Travaillez les méthodes d’intégration, leurs applications et l’introduction aux séries de MATH 141 à McGill avec un tuteur en ligne. Vous pouvez partir d’une intégrale que vous ne savez pas encore aborder. Votre tuteur peut vous aider à choisir une méthode, vérifier une primitive en la dérivant et expliquer les bornes à l’aide d’un croquis.
MATH 141 à McGill porte sur les intégrales définies, les techniques d’intégration et leurs applications, ainsi qu’une introduction aux suites et aux séries.
Approfondir une étape du raisonnement
Choisissez un atelier lorsque cette notion figure dans la matière annoncée par votre enseignant. Ces exercices originaux ne reproduisent pas un examen et ne couvrent pas tout le cours.
Intégrales définiesThéorème fondamental du calculTechniques d’intégrationApplications de l’intégrationSuitesIntroduction aux séries
Difficultés fréquentes
Reconnaître la structure d’une substitution ou d’une intégration par parties
Interpréter bornes, signes et arguments de convergence
MATH 141 : choisir la méthode et construire l’intégrale
Choisissez une méthode pour une intégrale définie, puis construisez une intégrale d’aire entre deux courbes. Justifiez la méthode et les bornes avant de calculer.
Ajoutez les suites et les séries si elles figurent dans votre liste de révision.
Avant de commencer : Prévoyez 20 minutes pour les deux questions, puis 10 minutes pour vérifier vos calculs et expliquer vos choix à voix haute.
1. Choisir l’intégration par parties quand la substitution ne simplifie pas le produit
Calculez I=∫0ln2xexdx. Justifiez la méthode et donnez une réponse exacte.
Voir la solution expliquée
L’intégration par parties réduit le polynôme : choisissez u=x et dv=exdx, donc du=dx et v=ex.
I=[xex]0ln2−∫0ln2exdx. Le terme aux bornes vaut 2ln2, et l’intégrale restante vaut 2−1=1. Ainsi, I=2ln2−1.
La primitive (x−1)ex a pour dérivée xex. De plus, I≈0,3863>0, conformément à l’intégrande positif ou nul et aux bornes croissantes.
Prendre simplement l’exposant comme nouvelle variable ne fait ici que renommer la variable. L’étape utile consiste à réduire le facteur polynomial par dérivation.
Construire votre révision à partir de vos réponses
Si la question 1 vous a bloqué
Comparez la substitution et l’intégration par parties dans la leçon sur les méthodes d’intégration. Reprenez ensuite l’exemple de cette page qui combine les deux méthodes, en gardant les bornes transformées à côté de la nouvelle variable.
Si le signe ou les bornes de la question 2 étaient incorrects
Esquissez les deux courbes et marquez chaque intersection. Testez une entrée entre deux intersections successives avant de choisir la fonction supérieure.
Si les séries figurent au plan actuel
Utilisez les exercices de suites et séries de cette page après les intégrales. Distinguez la limite d’une suite de la somme d’une série et écrivez les hypothèses de votre argument de convergence.
Apportez l’intégrale que vous ne pouviez pas construire ou la ligne où la méthode ne vous aidait plus. Une séance ciblée permet de comparer deux premiers choix, puis de résoudre un nouveau problème sans la solution précédente.
Révisez les règles de dérivation, les primitives élémentaires et l’algèbre. Distinguez une accumulation signée d’une aire géométrique avant de choisir les bornes d’intégration.
Conditions d’inscription
Les conseils ci-dessus concernent la préparation aux études, pas l’admissibilité. Vérifiez les préalables, restrictions et disponibilités actuels auprès de votre établissement : McGill University.
Soit x la variable d’intégration. Calculez ∫023x2dx.
Voir le raisonnement
Une primitive est F(x)=x3, puisque F′(x)=3x2. Le théorème fondamental du calcul donne la valeur à la borne supérieure moins celle à la borne inférieure : F(2)−F(0)=23−03=8. Une constante d’intégration s’annulerait dans cette différence.
Une intégrale définie qui demande deux décisions
Une substitution utile peut simplifier une intégrale sans la terminer. Cet exercice combine deux méthodes tout en conservant des bornes cohérentes.
1. Repérer la fonction intérieure et sa dérivée
Notons x la variable réelle d’intégration et I la valeur de l’intégrale définie ci-dessous. Le symbole ln désigne le logarithme naturel. Calculez I=∫01xln(1+x2)dx. La dérivée de 1+x2 est 2x; le facteur extérieur xdx représente donc la moitié de la différentielle recherchée. Le changement u=1+x2 est un bon point de départ.
2. Transformer la différentielle et les deux bornes
Puisque du=2xdx, on obtient xdx=21du. La borne x=0 devient u=1, et x=1 devient u=2. Ainsi, I=21∫12lnudu. Toutes les parties utilisent maintenant la même variable.
3. Intégrer par parties l’intégrale simplifiée
Écrivez lnu sous la forme lnu⋅1. En dérivant le logarithme et en intégrant 1, on trouve ∫lnudu=ulnu−∫uu1du=ulnu−u+C. Le produit restant se simplifie en 1. La méthode applique à l’envers la règle de dérivation d’un produit. Ici, C est une constante d’intégration arbitraire. Elle s’annule dans la différence des valeurs de la primitive aux bornes.
