Tutorat MATH 323 McGill : probabilités

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MATH 323 à McGill développe les probabilités à l’aide du calcul différentiel et intégral. Des événements et du dénombrement, le cours passe aux lois discrètes et continues, à l’indépendance, aux inégalités probabilistes et aux théorèmes limites. McGill indique une offre à l’automne 2026 et à l’hiver 2027. Les exercices ci-dessous ciblent les densités conditionnelles et la variabilité d’une moyenne d’échantillon.

Commencez ici

Suivre un exemple de densité conditionnelle
Appliquer le théorème central limite à une moyenne
Transformer une variable avec sa fonction de répartition
Voir comment le tutorat peut aider en probabilités

Notions à travailler pour MATH 323

Événements, probabilité conditionnelle et théorème de BayesProbabilités combinatoiresVariables aléatoires discrètes et continuesLois à une et à plusieurs variablesIndépendance des événements et des variables aléatoiresInégalités probabilistes et loi faible des grands nombresThéorème central limite

Difficultés fréquentes

Intégrer sur le support réel plutôt que sur un rectangle qui l’entoure
Distinguer une valeur de densité d’une probabilité d’événement
Normaliser une densité conditionnelle sur la bonne tranche
Distinguer variance, écart-type et convergence en probabilité

Se préparer à ce cours

Révisez les intégrales définies, les inégalités, l’espérance et la variance. Le court exercice ci-dessous examine l’effet d’une moyenne d’observations indépendantes. L’exemple résolu utilise ensuite une intégrale itérée pour normaliser une densité conjointe avant de conditionner.

Conditions d’inscription

McGill exige MATH 141 ou une formation équivalente. Le cours s’adresse aux étudiants en sciences, en génie et dans les domaines connexes ayant étudié le calcul différentiel et intégral. Il n’est pas ouvert aux étudiants ayant suivi ou suivant MATH 356. Confirmez votre admissibilité auprès de McGill.

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Vérifier l’effet de la moyenne sur la variabilité

Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi, de moyenne commune $\mu$ et de variance finie $\sigma^2>0$ . Ici, $n$ est la taille de l’échantillon et $i$ désigne une observation. Définissez la moyenne d’échantillon par $\overline X_n=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i.$ Un étudiant affirme : « Passer de 25 à 100 observations divise la variance par deux, et la loi faible des grands nombres garantit que la moyenne vaut $\mu$ à 100 observations. » Corrigez les deux affirmations. Que devient l’écart-type?

Voir un indice

Pour une constante réelle $a$ , $\operatorname{Var}(aX_i)=a^2\operatorname{Var}(X_i)$ . L’indépendance permet d’additionner les variances de ces observations. L’écart-type est la racine carrée de la variance. Une probabilité qui tend vers zéro impose-t-elle une erreur exactement nulle pour une taille d’échantillon fixée?

Voir le raisonnement

Appliquer le facteur d’échelle au carré
La notation $\operatorname{Var}$ désigne la variance. Par indépendance, $\begin{gathered}\operatorname{Var}(\overline X_n)\\=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sigma^2\\=\frac{\sigma^2}{n}.\end{gathered}$ Diviser chaque observation par $n$ apporte un facteur $1/n^2$ , et non $1/n$ , avant d’additionner les variances.
Comparer variance et écart-type
La variance passe de $\sigma^2/25$ à $\sigma^2/100$ : elle est divisée par quatre. Avec $\sigma>0$ l’écart-type commun, l’écart-type de la moyenne vaut $\sigma/\sqrt n$ . Il passe de $\sigma/5$ à $\sigma/10$ , donc il est divisé par deux.
Distinguer une petite erreur d’une erreur nulle
Pour toute tolérance fixée $\varepsilon>0$ , l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $\begin{gathered}P(|\overline X_n-\mu|\ge\varepsilon)\\\le\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}.\end{gathered}$ La borne tend vers zéro lorsque $n$ augmente. Sous les hypothèses données, cela démontre la loi faible des grands nombres : la probabilité d’une erreur au moins égale à la tolérance fixée tend vers zéro. Cela ne garantit pas l’égalité exacte pour $n=100$ , ni pour une autre taille d’échantillon fixée.

Exercices originaux · MATH 323

Utiliser le théorème central limite pour une moyenne

L’exercice précédent trouve la dispersion d’une moyenne. Le théorème central limite (TCL) apporte une loi limite qui permet d’approximer des probabilités.

