Cercles et figures composées : périmètre ou aire?

Choisir le périmètre ou l’aire

Un contour et une surface demandent des mesures différentes. Le périmètre est la longueur totale du contour d’une région. L’aire mesure la surface plane couverte par cette région. Le périmètre d’un cercle est appelé sa circonférence. Plus précisément, le cercle est le contour et le disque est la région remplie à l’intérieur; « l’aire d’un cercle » désigne généralement l’aire de ce disque.

Pour un panneau circulaire, la bordure demande une longueur en centimètres, tandis qu’un revêtement demande une aire en centimètres carrés. Avant de calculer, nommez la quantité, tracez le contour ou colorez la région, puis indiquez les dimensions. Cette leçon suppose des connaissances de base en multiplication, en fractions et en racines carrées. Toutes les dimensions sont positives. Les exemples et exercices sont originaux; ils ne reproduisent pas un examen ni une liste de compétences d’un niveau scolaire précis.

Conservez les réponses exactes contenant $\pi$ , sauf si une approximation est demandée. Chaque approximation décimale ci-dessous est arrondie à deux décimales avec la valeur de $\pi$ de la calculatrice, sans remplacer trop tôt $\pi$ par 3,14. Les schémas sont annotés; les mesures données priment sur leur apparence.

1. Rayon, diamètre et cercle complet

Le rayon $r$ va du centre au cercle. Le diamètre $d$ relie deux points du cercle en passant par le centre : $d=2r$ et $r=d/2$ . Le nombre $\pi$ est le rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre.

$C=2\pi r=\pi d,\qquad A=\pi r^2.$

La circonférence comporte un facteur de longueur; l’aire en comporte deux. Dans $\pi r^2$ , élevez le rayon au carré, et non $\pi r$ . Doubler le rayon double la circonférence, mais multiplie l’aire par quatre.

Un disque a un rayon de 5 centimètres du centre au contour et un diamètre de 10 centimètres passant par le centre. La courbe extérieure représente sa circonférence et la région colorée représente son aire. — Un diamètre contient deux rayons. La courbe mesure une longueur; la région colorée mesure une aire.

Exemple résolu 1 : un panneau circulaire

Un panneau circulaire a un diamètre de 10 cm. Trouvez sa circonférence et son aire.

Le rayon est $r=10/2=5$ cm.
La circonférence est $C=\pi(10)=10\pi$ cm, soit environ 31,42 cm.
L’aire est $A=\pi(5)^2=25\pi$ cm², soit environ 78,54 cm².

Vérification : utiliser le diamètre dans $\pi r^2$ donnerait $100\pi$ cm², soit quatre fois l’aire correcte. Identifiez la mesure donnée avant de la remplacer dans une formule.

2. Le contour d’un demi-disque comporte un arc et un segment

Un demi-disque est la moitié d’un disque. Son arc mesure la moitié de la circonférence complète, soit $\pi r$ . Mais son contour comprend aussi le diamètre, de longueur $2r$ . Si la question demande seulement la longueur de l’arc, n’ajoutez pas le diamètre; si elle demande le périmètre entier, incluez-le.

$P_{\text{demi-disque}}=\pi r+2r,\qquad A_{\text{demi-disque}}=\frac12\pi r^2.$

Un demi-disque de rayon 6 centimètres. Son arc mesure 6 pi centimètres et son diamètre rectiligne mesure 12 centimètres. Ces deux parties appartiennent au contour. — Le diamètre rectiligne fait partie du périmètre de ce demi-disque isolé.

Exemple résolu 2 : tout le contour d’un panneau en demi-disque

Un panneau en demi-disque a un diamètre de 12 cm, donc un rayon de 6 cm.

Arc seulement : $6\pi$ cm, soit environ 18,85 cm.
Périmètre entier : $P=6\pi+12$ cm, soit environ 30,85 cm.
Aire : $A=\tfrac12\pi(6)^2=18\pi$ cm², soit environ 56,55 cm².

