Concordia MATH 204 : examen blanc de l’intra

MATH 204 corrigé de révision

Utilisation du corrigé

Essayez les questions avant de lire le corrigé. Utilisez le barème indicatif sur 100 pour vérifier votre travail. Accordez les mêmes points à toute méthode équivalente et valable. Si une erreur de calcul se propage dans les étapes suivantes, accordez tout de même les points au raisonnement correct qui en découle de façon cohérente. Examinez séparément toute division ou étape de raisonnement non valable.

Les huit courts exercices de reprise viennent après toutes les solutions. Les versions française et anglaise contiennent les mêmes problèmes : changer de langue ne constitue donc pas une nouvelle tentative.

Solution 1

Le quatrième premier membre est la somme des trois premiers :

Notons $b_i$ le second membre de l’affirmation $i$, pour $i=1,2,3,4$. Pour que les quatre équations soient compatibles, il faut $b_4=b_1+b_2+b_3$. Or, le relevé donne $1+2+7=10\ne13$. Les quatre équations inscrites sont incompatibles.

Si l’affirmation 4 est erronée, les trois premières sont exactes. À partir de $x+y=1$ et de $y+z=2$, on obtient $y=1-x$ et $z=1+x$. Ainsi,

d’où $(x,y,z)=(2,-1,3)$. Le second membre corrigé de l’affirmation 4 est 10. On vérifie :

Cependant, le relevé seul ne permet pas d’identifier l’affirmation erronée. Supposons plutôt que l’erreur se trouve dans l’affirmation 1. La compatibilité impose

Le triplet $(3,1,1)$ donne $x+y=4$, $y+z=2$, $2x+z=7$ et $3x+2y+2z=13$. Il modifie exactement un second membre du relevé et conserve les trois autres. Ces deux explications distinctes suffisent à montrer que l’erreur ne peut pas être identifiée de façon unique. Il n’est pas nécessaire d’énumérer toutes les corrections possibles.

Barème indicatif, 14 points :

• Partie 1 : relation entre les premiers membres (2); incompatibilité des constantes (1)
• Partie 2 : résolution cohérente des trois équations conservées (3); correction de l’affirmation 4 à 10 (1); vérification (1)
• Partie 3 : autre correction valable (2); triplet compatible (2); vérification des trois affirmations inchangées (1); conclusion que les données ne permettent pas d’identifier l’erreur de façon unique (1)

Diagnostic D1 : Un défaut de compatibilité ne révèle pas à lui seul quelle donnée est fausse. Si vous avez désigné une affirmation sans exclure les autres possibilités, distinguez « une explication possible » de « la seule explication ».

Solution 2

Comme $A$ est de taille $2\times2$ et $B$ de taille $3\times3$, la matrice $X$ doit être de taille $2\times3$. Le produit a alors les mêmes dimensions que $C$.

Les deux facteurs extérieurs sont inversibles :

En multipliant $AXB=C$ à gauche par $A^{-1}$ et à droite par $B^{-1}$, on obtient

Chaque inverse doit se trouver à côté du facteur qu’il annule. On ne peut pas permuter les facteurs matriciels comme des scalaires. Ici,

Vérification directe :

Toute solution doit être égale à l’expression $A^{-1}CB^{-1}$, et celle-ci satisfait l’équation. La solution est donc unique. Résoudre les équations scalaires correspondantes est également valable, à condition de justifier les dimensions, l’ordre des facteurs et l’unicité.

Barème indicatif, 12 points :

• Partie 1 : dimensions $2\times3$, justifiées (2)
• Partie 2 : raisonnement algébrique ou équations équivalentes, avec l’ordre correct (3); inverses corrects ou élimination équivalente (2); matrice $X$ correcte (2)
• Partie 3 : vérification dans l’équation initiale (2); justification de l’unicité (1)

Diagnostic D2 : Annulez un facteur de gauche en multipliant à gauche, et un facteur de droite en multipliant à droite. Vérifiez les dimensions avant de déplacer un inverse. Ici, l’expression $B^{-1}CA^{-1}$ n’est même pas définie.

