Exercices d’algèbre linéaire : systèmes, matrices et vecteurs

$A$ est de taille $2\times3$, $B$ de taille $3\times2$, et $\mathbf v$ de taille $3\times1$. La somme $A+B$ n’est donc pas définie. Les produits $AB$, $BA$ et $A\mathbf v$ sont de tailles $2\times2$, $3\times3$ et $2\times1$. La somme $AB+BA$ n’est pas définie, car ses deux termes n’ont pas les mêmes dimensions.

Par exemple, l’entrée en haut à gauche de $AB$ vaut $1(2)+(-1)(1)+2(-1)=-1$. En poursuivant ligne par colonne, on obtient

$$AB=\begin{pmatrix}-1&5\\2&2\end{pmatrix},$$

$$BA=\begin{pmatrix}2&1&5\\1&-1&2\\-1&7&0\end{pmatrix}.$$

Pour le produit matrice-vecteur, les deux calculs sont $1-2-2=-3$ et $0+6-1=5$. Ainsi,

$$A\mathbf v=\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}.$$

Un produit peut exister dans les deux ordres sans avoir les mêmes dimensions dans ces deux ordres. La multiplication matricielle ne se fait pas entrée par entrée.

Vérifier le résultat et les conditions

Toutes les entrées sont réelles; il n’y a aucune restriction sur un paramètre à examiner. Vérifiez séparément la dernière entrée de $BA$ : $(-1)(2)+2(1)=0$. Vérifiez aussi que chaque résultat a bien les dimensions prévues.

Erreurs fréquentes

N’additionnez pas des matrices de tailles différentes et ne multipliez pas les entrées de même position. Ne supposez pas non plus que $AB=BA$ : ici, les dimensions excluent déjà cette égalité.

Choisir quoi revoir

Si les dimensions ou le calcul ligne par colonne posent problème, revoyez la multiplication, le déterminant et l’inverse. Recalculez ensuite une seule ligne de chaque produit sans consulter la réponse.

La matrice augmentée est

$$\left[\begin{array}{rrr|r}0&1&1&1\\2&-1&3&9\\1&2&-1&-3\end{array}\right].$$

Effectuez $R_1\leftrightarrow R_3$, puis $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ :

$$\left[\begin{array}{rrr|r}1&2&-1&-3\\0&-5&5&15\\0&1&1&1\end{array}\right].$$

Effectuez $R_2\leftrightarrow R_3$, puis $R_3\leftarrow R_3+5R_2$ :

$$\left[\begin{array}{rrr|r}1&2&-1&-3\\0&1&1&1\\0&0&10&20\end{array}\right].$$

La dernière ligne donne $z=2$. La deuxième donne $y=1-z=-1$, puis la première donne $x=-3-2y+z=1$. Il y a un pivot dans chaque colonne de variable et aucune contradiction. La solution est donc unique :

$$(x,y,z)=(1,-1,2).$$

Vérifier le résultat et les conditions

La substitution donne $-1+2=1$, $2(1)-(-1)+3(2)=9$ et $1+2(-1)-2=-3$. Les trois équations sont satisfaites. Toutes les opérations effectuées sont réversibles; aucune division par zéro n’a eu lieu.

Erreurs fréquentes

L’absence de $x$ dans la première équation exige une entrée nulle. Modifiez aussi la colonne des constantes. Après un échange, les numéros de lignes désignent les lignes actuelles, et non leur position initiale.

Choisir quoi revoir

Si une opération a modifié votre réponse, revoyez pourquoi les opérations permises sont réversibles. Si vous bloquez après avoir obtenu une forme échelonnée, reprenez la résolution et la vérification d’un système.

Le développement selon la première ligne demande un seul mineur :

$$\det(D)=-2\begin{vmatrix}3&-1\\2&4\end{vmatrix}.$$

Ce mineur vaut $3(4)-(-1)(2)=14$, donc $\det(D)=-28$.