Vérification : la moitié de la circonférence donne l’arc, pas tout le périmètre. Suivez la courbe, puis le segment droit pour revenir au point de départ.

3. Réunir un rectangle et un demi-disque

On peut décomposer une figure composée en formes connues. Pour trouver l’aire, additionnez les aires des parties dont les intérieurs ne se chevauchent pas. Pour trouver le périmètre, suivez uniquement le contour extérieur. Une jonction commune à l’intérieur de la figure n’est pas un bord extérieur.

En haut : un rectangle de 10 sur 6 centimètres avec un demi-disque de rayon 3 centimètres ajouté sur tout le côté de 6 centimètres; le diamètre commun est pointillé et intérieur. En bas : un rectangle de 12 sur 8 centimètres dont on retire un demi-disque de rayon 4 centimètres depuis le côté droit; le nouvel arc appartient au contour et l’ancien côté de 8 centimètres est pointillé. — Ajoutez une partie extérieure ou retirez une partie intérieure : dans les deux cas, suivez le contour de la région restante. Les diamètres pointillés ne sont pas comptés.

Exemple résolu 3 : une extrémité arrondie

Un rectangle mesure 10 cm de longueur et 6 cm de largeur. Un demi-disque est ajouté à l’extérieur sur tout le côté de 6 cm, qui est son diamètre. Les intérieurs des deux parties ne se chevauchent pas.

Le rayon du demi-disque est $6/2=3$ cm.
Additionnez les aires : $A=10(6)+\tfrac12\pi(3)^2=60+\tfrac92\pi$ cm², soit environ 74,14 cm².
Suivez le contour extérieur : deux côtés de 10 cm, l’autre côté de 6 cm et l’arc. Ainsi, $P=10+10+6+3\pi=26+3\pi$ cm, soit environ 35,42 cm.

Vérification : la jonction pointillée de 6 cm est intérieure. Additionner les périmètres complets du rectangle et du demi-disque compte cette jonction deux fois. Avec cette méthode, il faut soustraire $2(6)$ cm.

4. Retirer un demi-disque

Retirer une région soustrait de l’aire. Cela ne signifie pas qu’il faut soustraire toutes les longueurs de son contour. Une découpe peut créer un nouveau bord exposé.

Exemple résolu 4 : une encoche en demi-disque

Un rectangle mesure 12 cm de longueur et 8 cm de largeur. On découpe une encoche en demi-disque vers l’intérieur à partir d’un côté entier de 8 cm. Ce côté est le diamètre du demi-disque; l’encoche est à l’intérieur du rectangle et n’atteint pas le côté opposé.

Le demi-disque retiré a un rayon de $8/2=4$ cm.
Soustrayez les aires : $A=12(8)-\tfrac12\pi(4)^2=96-8\pi$ cm², soit environ 70,87 cm².
Le contour comporte maintenant deux côtés de 12 cm, l’autre côté de 8 cm et l’arc intérieur : $P=12+12+8+4\pi=32+4\pi$ cm, soit environ 44,57 cm.

Vérification : le périmètre initial était de 40 cm. On a retiré un bord droit de 8 cm et ajouté un arc de $4\pi$ cm : $40-8+4\pi$ . Ici, l’aire diminue tandis que le périmètre augmente. Une aire plus petite ne garantit pas un périmètre plus petit.

Pour une encoche sur une partie seulement d’un côté, conservez les segments droits qui restent. Ces exemples comportent une encoche ouverte sur l’extérieur, et non un trou entièrement fermé; une question avec un trou doit préciser si elle demande le périmètre extérieur ou la longueur de tous les contours.

5. Vérifier les unités et retrouver un rayon

Convertir les longueurs avant de calculer

Utilisez une seule unité de longueur dans chaque calcul. Puisque 1 m vaut 100 cm, 1 m² vaut $100^2=10\,000$ cm². Diviser une aire en centimètres carrés par 100 utiliserait le mauvais facteur. Vous pouvez convertir le rayon en mètres avant le calcul ou diviser l’aire obtenue en cm² par 10 000; les deux méthodes concordent.