Revoir l’exercice sur la variance de la moyenne

Choisir la quantité et vérifier le modèle

Nommer la quantité aléatoire
Soient $X_1,\ldots,X_n$ des observations indépendantes et de même loi, de moyenne commune $\mu$ et de variance finie strictement positive $\sigma^2$ . L’entier positif $n$ est la taille de l’échantillon, $i$ désigne une observation et $\sigma>0$ est l’écart-type de la population. La quantité aléatoire étudiée est la moyenne d’échantillon $\overline X_n$ , et non une observation. Son écart-type, aussi appelé erreur-type, vaut $\sigma/\sqrt n$ .
Centrer et réduire la moyenne
Définissez la moyenne centrée réduite, sans unité, par $Z_n=\frac{\overline X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}.$ Sous ces hypothèses, le TCL affirme que la loi de $Z_n$ tend vers la loi normale centrée réduite lorsque $n$ augmente. La notation $Z\sim N(0,1)$ désigne une variable normale de moyenne nulle et de variance un; $\Phi(z)=P(Z\le z)$ est sa probabilité cumulée au seuil sans unité $z$ .
Distinguer approximation et normalité exacte
Pour une population non normale, un calcul normal à taille finie est une approximation. Sa précision dépend de la forme de la population, de la taille de l’échantillon et de l’événement, surtout dans les queues. Il n’existe aucune garantie universelle « $n\ge30$ ». Si les observations indépendantes suivent plutôt une même loi normale, leur moyenne est exactement normale pour tout $n$ , et $Z_n$ suit exactement la loi normale centrée réduite.
Distinguer le TCL de la loi faible
La loi faible affirme que, pour toute tolérance fixée $\varepsilon>0$ , la probabilité $P(|\overline X_n-\mu|\ge\varepsilon)$ tend vers zéro. La tolérance a les mêmes unités qu’une observation. Le TCL décrit la forme limite des fluctuations centrées réduites $Z_n$ . La loi faible seule ne fournit ni approximation normale ni probabilité exacte à taille finie.

Approximation résolue : une durée moyenne

Utilisez ce modèle hypothétique : chaque durée $X_i$ suit une loi uniforme entre 0 et 12 minutes, et les durées sont indépendantes. Les quantités $X_i$ , $\overline X_n$ , $\mu$ et $\sigma$ se mesurent en minutes; la variance, en minutes carrées. Ainsi, $\mu=6$ , $\sigma^2=12$ et $\sigma=\sqrt{12}$ . Pour $n=48$ , approximez $P(\overline X_{48}>6{,}5)$ : la probabilité que la moyenne dépasse 6,5 minutes.

La population est bornée et symétrique, avec une variance finie : ce modèle convient à un exercice d’approximation par le TCL. Les durées individuelles suivent une loi uniforme, et non normale; la réponse doit donc rester présentée comme une approximation.

Voir l’approximation expliquée

Utiliser la dispersion de la moyenne
Pour 48 observations indépendantes, l’erreur-type vaut $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{48}}=0{,}5$ minute. L’écart-type de la population $\sigma$ mesure la dispersion d’une durée individuelle; utilisez l’erreur-type pour cette moyenne.
Garder l’événement dans la queue droite
Le seuil est $z=\frac{6{,}5-6}{0{,}5}=1.$ Le numérateur et le dénominateur se mesurent en minutes : $z$ est donc sans unité. L’événement recherché devient $Z_{48}>1$ .
Calculer une queue normale et l’interpréter
À l’aide d’une table normale ou d’une calculatrice, $\begin{gathered}P(\overline X_{48}>6{,}5)\\\approx P(Z>1)\\=1-\Phi(1)\approx0{,}1587.\end{gathered}$ Selon ce modèle, environ 15,9 % des échantillons indépendants de 48 durées ont une moyenne supérieure à 6,5 minutes. Cet énoncé porte sur des moyennes d’échantillons répétés, pas sur la proportion de durées individuelles supérieures à 6,5 minutes.

À vous : quadrupler la taille de l’échantillon

Gardez le même modèle de durées uniformes indépendantes et le même seuil de 6,5 minutes, mais prenez $n=192$ . Trouvez la nouvelle erreur-type, le seuil centré réduit et l’approximation par le TCL de $P(\overline X_{192}>6{,}5)$ . Expliquez pourquoi la probabilité change.