Pour la réduction par lignes, l’échange multiplie le déterminant par $-1$. La multiplication de la nouvelle première ligne par $1/3$ le multiplie par $1/3$. L’ajout d’un multiple d’une autre ligne le laisse inchangé. Après l’échange et la multiplication, la matrice est

$$\begin{pmatrix}1&1/3&-1/3\\0&2&0\\2&0&4\end{pmatrix}.$$

L’opération $R_3\leftarrow R_3-2R_1$ donne la troisième ligne $(0,-2/3,14/3)$. Ensuite, $R_3\leftarrow R_3+(1/3)R_2$ donne

$$U=\begin{pmatrix}1&1/3&-1/3\\0&2&0\\0&0&14/3\end{pmatrix}.$$

Par conséquent,

$$\det(U)=1\cdot2\cdot\frac{14}{3}=\frac{28}{3},$$

$$\det(U)=-\frac13\det(D),$$

d’où $\det(D)=-3\det(U)=-28$. Le développement par cofacteurs est plus court ici, car les zéros éliminent deux termes.

Dans un système, une même opération réversible appliquée à toute une ligne augmentée conserve les solutions communes. Un déterminant est un scalaire associé à une matrice carrée de coefficients; les échanges et les multiplications de lignes par un nombre non nul modifient ce scalaire comme indiqué. Conserver les solutions et conserver le déterminant sont deux propriétés distinctes.

Vérifier le résultat et les conditions

Les deux méthodes donnent $-28$. Ce nombre étant non nul, $D$ est inversible. Le facteur $1/3$ multiplie une seule ligne, pas la matrice entière : il intervient donc une seule fois dans le déterminant.

Erreurs fréquentes

Attention au signe négatif du cofacteur en position $(1,2)$, à la soustraction $12-(-2)$ et au sens du facteur final : puisque $\det(U)=-\det(D)/3$, il faut multiplier $\det(U)$ par $-3$ pour retrouver le déterminant initial.

Choisir quoi revoir

Si « mêmes solutions » vous a fait conserver le déterminant, revoyez ce que conservent les opérations sur les lignes. Reprenez ensuite cette question en notant chaque opération et son facteur sur le déterminant. Pour le lien entre déterminant non nul et inverse, consultez les bases sur les matrices.

Partez de $[L\mid C]=[M\mid I_3]$. Les blocs gauche $L$ et droit $C$ sont affichés séparément pour garder toutes les entrées lisibles. Chaque opération indiquée agit sur les deux blocs.

Après $R_3\leftarrow R_3-R_1$, puis $R_3\leftarrow R_3+2R_2$, on obtient

$$L=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\0&0&3\end{pmatrix},$$

$$C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&2&1\end{pmatrix}.$$

Divisez maintenant la ligne 3 par 3. Avec cette nouvelle ligne 3, annulez la troisième entrée de la ligne 2 par $R_2\leftarrow R_2-R_3$. Vous obtenez

$$L=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$

$$C=\frac13\begin{pmatrix}3&0&0\\1&1&-1\\-1&2&1\end{pmatrix}.$$

Effectuez enfin $R_1\leftarrow R_1-2R_2$. Le bloc gauche devient $I_3$; le bloc droit est l’inverse :

$$M^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}1&-2&2\\1&1&-1\\-1&2&1\end{pmatrix}.$$

Pour la première opération seulement, appliquer $R_3\leftarrow R_3-R_1$ à $I_3$ donne

$$E=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}.$$

La multiplication à gauche par $E$ effectue cette opération : $EM$ est le nouveau bloc gauche et $EI_3=E$ le nouveau bloc droit. Une seule opération ne donne pas encore l’inverse. La suite complète transforme $M$ en $I_3$ et $I_3$ en $M^{-1}$.

Il reste à calculer

$$\mathbf x=M^{-1}\mathbf b=\frac13\begin{pmatrix}6\\-3\\9\end{pmatrix}.$$

$$\mathbf x=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}.$$

Vérifier le résultat et les conditions

En posant $N=3M^{-1}$, la multiplication directe donne $MN=NM=3I_3$ : les deux identités de l’inverse sont donc vérifiées. De plus, $\det(M)=3\ne0$, et la réduction n’a exigé aucune division par zéro. Pour la solution, $M(2,-1,3)^{\mathsf T}=(0,2,5)^{\mathsf T}$, car les trois lignes donnent $2-2=0$, $-1+3=2$ et $2+3=5$.

Erreurs fréquentes

Modifier seulement le bloc gauche fait perdre le calcul de l’inverse. Distinguez aussi $EM$, qui effectue une opération sur les lignes, de $ME$, dont l’effet est généralement différent. L’inverse dépend de la matrice et peut servir avec un autre second membre.