Solution 3

On annule les opérations dans l’ordre inverse. À partir de $U$, on change le signe de la ligne 3, puis on ajoute deux fois la ligne 1 courante à la ligne 2 :

On échange enfin les lignes 1 et 3 :

Les matrices élémentaires sont

Posons $E=E_3E_2E_1$. La liste d’opérations donne $EA=U$, et non $EA=I_3$. On trouve

Les trois matrices élémentaires sont inversibles, et $U$ est triangulaire de déterminant 1. Par conséquent, $A=E^{-1}U$ est inversible. On peut aussi remarquer que les deux changements de signe du déterminant s’annulent, ce qui donne $\det(A)=\det(U)=1$.

Solution 3 suite

Comme

on obtient

La multiplication directe donne $AA^{-1}=A^{-1}A=I_3$. Une réduction complète de $[A\mid I_3]$ permet également de calculer cet inverse.

La conclusion proposée est fausse, car $U\ne I_3$. Les relations correctes comprennent

Barème indicatif, 14 points :

• Partie 1 : ordre inverse et opérations inverses corrects (2); matrice $A$ correcte (2)
• Partie 2 : existence de l’inverse (1); méthode valable (2); inverse correct (2); vérification (1)
• Partie 3 : interprétation ou calcul correct du produit de matrices élémentaires (2); rejet de l’affirmation et relation corrigée pour l’inverse (2)

Diagnostic D3 : Une suite d’opérations donne directement un inverse seulement si elle transforme la matrice initiale en matrice identité. De plus, la première opération apparaît à droite dans un produit de matrices élémentaires agissant à gauche.

Solution 4

Les combinaisons de lignes s’écrivent $B=TA$, avec

La matrice $T$ est triangulaire, donc $\det(T)=2\cdot1\cdot4=8$. Ainsi,

Ce déterminant est non nul, donc $B^{-1}$ existe. En appliquant les règles du déterminant d’un multiple scalaire d’une matrice $3\times3$, d’un produit, d’un inverse et d’une transposée, on trouve

Une démarche par opérations sur les lignes est également valable. Par exemple, à partir des lignes $r_1,r_2,r_3$, on multiplie la ligne 1 par 2 et la ligne 3 par 4. On ajoute ensuite la ligne 2 à la ligne 1, puis on soustrait $3/4$ de la ligne 3 courante à la ligne 2. On obtient $B$ avec un multiplicateur de déterminant égal à 8. L’ordre importe, car on utilise les lignes courantes.

Barème indicatif, 10 points :

• Démarche valable utilisant les combinaisons de lignes ou les déterminants (3); $\det(B)=-16$ (2)
• Existence de l’inverse (1); application des quatre règles, avec le facteur $3^3$ (3); résultat $27/8$ (1)

Diagnostic D4 : Multiplier toute une matrice $3\times3$ par 3 apporte un facteur $3^3$ au déterminant. Multiplier une seule ligne par 3 apporte seulement un facteur 3. La transposition ne change pas le déterminant.

Solution 5

La matrice des coefficients est

Un développement selon la première ligne donne

La matrice est inversible pour toute valeur de $t$; seul le second membre dépend de $t$. Le système a donc exactement une solution pour chaque $t$.

Pour la partie 1, la condition $x=z$, combinée à $2x+z=3$, donne $x=z=1$. Puis $y+z=1$ donne $y=0$, et $x+2y=t$ impose $t=1$. Réciproquement, pour $t=1$, le triplet $(1,0,1)$ est bien solution. Cette valeur convient et c’est la seule.

On peut aussi appliquer la règle de Cramer aux deux coordonnées utiles. Les déterminants de remplacement sont

La condition $x=z$ équivaut alors à $(t+4)/5=(7-2t)/5$, ce qui donne encore $t=1$. La méthode directe est plus courte ici, mais celle des déterminants reste valable.

Pour la partie 2, $\det(H_x)=0$ exactement lorsque $t=-4$. Cela signifie que $x=0/5=0$, et non que $H$ est singulière. Le dénominateur pertinent reste $\det(H)=5$. Lorsque $t=-4$, l’unique solution est $(0,-2,3)$; ses premiers membres initiaux valent $-4,1,3$.