Vérifier l’effet de la taille

Quadrupler $n$ divise l’erreur-type par deux : $\sqrt{12}/\sqrt{192}=0{,}25$ minute. Le seuil sans unité est $z=(6{,}5-6)/0{,}25=2$ . Donc, $\begin{gathered}P(\overline X_{192}>6{,}5)\\\approx1-\Phi(2)\approx0{,}0228.\end{gathered}$ La probabilité vaut maintenant environ 2,3 %. Le seuil se trouve à deux erreurs-types au-dessus de la moyenne inchangée, plutôt qu’à une seule : moins de moyennes d’échantillons le dépassent. Aucune des deux lois à taille finie n’est exactement normale.

Vérifier les hypothèses : un grand échantillon suffit-il?

Un étudiant affirme que $n=100$ rend toute moyenne exactement normale. Dans un jeu de données, chaque observation répète une seule et même durée tirée du modèle uniforme; dans un autre, les observations sont indépendantes et de même loi, mais leur variance est infinie. Le TCL iid à variance finie énoncé plus haut justifie-t-il l’une ou l’autre conclusion? Ici, « iid » signifie indépendantes et identiquement distribuées.

Vérifier les hypothèses

Non. Répéter une seule durée aléatoire crée des observations dépendantes. Leur moyenne égale cette durée unique : la moyenne ne réduit donc pas la dispersion. La formule $\sigma/\sqrt n$ ne s’applique pas ici.

Une variance infinie contredit une hypothèse de cette version du TCL : celle-ci ne justifie donc ni la standardisation affichée ni une approximation normale. D’autres théorèmes limites ont leurs propres hypothèses. Même avec des observations iid et une variance finie strictement positive, $n=100$ seul ne prouve ni normalité exacte ni précision donnée de l’approximation.

Exercices originaux sur des notions ciblées, sans constituer une évaluation officielle de McGill ni une révision complète de MATH 323. Consultez le plan actuel de votre section pour confirmer les méthodes attendues.

Leçon guidée originale · MATH 323

Transformer une variable aléatoire avec sa fonction de répartition

Une transformation modifie les valeurs possibles d’une variable aléatoire, mais les probabilités proviennent toujours du modèle initial. Commencez par l’événement $g(X)\le y$ , plutôt que par une formule de densité mémorisée. Cette leçon développe la méthode de la fonction de répartition, y compris pour la transformation non monotone $Y=X^2$ .

Préalables : intégrales de densités à une variable, inégalités, fonctions inverses et règle de dérivation en chaîne. Tous les modèles numériques ci-dessous utilisent des variables sans unité. Les exemples et exercices sont originaux; ce ne sont pas des questions d’évaluation officielles.

Ce que vous saurez faire

Déterminer les valeurs possibles d’une variable transformée avant de calculer.
Traduire un événement de répartition en intervalles pour la variable initiale.
Traiter une transformation décroissante et une transformation à deux branches inverses.
Vérifier la normalisation et reconnaître une masse ponctuelle dans la loi transformée.

La méthode : commencer par le support

Repérer les valeurs d’entrée et de sortie
Soit $X$ de densité $f_X$ sur un ensemble $S$ , et soit $Y=g(X)$ . Déterminez d’abord l’image de $S$ par $g$ . Une entrée positive ne donne pas nécessairement une sortie positive; une fonction non linéaire peut changer de sens à l’intérieur du support. Incluez les valeurs frontières pour décrire la fermeture du support, même si leur probabilité individuelle est nulle.
Ramener l’événement aux valeurs d’entrée
Pour tout seuil réel $y$ , la fonction de répartition est $F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y).$ Posons $A_y=\{x\in S:g(x)\le y\}$ . Alors $F_Y(y)=\int_{A_y} f_X(x)\,dx.$ L’ensemble $A_y$ peut être vide, être un intervalle, réunir plusieurs intervalles ou couvrir tout $S$ . Un croquis de $g$ aide, mais ce sont l’inégalité et l’intersection avec le support qui déterminent les bornes d’intégration.
Séparer les cas avant de dériver
En dessous de l’ensemble des sorties possibles, la fonction de répartition vaut zéro; à partir de sa plus grande valeur, si elle existe, elle vaut un. À l’intérieur, repérez chaque seuil où une branche inverse atteint une extrémité de $S$ . Ce sont des points possibles de changement de formule. Vérifiez que $F_Y$ est croissante au sens large et continue à droite, avec des limites zéro et un aux deux infinis.
Dériver seulement là où une densité décrit la loi
Sur les portions lisses d’une loi absolument continue, $f_Y(y)=F_Y^{\prime}(y)$ . Si $g$ est strictement monotone et dérivable, si son inverse est dérivable et si $g^{\prime}$ ne s’annule pas sur l’intervalle considéré, alors $f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|.$ La valeur absolue assure une densité non négative. Cette expression vaut zéro hors du support transformé.
Pour un nombre fini de branches monotones lisses, additionnez les contributions de toutes les valeurs inverses appartenant au support initial : $f_Y(y)=\sum_{x:g(x)=y}\frac{f_X(x)}{|g^{\prime}(x)|}.$ Utilisez cette formule loin des valeurs critiques où les dénominateurs affichés s’annulent. Une densité peut être non bornée près d’une telle valeur tout en ayant une intégrale égale à un. La méthode de la fonction de répartition reste le point de départ le plus sûr.
Rechercher les intervalles ramenés à un point
Une entrée continue ne garantit pas une loi de sortie continue. Si $g$ envoie un intervalle de probabilité positive sur une seule valeur $c$ , alors $P(Y=c)>0$ . La fonction de répartition présente un saut en $c$ ; la dérivation ordinaire ne récupère pas cette masse. Une réponse complète précise les masses ponctuelles et la partie continue. L’exercice 4 explicite cette distinction.

