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McGill University · MATH 133

Tutorat MATH 133 · McGill : Algèbre linéaire et géométrie

Algèbre linéaire et géométrie : tutorat individuel en ligne et préparation aux examens.

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60 min en ligne : 55 $ CAD · TarifsPréparer un examenEssayer un exercice gratuitGuide gratuit pour MATH 133
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Aperçu du cours

MATH 133 à McGill relie les systèmes et matrices à la géométrie tridimensionnelle, aux espaces vectoriels, aux transformations, aux valeurs propres et à la diagonalisation. Le cours combine calculs et définitions abstraites.

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Notions à travailler pour MATH 133

Systèmes et matricesInverses et déterminantsVecteurs en trois dimensionsEspaces vectoriels et basesTransformations linéairesValeurs propres et diagonalisation

Difficultés fréquentes

  • Relier pivots et variables libres à l’ensemble des solutions
  • Relier géométrie tridimensionnelle et calcul matriciel

Se préparer à ce cours

Manipulez équations, fractions et coordonnées avec aisance. Expliquez le sens d’une solution simultanée avant l’algorithme matriciel.

Conditions d’inscription

Les conseils ci-dessus concernent la préparation aux études, pas l’admissibilité. Vérifiez les préalables, restrictions et disponibilités actuels auprès de votre établissement : McGill University.

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Un problème pour s’exercer

Trouvez les inconnues réelles x,yx,y qui vérifient simultanément x+y=7x+y=7 et 2x−y=22x-y=2.

Voir le raisonnement

Additionnez pour éliminer yy : 3x=93x=9, donc x=3x=3. En remplaçant dans x+y=7x+y=7, on obtient y=4y=4. Vérifiez les deux équations : 3+4=73+4=7 et 2(3)−4=22(3)-4=2.

Quand trois vecteurs n’engendrent qu’un plan

Trois coefficients inconnus ne donnent pas nécessairement trois directions indépendantes. Cet exercice relie les combinaisons linéaires, la compatibilité et le choix d’une base.

1. Chercher une relation avant de réduire une matrice

Travaillons dans l’espace réel à trois coordonnées. Chaque triplet donne les première, deuxième et troisième coordonnées d’un vecteur. Soit u=(1,0,1)u=(1,0,1), v=(0,1,1)v=(0,1,1) et w=(1,1,2)w=(1,1,2). On remarque que w=u+vw=u+v. La relation u+v−w=0u+v-w=0 utilise des coefficients qui ne sont pas tous nuls. Elle prouve donc que les trois vecteurs sont linéairement dépendants. Elle ne signifie pas qu’ils engendrent seulement le vecteur nul.

2. Décrire tous les vecteurs engendrés

Notons a,b,ca,b,c les coefficients réels qui multiplient respectivement u,v,wu,v,w, et (x,y,z)(x,y,z) un vecteur cible. L’espace engendré est l’ensemble des combinaisons obtenues en faisant varier ces coefficients. Une combinaison quelconque s’écrit au+bv+cw=(a+c, b+c, a+b+2c).\begin{gathered}a u+b v+c w\\=(a+c,\,b+c,\,a+b+2c).\end{gathered} La troisième coordonnée est la somme des deux premières. Réciproquement, tout vecteur (x,y,x+y)(x,y,x+y) s’écrit xu+yvx u+y v. L’espace engendré est donc exactement le plan z=x+y.z=x+y.

3. Vérifier si une représentation existe et si elle est unique

Le vecteur (2,3,5)(2,3,5) appartient au plan et vaut 2u+3v2u+3v. Choisissons un réel quelconque tt comme coefficient de ww. Puisque w=u+vw=u+v, soustraire tt des deux autres coefficients conserve la cible. On obtient une infinité de représentations : (2,3,5)=(2−t)u+(3−t)v+tw,t∈R.\begin{gathered}(2,3,5)\\=(2-t)u+(3-t)v+t w,\\t\in\mathbb R.\end{gathered} En revanche, (2,3,6)(2,3,6) n’en admet aucune puisque 6≠2+36\ne2+3. La dépendance peut rendre les coefficients non uniques pour un vecteur du plan; elle ne rend pas toutes les cibles accessibles.

4. Choisir une base et justifier la dimension

Les vecteurs u,vu,v sont indépendants : les deux premières coordonnées de au+bv=0a u+b v=0 imposent a=b=0a=b=0. Comme ils engendrent aussi le plan, {u,v}\{u,v\} en est une base et sa dimension est 22. Les coordonnées dans cette base sont uniques.

À vous de jouer

Ajoutez p=(0,0,1)p=(0,0,1). L’ensemble {u,v,p}\{u,v,p\} est-il une base de R3\mathbb R^3? Exprimez un vecteur quelconque (x,y,z)(x,y,z) avec cet ensemble.

Voir la solution expliquée

Oui. Le nouveau vecteur est extérieur au plan z=x+yz=x+y, et (x,y,z)=xu+yv+(z−x−y)p.\begin{aligned}&(x,y,z)\\&=x u+y v\\&\quad+(z-x-y)p.\end{aligned} Les deux premières coordonnées imposent les coefficients x,yx,y de u,vu,v; la troisième fixe ensuite celui de pp. La représentation existe donc et est unique pour toute cible.

Au prochain problème de vecteurs, identifiez la question : une représentation existe-t-elle, est-elle unique, ou quelle base choisir? Ces questions sont liées, mais demandent des justifications différentes.

Comment le tutorat aide

Votre tuteur peut parcourir avec vous le système, la matrice augmentée et le croquis pour repérer la première étape mal comprise. Comparer un système incompatible à un système compatible avec une variable libre peut vous aider à expliquer la différence au-delà des règles de réduction.

Préparation aux examens de MATH 133

Après chaque réduction, expliquez le résultat en une phrase. Mélangez calcul, géométrie et définitions, puis vérifiez par substitution.

Utilisez le plan de votre section pour choisir les chapitres à réviser. Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Liens utiles pour la préparation ou la suite des études; ce ne sont pas des équivalences ni une séquence d’inscription obligatoire.

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Questions sur les séances

Dans quelle langue les séances se déroulent-elles?

Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

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