Choisir quoi revoir

Si le rôle d’un inverse reste flou, reprenez l’exemple d’introduction sur l’inverse. Si vos deux blocs ne correspondent plus, revoyez les opérations sur une ligne entière, puis refaites cette construction trois par trois.

La matrice des coefficients et celle utilisée pour $y$ sont

$$H=\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&1&0\\0&2&1\end{pmatrix},$$

$$H_y=\begin{pmatrix}2&6&1\\1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}.$$

Développez chaque déterminant selon la deuxième ligne, dont la troisième entrée est nulle. Pour la matrice initiale,

$$\det(H)=-1(-1-2)+1(2)=5.$$

Puisque $\det(H)\ne0$, le système admet une solution unique et la règle de Cramer s’applique. Pour la matrice de remplacement,

$$\begin{aligned}&\det(H_y)\\&=-1(6+1)+1(2)\\&=-5.\end{aligned}$$

Donc $y=\det(H_y)/\det(H)=-1$. La deuxième équation donne $x=1-y=2$, et la troisième donne $z=-1-2y=1$.

$$(x,y,z)=(2,-1,1).$$

Calculer seulement le déterminant demandé, puis substituer, évite deux déterminants de remplacement inutiles. Pour un grand système, l’élimination est généralement plus efficace que le calcul d’un déterminant pour chaque inconnue.

Vérifier le résultat et les conditions

Les membres de gauche des équations initiales valent $4+1+1=6$, $2-1=1$ et $-2+1=-1$. Le dénominateur vaut 5 : aucune division par zéro n’est cachée. Si le déterminant initial avait été nul, ces quotients n’auraient pas permis de déterminer la compatibilité; il aurait fallu réduire le système par lignes.

Erreurs fréquentes

Remplacez une colonne, et non une ligne, en conservant l’ordre des constantes. Le déterminant de remplacement peut être négatif. C’est le déterminant initial non nul qui autorise la division.

Choisir quoi revoir

Si vous avez remplacé les mauvaises entrées, revoyez la distinction entre coefficients et constantes. Si vous avez oublié la condition sur le déterminant, reprenez la condition d’existence d’un inverse, puis refaites les deux premières étapes ici.

Les opérations $R_2\leftarrow R_2-R_1$ et $R_3\leftarrow R_3-R_1$ donnent le système triangulaire équivalent

$$x+y+z=2,$$

$$(a-1)y+z=1,$$

$$(a-1)(a-2)z=a-2.$$

Notons $P_a$ la matrice des coefficients du système initial. Les ajouts de lignes ne changent pas le déterminant. Celui de $P_a$ est donc égal au déterminant de la matrice triangulaire obtenue. Multipliez les entrées diagonales de cette matrice réduite : $1$, $a-1$ et $(a-1)(a-2)$.

$$\det(P_a)=(a-1)^2(a-2).$$

Cas 1 : $a\ne1,2$. Les deux facteurs sont non nuls. La dernière équation donne $z=1/(a-1)$. La deuxième donne alors

$$y=\frac{1-z}{a-1}=\frac{a-2}{(a-1)^2}.$$

Enfin,

$$x=\frac{2a^2-6a+5}{(a-1)^2}.$$

La solution est unique, car les trois pivots sont non nuls.

Cas 2 : $a=1$. La dernière équation réduite devient $0=-1$. Il n’y a aucune solution. Dans le système initial, la première et la troisième équation ont le même membre de gauche, mais des constantes de 2 et de 1 : la contradiction est confirmée.

Cas 3 : $a=2$. La dernière équation réduite devient $0=0$, tandis que la deuxième donne $y+z=1$. Posez $z=t$, où $t\in\mathbb R$; alors $y=1-t$ et $x=1$. Toutes les solutions sont

$$(x,y,z)=(1,1-t,t),\qquad t\in\mathbb R.$$

La matrice des coefficients est singulière exactement pour $a=1$ et $a=2$. La compatibilité diffère dans ces deux cas singuliers.

Vérifier le résultat et les conditions

Pour $a\ne1,2$, la substitution dans les équations réduites donne $(a-1)y+z=1$ et $(a-1)(a-2)z=a-2$; la valeur choisie pour $x$ donne $x+y+z=2$. Inverser les ajouts de lignes vérifie le système initial. Pour $a=2$, la famille donne les membres de gauche $2,3,2$ pour tout réel $t$. Substituer $a=2$ dans les formules du cas général fournit seulement $(1,0,1)$, un membre de cette famille, et fait perdre les autres solutions.