Deux raccourcis à manier avec soin

Une fonction décroissante inverse l’inégalité
Pour une variable $X$ continue et une fonction $g$ strictement décroissante, à une valeur intérieure de l’image, $F_Y(y)=1-F_X(g^{-1}(y)).$ L’événement est $X\ge g^{-1}(y)$ , et non $X\le g^{-1}(y)$ . C’est la continuité de $X$ qui permet d’inclure la borne sans modifier la probabilité. En présence de masses ponctuelles, le complément correct utilise la limite à gauche de $F_X$ .
Le carré n’a pas un seul inverse global
Pour $y\ge0$ , $\{X^2\le y\}=\{-\sqrt y\le X\le\sqrt y\}.$ Prenez l’intersection de cet intervalle avec le support initial. Garder seulement $+\sqrt y$ fait perdre la branche négative; conserver les deux branches après que l’une a quitté le support compte des résultats impossibles.

Deux exemples résolus

Exemple 1 : une transformation strictement décroissante

Soit $f_X(x)=2x$ pour $0<x<1$ , et zéro ailleurs. Posons $Y=-\ln X$ . Déterminez la fonction de répartition et la densité de $Y$ , puis calculez $P(Y>1)$ .

Vérifier la loi initiale et déterminer l’image
La densité initiale vérifie $\int_0^1 2x\,dx=1$ , et $F_X(x)=x^2$ pour $0<x<1$ . La fonction $-\ln x$ décroît de valeurs positives arbitrairement grandes vers zéro. Ainsi, $Y>0$ presque sûrement et la fermeture du support est $[0,\infty)$ .
Résoudre l’inégalité de répartition
Pour $y<0$ , $F_Y(y)=0$ . Pour $y\ge0$ , $-\ln X\le y\iff X\ge e^{-y}.$ Donc $F_Y(y)=\int_{e^{-y}}^1 2x\,dx=1-e^{-2y}.$ À $y=0$ , cette formule donne zéro, ce qui concorde avec l’absence de masse ponctuelle en zéro.
Dériver et vérifier
La densité est $f_Y(y)=2e^{-2y}$ pour $y>0$ , et zéro pour $y<0$ . Sa valeur au seul point zéro peut être choisie arbitrairement. La normalisation donne $\int_0^\infty 2e^{-2y}\,dy=1$ . Vérification indépendante : l’inverse $x=e^{-y}$ donne $2e^{-y}|-e^{-y}|=2e^{-2y}$ .
Interpréter une probabilité avec les deux variables
$P(Y>1)=1-F_Y(1)=e^{-2}\approx0.1353.$ De façon équivalente, $Y>1$ signifie $X<e^{-1}$ , de probabilité $(e^{-1})^2$ . Les grandes valeurs de la variable transformée correspondent à de petites valeurs d’entrée, et non à de grandes valeurs.

Exemple 2 : le carré sur un support asymétrique

Soit $X$ uniforme sur $[-1,2]$ , donc de densité $f_X(x)=1/3$ à l’intérieur de cet intervalle. Posons $Y=X^2$ . Déterminez sa fonction de répartition et sa densité, puis calculez $P(1<Y\le9/4)$ .

