intégration. Les exemples ci-dessus ont des intégrandes polynomiaux : les règles élémentaires suffisent. Passez à la substitution ou aux parties seulement si le nouvel intégrande le justifie.
Si un modèle ultérieur a une borne d’intégration infinie ou un intégrande non borné, utilisez la définition d’une intégrale impropre avant de calculer. La densité ci-dessus a un support borné et reste bornée; sa normalisation ne demande donc pas de limite impropre.

Pour une densité, vérifiez toujours qu’elle est non négative, que son support est respecté et que la probabilité totale vaut un. Trouver une primitive ne suffit pas à établir la validité du modèle de probabilité.

Poser une intégrale avec votre tuteur

Apportez l’énoncé et votre plan de cours actuel, si vous les avez. Vous pouvez tracer le graphique et poser l’intégrale avec votre tuteur, ou revoir ce que vous avez commencé. Nous pouvons travailler le choix des bornes, la technique d’intégration ou la vérification du signe et des unités. Pour une intégrale impropre ou l’indice de Gini, joignez le modèle précis afin de suivre les définitions de votre cours.

Nous travaillons sur des exercices autorisés sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

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