Remonter à la mesure recherchée

Si la circonférence complète $C$ est donnée, divisez par $2\pi$ . Si l’aire $A$ du disque est donnée, divisez par $\pi$ , puis prenez la racine carrée positive :

$r=\frac{C}{2\pi},\qquad r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}.$

Un rayon est positif. La racine algébrique négative ne représente pas une longueur. Vérifiez en remplaçant le rayon retrouvé dans la formule de départ. Ces formules inverses concernent un cercle et un disque complets; la formule de circonférence du cercle entier ne convient pas au périmètre total d’un demi-disque.

Avant de terminer : avez-vous divisé le diamètre donné par deux, compté uniquement le contour demandé, élevé le rayon au carré pour l’aire et indiqué la bonne unité? Conservez $\pi$ et les racines carrées jusqu’à la dernière étape pour éviter les erreurs d’arrondi inutiles.

Huit exercices progressifs

Les exercices 1–2 travaillent les mesures, les exercices 3–5 le contour, et les exercices 6–8 les unités ou le raisonnement inverse. Essayez un exercice avant d’ouvrir son indice ou sa solution complète. Donnez des réponses exactes en fonction de $\pi$ , sauf si une valeur décimale est aussi demandée.

1. Identifier la mesure

Un disque a un rayon de 3,5 cm. Trouvez son diamètre, sa circonférence et son aire.

Indice 1

Le diamètre est le double du rayon. La circonférence utilise un facteur de rayon; l’aire utilise son carré.

Solution expliquée 1

$d=2(3{,}5)=7$ cm. Donc $C=7\pi$ cm et $A=\pi(3{,}5)^2=12{,}25\pi$ cm². Seule l’aire utilise des unités carrées.

Si votre réponse diffère : Si vous avez utilisé $7^2$ pour l’aire, identifiez 7 cm comme le diamètre et reprenez le rayon de 3,5 cm.

2. Partir du diamètre

Un tapis circulaire a un diamètre de 18 cm. Trouvez la longueur de son contour et l’aire qu’il couvre.

Indice 2

Trouvez le rayon avant d’utiliser la formule d’aire.

Solution expliquée 2

$r=18/2=9$ cm. Le contour mesure $C=18\pi$ cm et l’aire couverte est $A=81\pi$ cm². Le diamètre peut être utilisé directement dans $C=\pi d$ , mais pas comme rayon dans $A=\pi r^2$ .

Si votre réponse diffère : Si votre aire est $324\pi$ cm², divisez le diamètre par deux avant de l’élever au carré.

3. Compter tout le contour d’un demi-disque

Un carreau en demi-disque a un rayon de 5 cm. Trouvez la longueur de son arc, son périmètre entier et son aire.

Indice 3

Le périmètre comprend le diamètre de 10 cm en plus de l’arc.

Solution expliquée 3

L’arc mesure $5\pi$ cm. Le périmètre entier est $10+5\pi$ cm. L’aire vaut $\tfrac12\pi(5)^2=\tfrac{25}{2}\pi$ cm². L’arc et le périmètre diffèrent de 10 cm, soit le diamètre.

Si votre réponse diffère : Si l’arc et le périmètre sont égaux dans votre réponse, tracez le segment droit qui ferme la région.

4. Ajouter une extrémité arrondie

Un demi-disque est ajouté à l’extérieur d’un rectangle de 9 cm sur 4 cm, sur tout un côté de 4 cm. Trouvez l’aire totale et le périmètre extérieur.

Indice 4

Le diamètre commun mesure 4 cm, donc le rayon mesure 2 cm. Ne comptez pas la jonction intérieure.