Déterminer le support et le point de changement
Le support transformé est $[0,4]$ , et non $[1,4]$ : l’intervalle initial contient zéro. Pour $0\le y\le1$ , les deux valeurs $-\sqrt y$ et $\sqrt y$ appartiennent à $[-1,2]$ . Pour $1<y\le4$ , l’inverse négatif est inférieur à $-1$ ; l’événement commence donc à l’extrémité $-1$ du support.
Mesurer les bons intervalles d’entrée
Pour $0\le y\le1$ , l’événement est $-\sqrt y\le X\le\sqrt y$ , un intervalle de longueur $2\sqrt y$ . Pour $1<y\le4$ , c’est $-1\le X\le\sqrt y$ , de longueur $1+\sqrt y$ . Divisez chaque longueur par la longueur totale 3 du support initial :
$F_Y(y)=\begin{cases}0,&y<0,\\2\sqrt y/3,&0\le y\le1,\\(1+\sqrt y)/3,&1<y<4,\\1,&y\ge4.\end{cases}$
Dériver chaque morceau intérieur
$f_Y(y)=\begin{cases}1/(3\sqrt y),&0<y<1,\\1/(6\sqrt y),&1<y<4,\\0,&y<0\text{ ou }y>4.\end{cases}$
Les valeurs aux points isolés 0, 1 et 4 ne changent pas les intégrales. En dessous de 1, les deux branches inverses contribuent chacune $1/(6\sqrt y)$ ; au-dessus de 1, seule la branche positive contribue. Une formule unique gardant les deux branches jusqu’à 4 compterait trop de probabilité.
Vérifier la continuité, la normalisation et l’événement
Les deux morceaux de la fonction de répartition donnent $2/3$ en 1, et le morceau supérieur tend vers un en 4. Il n’y a pas de saut, donc pas de masse ponctuelle au changement de formule. La densité n’est pas bornée près de zéro, mais $\int_0^1\frac{dy}{3\sqrt y}+\int_1^4\frac{dy}{6\sqrt y}=\frac23+\frac13=1.$
Enfin, $P(1<Y\le9/4)=F_Y(9/4)-F_Y(1)=\frac56-\frac23=\frac16.$ Directement, l’intervalle d’entrée admissible est $(1,3/2]$ . L’intervalle négatif correspondant $[-3/2,-1)$ est entièrement hors du support initial; l’extrémité $-1$ est exclue par l’inégalité stricte $1<Y$ .

Quatre exercices progressifs

Essayez chaque problème avant d’afficher la solution. Pour toute fonction de répartition, précisez ses valeurs à l’extérieur de l’image de la transformation, ainsi qu’à l’intérieur.

Niveau 1 · fonction croissante

1. Étirer et décaler

Soit $X\sim\mathrm{Uniform}[-1,3]$ et $Y=2X+1$ . Déterminez le support, la fonction de répartition et la densité de $Y$ . Calculez $P(1<Y\le5)$ .

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Transformer l’événement
La fonction croissante envoie $[-1,3]$ sur $[-1,7]$ . Pour $-1\le y\le7$ , $Y\le y$ signifie $X\le(y-1)/2$ , donc $F_Y(y)=\frac{(y-1)/2+1}{4}=\frac{y+1}{8}.$ La fonction de répartition vaut zéro en dessous de $-1$ et un au-dessus de 7.
Vérifier la densité et la probabilité
$f_Y(y)=1/8$ pour $-1<y<7$ , et zéro ailleurs; son intégrale est $8/8=1$ . Ainsi, $P(1<Y\le5)=6/8-2/8=1/2$ . De façon équivalente, l’événement initial est $0<X\le2$ , un intervalle de longueur 2 sur 4.

Niveau 2 · fonction décroissante

2. Prendre l’inverse d’une variable positive

Soit $X\sim\mathrm{Uniform}[1,4]$ et $Y=1/X$ . Déterminez sa fonction de répartition et sa densité. Calculez $P(Y\le1/2)$ et expliquez le sens de l’inégalité.