Barème indicatif, 12 points :

• Partie 1 : déduction valable de $x=z=1$ et $y=0$, ou méthode équivalente (3); $t=1$ et vérification réciproque (1); existence et unicité justifiées (2)
• Partie 2 : déterminant de remplacement correct (2); $t=-4$ (1); distinction avec le déterminant des coefficients et rejet de la singularité annoncée (2); conclusion que le système conserve une solution unique (1)

Diagnostic D5 : La règle de Cramer s’applique seulement lorsque le déterminant des coefficients est non nul. Un déterminant de remplacement peut être nul lorsque le déterminant des coefficients est non nul.

Solution 6

Un exemple est

Cette matrice est non nulle et la multiplication directe donne $PQ=0$.

Pour décrire toutes les possibilités, écrivons

Alors,

Ce produit est nul si et seulement si $c=-a$ et $d=-b$. Toutes les matrices permises, sans cas omis, sont donc

Le déterminant de chacune vaut $-ab+ab=0$, donc aucune n’est inversible. Autre justification : si $Q^{-1}$ existait, multiplier $PQ=0$ à droite par $Q^{-1}$ donnerait $P=0$, contrairement à la matrice fournie.

La simplification proposée n’est pas valable. Une matrice non nulle n’est pas nécessairement inversible; ici, $\det(P)=0$. L’exemple non nul ci-dessus contredit aussi directement la conclusion $Q=0$.

Barème indicatif, 10 points :

• Partie 1 : exemple non nul et vérification du produit (2)
• Partie 2 : deux équations nécessaires (2); famille complète et vérification qu’elle convient (2)
• Partie 3 : justification de la singularité de toute matrice $Q$ permise (2); explication que $P\ne0$ ne permet pas de simplifier (2)

Diagnostic D6 : Les règles de produit nul et de simplification des scalaires ne se transposent pas aux matrices sans vérifier l’inversibilité.

Solution 7

Les données donnent $u\cdot u=4$, $v\cdot v=9$ et $u\cdot v=v\cdot u=3$. Développez chaque produit scalaire en le distribuant sur les sommes et en sortant les facteurs numériques. Tous les calculs se ramènent ainsi à ces trois nombres.

D’abord,

Ainsi, $\lVert2u-v\rVert=\sqrt{13}$, un scalaire non négatif.

Ensuite,

Les deux vecteurs sont non nuls, donc la formule de l’angle est définie :

Le cosinus est négatif : l’angle est obtus.

Le déplacement entre les deux points indiqués est

Leur distance vaut donc $\lVert2v\rVert=2\lVert v\rVert=6$.

Enfin,

Le coefficient 4 étant non nul, cette valeur est unique. Les coordonnées ne sont pas nécessaires : tous les calculs dépendent uniquement des normes et du produit scalaire donnés.

Barème indicatif, 14 points :

• Partie 1 : développement correct, avec les deux termes croisés (3); racine carrée positive (1)
• Partie 2 : numérateur (1); dénominateur non nul et valable (1); cosinus (1); angle obtus (1)
• Partie 3 : déplacement (2); distance (1)
• Partie 4 : équation d’orthogonalité (2); valeur unique du paramètre (1)

Diagnostic D7 : La norme n’est pas linéaire. Développez son carré à l’aide du produit scalaire; ne remplacez pas $\lVert2u-v\rVert$ par $2\lVert u\rVert-\lVert v\rVert$.

Solution 8

Écrivons $P=(x,y,z)$. L’égalité des distances à $A$ et à $B$ donne l’égalité des distances au carré :

Après simplification, $-4x=-4y$, donc $x=y$.

L’orthogonalité donne $x+y+z=0$, d’où $z=-2x$. La condition de norme devient

On a donc $x=1$ ou $x=-1$, et les seuls candidats sont

Chaque contrainte initiale a été transformée de façon équivalente : les distances sont non négatives, donc leur égalité équivaut à celle de leurs carrés; les substitutions liées à l’orthogonalité et à la norme n’ont divisé par aucune inconnue. Les deux signes de la racine carrée ont été conservés. La substitution confirme une norme au carré égale à 6 et un produit scalaire nul pour chaque candidat. La relation $x=y$ confirme l’égalité des distances à $A$ et à $B$. La liste est complète.