4. Calculer et vérifier l’ordre de grandeur
Avec les nouvelles bornes, I=21[(2ln2−2)−(1ln1−1)]=ln2−21≈0,1931. Pour vérifier l’ordre de grandeur, 0≤x≤1 donne 1≤1+x2≤2. Le logarithme étant croissant, 0≤ln(1+x2)≤ln2. En multipliant par x, qui est positif ou nul, puis en intégrant, on obtient 0≤I≤∫01xln2dx=2ln2≈0,3466. Notre résultat appartient à cet intervalle. Pour vérifier séparément la primitive, dériver 21[(1+x2)ln(1+x2)−(1+x2)] redonne xln(1+x2).
À vous de jouer
Appliquez le même raisonnement à J=∫01xln(1+2x2)dx. Précisez la nouvelle différentielle et les bornes avant d’intégrer.
Voir la solution expliquée
Avec u=1+2x2, du=4xdx et les bornes 1,3, J=41∫13lnudu=43ln3−2≈0,3240. Le nouveau facteur et la nouvelle borne supérieure comptent tous les deux.
Avant chaque calcul, justifiez le prochain choix. Si une substitution laisse une nouvelle intégrale, examinez sa structure plutôt que de forcer à nouveau la première méthode.
Exercice original
Le terme d’une suite et la somme d’une série répondent à deux questions différentes
Soit an=3(1/2)n−1, pour les entiers n≥1. Trouvez la limite de la suite (an), puis la somme de la série ∑n=1∞an. Il s’agit de deux questions différentes.
Voir le raisonnement
Les termes commencent par 3,3/2,3/4,3/8,…. Chacun vaut la moitié du précédent, donc an→0.
Pour étudier la série, définissons sa somme partielle de N termes :SN=3+23+⋯+2N−13.En soustrayant la moitié de cette somme, les termes intermédiaires s’annulent :SN−21SN=3−2N3.Ainsi, SN=6(1−2−N). Puisque 2−N→0, les sommes partielles tendent vers 6. La suite tend vers zéro, tandis que la série a pour somme six.
Après quatre termes, S4=45/8=5,625. La somme des termes restants vaut 6−S4=3/8=0,375.
Erreur à éviter : Le fait que le terme général tende vers zéro ne prouve pas, à lui seul, la convergence d’une série. Ici, la convergence découle de la formule des sommes partielles.
À vous de jouer
Pour bn=2(1/3)n−1, trouvez la limite des termes et la somme de la série.
Vérifier votre raisonnement
La limite des termes vaut 0; la somme vaut 2/(1−1/3)=3, car la valeur absolue de la raison géométrique est inférieure à un.
Pourquoi des termes qui tendent vers zéro ne suffisent pas
La série harmonique est ∑n=1∞1/n. Ses termes tendent vers zéro. La série converge-t-elle?
Voir pourquoi la série diverge
Non. Posons HN=∑n=1N1/n. Pour que la série converge, ces sommes partielles devraient tendre vers un nombre fini. Regroupons les termes après le premier en blocs : 1/2, puis 1/3+1/4, puis 1/5+⋯+1/8, et ainsi de suite.
Pour tout entier k≥1, le bloc allant de n=2k−1+1 à n=2k contient 2k−1 termes. Chaque terme vaut au moins 1/2k, donc chaque bloc contribue au moins 1/2. Après m blocs, pour tout entier m≥1,H2m≥1+2m.
Cette borne croît sans limite lorsque m augmente : les sommes partielles ne sont donc pas bornées. La série harmonique diverge même si 1/n→0. Le raisonnement s’applique à un nombre arbitrairement grand de blocs; vérifier quelques sommes partielles ne suffirait pas à démontrer la divergence.
Si votre plan de cours actuel de MATH 141 comprend les critères de comparaison, du rapport et des séries alternées, poursuivez avec les exercices sur les critères de convergence des séries. Sinon, restez avec les limites de termes et les sommes partielles, puis consultez le plan de cours actuel de votre enseignant avant de passer à ces critères.
Comment le tutorat aide
Vous pouvez partir d’une intégrale que vous ne savez pas comment aborder. Votre tuteur peut expliquer le choix d’une méthode, travailler avec vous le changement de variable et de bornes, puis montrer comment vérifier une primitive en la dérivant. Pour les suites et séries, vous pouvez d’abord clarifier la différence entre un terme et une somme partielle, puis étudier le raisonnement sur la convergence. Vos documents de cours guident les exemples; vous pouvez essayer une question semblable avec de l’aide avant de travailler en autonomie.
Préparation aux examens de MATH 141
Mélangez méthodes, applications géométriques et suites/séries de votre plan. Justifiez les conditions d’un critère de convergence.
Utilisez le plan de votre section pour choisir les chapitres à réviser. Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.
Cours connexes
Liens utiles pour la préparation ou la suite des études; ce ne sont pas des équivalences ni une séquence d’inscription obligatoire.
Comparez la substitution, l’intégration par parties, les fractions partielles et la substitution trigonométrique, avec choix des signes, exemples résolus et exercices progressifs.