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Utiliser la décroissance
Le support de sortie est $[1/4,1]$ . Pour $1/4\le y\le1$ , $1/X\le y$ équivaut à $X\ge1/y$ , puisque les deux variables considérées sont positives. Ainsi, $F_Y(y)=\frac{4-1/y}{3}.$ La fonction de répartition vaut zéro en dessous de $1/4$ et un au-dessus de 1; ses valeurs aux extrémités concordent avec ces morceaux extérieurs.
Dériver et vérifier
La densité est $f_Y(y)=1/(3y^2)$ pour $1/4<y<1$ , et zéro ailleurs. Son intégrale est $[-1/(3y)]_{1/4}^{1}=1$ . À $y=1/2$ , la fonction de répartition vaut $(4-2)/3=2/3$ , exactement $P(X\ge2)$ . Utiliser $P(X\le2)$ sélectionnerait la mauvaise queue de distribution.

Niveau 3 · branches de poids différents

3. Élever au carré une entrée non uniforme

Soit $f_X(x)=(x+1)/2$ pour $-1<x<1$ , et zéro ailleurs. Posons $Y=X^2$ . Déterminez sa fonction de répartition et sa densité, puis calculez $E[Y]$ . Pourquoi ne peut-on pas doubler la contribution de la branche positive?

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Intégrer les deux branches ensemble
La densité initiale est non négative et son intégrale vaut un. Le support de sortie est $[0,1]$ . Pour $0\le y\le1$ , $F_Y(y)=\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\frac{x+1}{2}\,dx=\sqrt y.$ Le terme impair $x/2$ s’annule à l’intégration sur cet intervalle symétrique. La fonction de répartition vaut zéro en dessous de zéro et un au-dessus de un.
Comparer les poids des branches
La dérivation donne $f_Y(y)=1/(2\sqrt y)$ pour $0<y<1$ , et zéro ailleurs. Son intégrale vaut un. La formule par branches donne le même résultat :
$\frac{f_X(\sqrt y)+f_X(-\sqrt y)}{2\sqrt y}=\frac{1}{2\sqrt y}.$
Les deux valeurs de densité initiale sont $(1+\sqrt y)/2$ et $(1-\sqrt y)/2$ ; leurs contributions ne sont donc pas égales. Doubler la branche positive donnerait la fausse densité $(1+\sqrt y)/(2\sqrt y)$ , dont l’intégrale vaut $3/2$ , et non un.
Vérifier l’espérance de deux façons
$E[Y]=\int_0^1 y\frac{dy}{2\sqrt y}=\frac13.$ Directement à partir de l’entrée, $E[X^2]=\int_{-1}^1 x^2(x+1)/2\,dx=1/3$ : le terme cubique a une intégrale nulle. Les résultats concordent puisque $Y=X^2$ .

Niveau 4 · loi mixte

4. Détecter une masse ponctuelle

Soit $X\sim\mathrm{Uniform}[-2,3]$ et $Y=\max(0,X)$ . Déterminez la fonction de répartition complète, toute masse ponctuelle et la partie continue, puis calculez $P(Y\le1)$ et $E[Y]$ . Expliquez pourquoi la dérivée de la fonction de répartition ne décrit pas à elle seule toute la loi.

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Trouver ce qui est ramené à zéro
Toute entrée $X\le0$ est envoyée sur zéro, donc $P(Y=0)=2/5$ . Le support de sortie est $[0,3]$ . Pour $0\le y<3$ , l’événement $Y\le y$ est $X\le y$ , ce qui inclut toutes les entrées négatives. Ainsi,
$F_Y(y)=\begin{cases}0,&y<0,\\(y+2)/5,&0\le y<3,\\1,&y\ge3.\end{cases}$
Décrire toute la loi
La fonction de répartition saute de zéro à $2/5$ en zéro. La partie continue a une densité $1/5$ sur $(0,3)$ , pour une probabilité totale $3/5$ . Ensemble, la masse ponctuelle et la partie continue totalisent un. Aucune densité ordinaire par rapport à la longueur ne représente toute cette loi : intégrer seulement la dérivée donne $3/5$ .
Calculer la probabilité et la moyenne
$P(Y\le1)=\frac25+\int_0^1\frac15\,dy=\frac35.$ La moyenne est $E[Y]=0\cdot\frac25+\int_0^3\frac y5\,dy=\frac9{10}.$ La masse ponctuelle contribue aux probabilités, mais sa contribution à cette espérance est nulle puisque sa position est zéro.

Avant de poursuivre

Ai-je pris l’intersection de chaque intervalle inverse avec le support initial?
Ai-je inversé l’inégalité pour une transformation décroissante?
Ai-je inclus toutes les branches inverses admissibles, et seulement celles-ci?
La fonction de répartition a-t-elle les bonnes valeurs frontières, la bonne monotonie et la continuité à droite?
Les probabilités continues et les masses ponctuelles totalisent-elles un?