Solution expliquée 4

$A=9(4)+\tfrac12\pi(2)^2=36+2\pi$ cm². Le contour extérieur mesure $9+9+4+2\pi$ , donc $P=22+2\pi$ cm. Vérifiez en additionnant les deux périmètres séparés, puis en soustrayant deux fois le bord commun de 4 cm.

Si votre réponse diffère : Si vos segments droits totalisent 30 cm, vous avez compté le diamètre intérieur deux fois; retirez 8 cm.

5. Retirer une encoche sans oublier son arc

Une encoche en demi-disque est découpée vers l’intérieur d’un rectangle de 14 cm sur 10 cm, depuis un côté entier de 10 cm. L’encoche est dans le rectangle. Trouvez l’aire restante et le périmètre.

Indice 5

Soustrayez l’aire d’un demi-disque. Pour le périmètre, remplacez le côté de 10 cm par le nouvel arc.

Solution expliquée 5

$r=5$ cm. L’aire est $A=140-\tfrac{25}{2}\pi$ cm². Le contour mesure $P=14+14+10+5\pi=38+5\pi$ cm. Autrement, partez du périmètre initial de 48 cm, retirez 10 cm et ajoutez $5\pi$ cm.

Si votre réponse diffère : Si vous avez soustrait l’arc, suivez le bord courbe du matériau restant : il est maintenant exposé et doit être ajouté.

6. Séparer unités de longueur et d’aire

Un disque a un rayon de 25 cm. Trouvez sa circonférence en mètres et son aire en mètres carrés. Vérifiez l’aire en la calculant d’abord en centimètres carrés.

Indice 6

Convertissez 25 cm en 0,25 m. Pour vérifier l’aire, divisez les cm² par 10 000, pas par 100.

Solution expliquée 6

$C=2\pi(0{,}25)=0{,}5\pi$ m. L’aire est $A=\pi(0{,}25)^2=0{,}0625\pi$ m². En centimètres, $A=625\pi$ cm²; la division par 10 000 redonne $0{,}0625\pi$ m².

Si votre réponse diffère : Si votre aire est $6{,}25\pi$ m², vous avez utilisé un facteur de longueur. Un mètre carré contient 10 000 centimètres carrés.

7. Retrouver un rayon à partir de la circonférence

Un cercle complet a une circonférence de $18\pi$ cm. Trouvez son rayon et l’aire de son disque.

Indice 7

Divisez la circonférence par $2\pi$ , puis utilisez ce rayon pour calculer l’aire.

Solution expliquée 7

$r=18\pi/(2\pi)=9$ cm. Ainsi, $A=\pi(9)^2=81\pi$ cm². Vérification : $2\pi(9)=18\pi$ cm, soit la circonférence donnée.

Si votre réponse diffère : Si votre rayon vaut 18 cm, la division par $\pi$ seulement a donné le diamètre. Divisez ce diamètre par deux.

8. Retrouver un rayon à partir de l’aire

Un disque a une aire de $72\pi$ cm². Trouvez le rayon, le diamètre et la circonférence exacts, puis arrondissez la circonférence à deux décimales.

Indice 8

Trouvez d’abord $r^2$ , puis prenez sa racine carrée positive. Conservez la racine exacte jusqu’à la dernière étape.

Solution expliquée 8

$r^2=72$ , donc $r=\sqrt{72}=6\sqrt2$ cm. Ainsi, $d=12\sqrt2$ cm et $C=12\sqrt2\pi$ cm, soit environ 53,31 cm. Vérification : $\pi(6\sqrt2)^2=72\pi$ cm². Il faut la racine positive, car le rayon est une longueur.

Si votre réponse diffère : Si votre rayon vaut 72 cm, vous vous êtes arrêté à $r^2=72$ . Prenez une racine carrée et élevez votre résultat au carré pour vérifier.

Choisir la prochaine étape

Si un contour ou une formule reste flou, partez de cette question pendant une séance de tutorat. Indiquez votre sujet et votre niveau pour confirmer le soutien possible et les disponibilités avant la réservation. Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.