McGill University · MATH 222

Tutorat MATH 222 · McGill : Calcul 3

Travaillez les dérivées partielles, l’optimisation et les intégrales multiples de MATH 222 à McGill avec un tuteur en ligne. Vous pouvez partir d’une question ou d’une notion que vous voulez faire expliquer. Votre tuteur peut vous aider à dessiner la surface ou la région, à préciser ce qui reste constant dans une dérivée et à construire les bornes d’intégration à partir du croquis. Si vous avez des calculs, vous pouvez les vérifier ensemble.

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60 min en ligne : 55 $ CAD · Tarifs Préparer un examen Essayer un exercice gratuit Guide gratuit pour MATH 222

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Aperçu du cours

MATH 222 à McGill développe le calcul à plusieurs variables par la géométrie vectorielle, les dérivées partielles, l’optimisation, les systèmes de coordonnées et les intégrales multiples. Il comprend aussi les séries de Taylor.

Notions à travailler pour MATH 222

Séries de TaylorGéométrie vectorielleDérivées partielles et directionnellesOptimisation multivariableCourbes paramétriques et longueur d’arcIntégrales multiples et coordonnées

Difficultés fréquentes

Traduire une région en bornes d’intégrales multiples
Distinguer variations partielles, directionnelles et totales

Choisir l’obstacle, puis l’exemple

Mon domaine ne correspond pas à mes bornes. Reprenez l’exemple existant du triangle et du changement d’ordre.
J’ai trouvé un point stationnaire sans pouvoir déterminer sa nature. Comparez le minimum, le point selle et le test non concluant expliqués plus bas.
J’ai un polynôme sans garantie de précision. Utilisez ce rappel de Taylor à une variable avant de revenir au travail multivariable de votre plan de cours.

Se préparer à ce cours

Combinez calcul à une variable, géométrie vectorielle et schémas. Précisez les variables constantes lors d’une dérivée partielle.

Conditions d’inscription

Les conseils ci-dessus concernent la préparation aux études, pas l’admissibilité. Vérifiez les préalables, restrictions et disponibilités actuels auprès de votre établissement : McGill University.

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Un problème pour s’exercer

Soient $x,y$ des entrées réelles indépendantes et $f(x,y)=x^2+3xy$ . Trouvez la dérivée partielle $\partial f/\partial x$ .

Voir le raisonnement

Une dérivée partielle par rapport à $x$ garde $y$ constant. Le terme $x^2$ donne $2x$ ; dans $3yx$ , le coefficient constant est $3y$ , donc la dérivée vaut $3y$ . Ainsi, $\partial f/\partial x=2x+3y$ .

Laisser la région déterminer les bornes d’intégration

Une intégrale double décrit une région autant qu’un intégrande. Cet exercice montre comment un croquis détermine des bornes dépendantes et pourquoi changer l’ordre doit conserver le même triangle.

1. Repérer les frontières et les sommets

Notons $x$ et $y$ les coordonnées horizontale et verticale du plan, $D$ la région d’intégration, $I$ la valeur de l’intégrale et $dA$ un élément infinitésimal d’aire. La région $D$ est définie par $x\ge0$ , $y\ge0$ et $x+y\le2$ . Ses sommets sont $(0,0)$ , $(2,0)$ et $(0,2)$ . Calculez $I=\iint_D(x+2y)\,dA.$ La frontière inclinée est $y=2-x$ : la hauteur disponible varie donc avec $x$ .

Le triangle est délimité par les axes et

x+y=2

. Pour un

x

fixé, une tranche verticale va de

y=0

y=2-x

2. Utiliser des tranches verticales

Pour chaque $x$ fixé entre $0$ et $2$ , la coordonnée $y$ varie de $0$ à $2-x$ . Ainsi, $I=\int_0^2\int_0^{2-x}(x+2y)\,dy\,dx.$ Traitez $x$ comme une constante dans l’intégrale intérieure : $\begin{aligned}&\int_0^{2-x}(x+2y)\,dy\\&=x(2-x)+(2-x)^2\\&=4-2x.\end{aligned}$ On obtient donc $I=\int_0^2(4-2x)\,dx=4$ .

3. Changer l’ordre avec des tranches horizontales

Pour un $y$ fixé, la coordonnée horizontale varie de $0$ à $2-y$ , avec $0\le y\le2$ . Donc $I=\int_0^2\int_0^{2-y}(x+2y)\,dx\,dy.$ L’intégrale intérieure devient $2+2y-\tfrac32y^2$ ; son intégration de $0$ à $2$ donne encore $4$ . L’ordre a changé, mais la région et l’intégrande sont restés les mêmes.