Enrichissement original sur un thème précis de probabilités, en complément de MATH 323. Ce n’est ni une évaluation officielle de McGill, ni une affirmation sur le programme de la session actuelle, ni une révision complète du cours. Consultez le plan actuel de votre section pour connaître les méthodes attendues.

Exemple résolu : trouver la constante d’une densité, puis une probabilité conditionnelle

Soient $X$ et $Y$ des variables aléatoires continues sans dimension. Leur densité conjointe vaut $f_{X,Y}(x,y)=cx$ sur la région $D=\{(x,y):0<x<y<1\},$ et zéro ailleurs. Ici, $x,y$ sont des coordonnées réelles et $c>0$ est une constante inconnue. Soit $A$ l’événement $X<1/4$ . Trouvez $c$ , puis $P(A\mid Y=1/2)$ à l’aide d’une densité conditionnelle.

1. Repérer la région de la densité et rendre son intégrale totale égale à 1

Pour chaque $y$ fixé entre 0 et 1, la tranche horizontale va de $x=0$ à $x=y$ . La densité est non négative et son intégrale totale doit valoir 1 : $1=\int_0^1\int_0^y cx\,dx\,dy.$ D’abord, $\int_0^y cx\,dx=cy^2/2$ . Ensuite, $\begin{aligned}1&=\int_0^1\frac{cy^2}{2}\,dy\\&=\frac c6.\end{aligned}$ Donc $c=6$ . Le triangle indique où la densité peut être positive. Pour calculer une probabilité, il faut intégrer la densité, et non simplement calculer l’aire du triangle.

Triangle au-dessus de x = y et sous y = 1, avec x positif. À y = 1/2, la tranche horizontale va de x = 0 à x = 1/2. Sa moitié gauche plus foncée va jusqu’à x = 1/4. La coloration indique où la densité peut être positive; elle ne représente pas une probabilité. — La tranche horizontale fixe Y = 1/2. Son segment plus foncé marque X < 1/4. Lisez les bornes sur le schéma; calculez la probabilité en intégrant la densité conditionnelle.

2. Trouver la densité marginale de Y

La densité marginale $f_Y(y)$ décrit $Y$ seule. Pour $0<y<1$ , on l’obtient en intégrant sur toutes les valeurs permises de $x$ : $\begin{aligned}f_Y(y)&=\int_0^y6x\,dx\\&=3y^2.\end{aligned}$ Elle vaut zéro ailleurs. Vérifiez que $\int_0^1 3y^2\,dy=1$ . À la valeur de Y choisie, $f_Y(1/2)=3/4>0$ .

3. Normaliser dans la tranche choisie

Pour $0<y<1$ , la densité conditionnelle est la densité conjointe divisée par la densité marginale positive. Pour $0<x<y$ , $\begin{aligned}f_{X\mid Y}(x\mid y)&=\frac{6x}{3y^2}\\&=\frac{2x}{y^2}.\end{aligned}$ Elle vaut zéro pour tout autre $x$ . Elle est normalisée puisque $\int_0^y\frac{2x}{y^2}\,dx=1.$ Ici, $P(Y=y)=0$ ; le conditionnement est défini par la formule des densités, et non en divisant des probabilités qu’une variable continue prenne une valeur exacte.

4. Intégrer la densité conditionnelle sur l’événement

En posant $y=1/2$ , on obtient la densité $8x$ pour $0<x<1/2$ , et zéro ailleurs. L’événement $A$ limite l’intégrale à $0<x<1/4$ : $\begin{gathered}P(A\mid Y=1/2)\\=\int_0^{1/4}8x\,dx\\=[4x^2]_0^{1/4}=\frac14.\end{gathered}$ La probabilité conditionnelle d’être dans la moitié gauche de l’intervalle permis n’est que d’un quart : la densité augmente avec $x$ , donc la loi sur cet intervalle n’est pas uniforme.

À vous de jouer

Avec la même valeur de conditionnement $Y=1/2$ , trouvez $P(X<3/4\mid Y=1/2).$ Faut-il prolonger la formule $8x$ jusqu’à $3/4$ ?

Voir la solution expliquée

Non. La densité conditionnelle vaut $8x$ uniquement sur $0<x<1/2$ , et zéro ailleurs. Toute valeur permise satisfait déjà $X<3/4$ , donc la probabilité vaut $\int_0^{1/2}8x\,dx=1$ . Utiliser la formule hors de l’intervalle où la densité peut être positive donnerait $9/4$ , qui n’est pas une probabilité.