Les distances à $A$ sont

Le point $P_+$ est donc le plus proche de $A$. Le fait que chaque point soit à égale distance de $A$ et de $B$ ne signifie pas que les différents points possibles sont tous à la même distance de $A$.

Barème indicatif, 14 points :

• Équation d’équidistance et $x=y$ (2); orthogonalité et $z=-2x$ (2); équation de norme (2); deux candidats et justification de l’exhaustivité (2)
• Deux calculs de distance corrects (4)
• Choix du point le plus proche, avec comparaison ou vérification (2)

Diagnostic D8 : Une condition de norme peut laisser deux signes possibles. N’écartez pas une coordonnée négative parce qu’une norme est non négative. Pour une distance, utilisez le déplacement à partir du point nommé, qui n’est pas forcément l’origine.

Total du barème

Utilisez vos erreurs pour choisir quoi retravailler. Le barème indicatif vous aide à vérifier votre travail.

Repérer et reprendre une difficulté

Notez la première étape que vous n’avez pas pu justifier, plutôt que de qualifier toute une question de « fausse ». Choisissez d’abord une ou deux catégories.

• D1, question 1 : reprenez les opérations sur des lignes complètes et la compatibilité; distinguez une incompatibilité de l’identification de la donnée erronée
• D2, question 2 : reprenez la multiplication et les inverses et la question guidée 1
• D3, question 3 : reprenez la question guidée 4; suivez l’effet de la suite complète d’opérations
• D4, question 4 : reprenez la question guidée 3; notez un multiplicateur de déterminant à côté de chaque changement
• D5, question 5 : reprenez la question guidée 5; repérez le déterminant initial des coefficients avant celui de remplacement
• D6, question 6 : reprenez la multiplication et l’inversibilité; testez la simplification proposée avec un produit explicite
• D7, question 7 : reprenez le produit scalaire et la projection et la question guidée 7; limitez-vous ici aux produits scalaires et aux normes nécessaires
• D8, question 8 : reprenez la question guidée 7; écrivez une équation par condition et vérifiez chaque candidat dans toutes les conditions

Les notions plus tardives d’espace engendré, d’indépendance, de plans et de produit vectoriel présentes dans des ressources générales ne sont pas nécessaires à cette évaluation.

Courts exercices de reprise

Fermez les réponses ci-dessous avant de faire les exercices correspondant aux catégories choisies. Il s’agit de vérifications ciblées, pas d’une autre évaluation notée.

1. D1. Les équations $x-y=1$ et $2x+y=8$ sont exactes. Un troisième relevé indique $3x=k$. Trouvez la seule valeur compatible de $k$ et vérifiez-la avec la solution.
2. D2. Soient $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$. Résolvez $AXB=I_2$. Vérifiez si permuter les deux facteurs inverses donne la même réponse.
3. D3. Soient $E_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $E_2=\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $E_2E_1K=I_2$. Trouvez $K^{-1}$ et $K$, en conservant l’ordre visible des facteurs.
4. D4. Une matrice $A$ de taille $2\times2$ a pour déterminant 3. Calculez $\det(2(A^{-1})^{\mathrm T})$.
5. D5. Pour $x+y=t$ et $x-y=2$, trouvez la valeur de $t$ qui annule le numérateur de Cramer associé à $y$. La matrice des coefficients est-elle singulière pour cette valeur?
6. D6. Pour $P=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$, donnez une matrice non nulle $Q$ telle que $PQ=0$. Expliquez pourquoi aucune telle matrice $Q$ ne peut être inversible.
7. D7. Si $\lVert u\rVert=\lVert v\rVert=1$ et $\lVert u-v\rVert=1$, trouvez $u\cdot v$ et l’angle entre les vecteurs.
8. D8. Trouvez tous les points de $\mathbb R^2$ qui sont à égale distance de $(2,0)$ et de $(0,2)$, et dont la distance à l’origine vaut 2. Lequel est le plus proche de $(1,1)$?