4. Vérifier aussi la géométrie

L’aire du triangle est $2$ . La valeur moyenne de $x+2y$ sur cette région est donc $4/2=2$ , entre son minimum $0$ et son maximum $4$ sur le triangle. C’est une vérification utile, sans constituer à elle seule une preuve du résultat.

À vous de jouer

Pour le triangle $x\ge0$ , $y\ge0$ , $x+2y\le4$ , écrivez l’aire comme intégrale itérée (deux intégrales emboîtées) dans les deux ordres, puis calculez-la.

Voir la solution expliquée

Notons $A$ l’aire recherchée. Intégrer 1 additionne les éléments d’aire sans les pondérer. Les tranches verticales donnent $\begin{gathered}A\\=\int_0^4\int_0^{(4-x)/2}1\,dy\,dx\\=4.\end{gathered}$ Les tranches horizontales donnent $\begin{gathered}A\\=\int_0^2\int_0^{4-2y}1\,dx\,dy\\=4.\end{gathered}$ La base vaut $4$ et la hauteur $2$ , ce qui confirme la formule de l’aire d’un triangle.

Avant le calcul, décrivez une tranche en mots et testez un point à l’intérieur des bornes proposées. Une primitive correcte ne peut pas corriger une région mal décrite.

Points stationnaires : trouver un candidat n’est que la première étape

Soient $x$ et $y$ deux variables réelles indépendantes. On considère $\begin{aligned}f(x,y)&=x^2+xy+y^2\\&\quad-4x-2y.\end{aligned}$ Trouvez son point stationnaire et déterminez sa nature. Votre conclusion est-elle locale ou globale?

Déterminer la nature du point, puis démontrer le résultat global

Commencez par annuler les deux dérivées partielles : $\begin{aligned}f_x&=2x+y-4=0,\\f_y&=x+2y-2=0.\end{aligned}$ La résolution donne $(2,0)$ , où $f=-4$ . L’annulation des dérivées premières ne suffit pas à établir un minimum.

Lorsque les dérivées partielles secondes sont continues au voisinage d’un point stationnaire, on définit $D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2.$ Ici, $f_{xx}=f_{yy}=2$ et $f_{xy}=1$ , donc $D=3>0$ . Avec $f_{xx}>0$ , cela établit un minimum local strict. Le test donne un maximum local strict si $D>0$ et $f_{xx}<0$ , un point selle si $D<0$ , et ne permet pas de conclure lorsque $D=0$ .

Pour cette fonction, la complétion du carré permet d’aller plus loin : $\begin{aligned}f(x,y)+4&=\left(x-2+\frac y2\right)^2\\&\quad+\frac{3y^2}{4}.\end{aligned}$ Les deux termes sont positifs ou nuls et s’annulent ensemble uniquement en $(2,0)$ . La valeur $-4$ est donc celle de l’unique minimum global.

Comparer un point selle et un test non concluant

Comparez $g(x,y)=x^2-y^2$ à l’origine et $h(x,y)=(x+y)^2$ sur la droite $x+y=0$ . Un test des dérivées secondes non concluant exclut-il l’existence d’un minimum?

Vérifier le raisonnement

Pour $g$ , le gradient est nul à l’origine, mais $D=-4$ . La fonction prend des valeurs positives et négatives arbitrairement près de l’origine : il s’agit d’un point selle.

Pour $h$ , on a $D=0$ et le test ne permet pas de conclure. Pourtant, $h\ge0$ et la fonction s’annule sur $x+y=0$ . Chaque point de cette droite est un minimum global non strict. Un test non concluant ne signifie pas qu’il n’existe aucun minimum.

Si le problème est restreint à un domaine, étudiez aussi sa frontière, en plus des points stationnaires intérieurs.

Pour interpréter les dérivées, revoyez le gradient et les dérivées directionnelles.

Pour une révision connexe à une variable, exercez-vous à l’approximation de Taylor et aux bornes d’erreur.

Comment le tutorat aide

Votre tuteur peut relier votre calcul de dérivée partielle ou de gradient à une surface, en précisant ce qui reste constant et la direction étudiée. Pour les intégrales multiples, vous pouvez examiner ensemble la région et les bornes proposées avant de travailler un changement d’ordre ou de coordonnées.

Préparation aux examens de MATH 222

Vérifiez que les bornes couvrent la région exactement une fois. Travaillez changements de coordonnées, dérivées directionnelles et optimisation selon votre plan.

Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Pratique autonome

Exercices gratuits et guides pour MATH 222

6 questions

Intégrales doubles : régions et changement d’ordre

Travaillez les bornes des intégrales doubles, les régions courbes, le découpage, le changement d’ordre et les coordonnées polaires avec solutions et schémas.

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Questions sur les séances

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Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

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