Si les bornes posaient problème, révisez les tranches horizontales et verticales avant de poursuivre les calculs de probabilité. Si la normalisation posait problème, vérifiez l’intégrale totale à chaque étape : densité conjointe, marginale et conditionnelle.

Comment le tutorat aide

Apportez un problème de MATH 323 qui vous bloque ou une notion de probabilités que vous aimeriez mieux comprendre. Nous pouvons aussi partir des notions de base et avancer étape par étape pour vous aider à gagner en confiance. Si vous avez un plan de cours, vous pouvez le partager pour aider à choisir les notions à travailler. Le tuteur peut vous aider à traduire l’énoncé en événements ou variables aléatoires, tracer le support, poser les bornes d’intégration et vérifier chaque normalisation. Pour les moyennes et les théorèmes limites, il peut reprendre le calcul de variance et vérifier si les hypothèses justifient votre conclusion.

Préparation aux examens de MATH 323

Exercez-vous à définir les événements ou variables aléatoires avant de choisir une formule. Pour une densité, précisez le support et vérifiez la normalisation; pour un théorème limite, énoncez les hypothèses et la quantité qui converge. Ces exercices ciblent certaines compétences. Les consignes actuelles de votre section déterminent la matière et les méthodes de chaque évaluation.

Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Liens utiles pour la préparation ou la suite des études; ce ne sont pas des équivalences ni une séquence d’inscription obligatoire.

Pratique autonome

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Le guide de Bayes révise le conditionnement par un événement de probabilité positive. L’exemple résolu ici emploie une densité pour conditionner par une valeur continue. Revoir le conditionnement par un événement avant les densités

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Tutorat MATH 323 à McGill : probabilités

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Notions à travailler pour MATH 323

Difficultés fréquentes

Se préparer à ce cours

Conditions d’inscription

Vérifier l’effet de la moyenne sur la variabilité

Appliquer le facteur d’échelle au carré

Comparer variance et écart-type

Distinguer une petite erreur d’une erreur nulle

Utiliser le théorème central limite pour une moyenne

Choisir la quantité et vérifier le modèle

Nommer la quantité aléatoire

Centrer et réduire la moyenne

Distinguer approximation et normalité exacte

Distinguer le TCL de la loi faible

Approximation résolue : une durée moyenne

Utiliser la dispersion de la moyenne

Garder l’événement dans la queue droite

Calculer une queue normale et l’interpréter

À vous : quadrupler la taille de l’échantillon

Vérifier les hypothèses : un grand échantillon suffit-il?

Transformer une variable aléatoire avec sa fonction de répartition

Ce que vous saurez faire

La méthode : commencer par le support

Repérer les valeurs d’entrée et de sortie

Ramener l’événement aux valeurs d’entrée

Séparer les cas avant de dériver

Dériver seulement là où une densité décrit la loi

Rechercher les intervalles ramenés à un point

Deux raccourcis à manier avec soin

Une fonction décroissante inverse l’inégalité

Le carré n’a pas un seul inverse global

Deux exemples résolus

Exemple 1 : une transformation strictement décroissante

Vérifier la loi initiale et déterminer l’image

Résoudre l’inégalité de répartition

Dériver et vérifier

Interpréter une probabilité avec les deux variables

Exemple 2 : le carré sur un support asymétrique

Déterminer le support et le point de changement

Mesurer les bons intervalles d’entrée

Dériver chaque morceau intérieur

Vérifier la continuité, la normalisation et l’événement

Quatre exercices progressifs

1. Étirer et décaler

Transformer l’événement

Vérifier la densité et la probabilité

2. Prendre l’inverse d’une variable positive

Utiliser la décroissance

Dériver et vérifier

3. Élever au carré une entrée non uniforme

Intégrer les deux branches ensemble

Comparer les poids des branches

Vérifier l’espérance de deux façons

4. Détecter une masse ponctuelle

Trouver ce qui est ramené à zéro

Décrire toute la loi

Calculer la probabilité et la moyenne

Avant de poursuivre

Exemple résolu : trouver la constante d’une densité, puis une probabilité conditionnelle

1. Repérer la région de la densité et rendre son intégrale totale égale à 1

2. Trouver la densité marginale de Y

3. Normaliser dans la tranche choisie

4. Intégrer la densité conditionnelle sur l’événement

À vous de jouer

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