Erreurs fréquentes

Ne simplifiez pas $a-2$ sans noter $a\ne2$, et ne divisez pas par $a-1$ avant d’avoir examiné $a=1$. Un déterminant nul ne signifie pas à lui seul « aucune solution ». Il faut lire une ligne nulle avec son entrée augmentée et les autres équations.

Choisir quoi revoir

Si vous avez perdu les cas particuliers, revoyez l’interprétation des lignes finales et des variables libres. Refaites ensuite cette question en écrivant les valeurs exclues avant toute fraction.

Le produit scalaire est un nombre :

$$\mathbf u\cdot\mathbf v=2(1)+(-1)(2)+2(0)=0.$$

Les normes sont

$$\lVert\mathbf u\rVert=\sqrt{4+1+4}=3,$$

$$\lVert\mathbf v\rVert=\sqrt{1+4}=\sqrt5.$$

Les deux vecteurs sont non nuls; la formule de l’angle s’applique donc :

$$\cos\theta=\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\lVert\mathbf u\rVert\lVert\mathbf v\rVert}=0.$$

Avec $0\le\theta\le\pi$, on obtient $\theta=\pi/2$, soit $90^\circ$.

Pour la distance, $\mathbf u-\mathbf v=(1,-3,2)$, d’où

$$d=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}.$$

Pour la condition sur le paramètre,

$$\mathbf u\cdot\mathbf w(s)=2s-1-2=2s-3.$$

Ce produit s’annule exactement pour $s=3/2$. Le vecteur $\mathbf w(3/2)=(3/2,1,-1)$ est non nul; l’interprétation par un angle droit est donc valable aussi.

Algébriquement, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur selon la définition « le produit scalaire est nul ». Il n’a toutefois pas de direction, et la formule de l’angle exigerait une division par sa norme nulle. L’angle avec le vecteur nul n’est pas défini; cette formule ne lui attribue pas $90^\circ$.

Vérifier le résultat et les conditions

Pour $s=3/2$, le produit scalaire vaut $3-1-2=0$. De plus, $d^2=14=\lVert\mathbf u\rVert^2+\lVert\mathbf v\rVert^2$, ce qui concorde avec le produit scalaire nul. Les racines carrées représentent des longueurs non négatives; le calcul de l’angle exige deux vecteurs non nuls.

Erreurs fréquentes

Un produit scalaire donne un nombre, pas un vecteur. N’écrivez pas $d=\lVert\mathbf u\rVert-\lVert\mathbf v\rVert$, n’oubliez pas la racine carrée dans une norme et ne déduisez pas un angle avec le vecteur nul à partir de son produit scalaire.

Choisir quoi revoir

Si vous avez confondu scalaire et vecteur, revoyez le produit scalaire et l’orthogonalité. Pour chaque réponse demandée ici, précisez ensuite s’il s’agit d’un scalaire, d’une longueur, d’un angle ou d’un paramètre avant de calculer.

Retrancher la ligne 1, puis la ligne 2, de la ligne 3 produit une ligne de coefficients nuls. Les ajouts de lignes conservent le déterminant, et une matrice ayant une ligne nulle a un déterminant nul. Donc $\det(S)=0$ : $S^{-1}$ n’existe pas et les quotients de Cramer auraient un dénominateur nul.

Dans la matrice augmentée, les mêmes opérations donnent la dernière ligne

$$\left[\begin{array}{rrr|c}0&0&0&k-5\end{array}\right].$$

Si $k\ne5$, il y a une contradiction, donc aucune solution. Si $k=5$, les équations restantes sont $x+y=2$ et $y+z=3$. Posez $z=t$, où $t\in\mathbb R$. Alors

$$\mathbf x(t)=(t-1,3-t,t).$$

Chaque réel $t$ donne une solution. La condition d’orthogonalité ajoutée est

$$\mathbf x(t)\cdot\mathbf n=(t-1)-(3-t)+t.$$

$$\mathbf x(t)\cdot\mathbf n=3t-4.$$

Ce produit s’annule exactement pour $t=4/3$, ce qui sélectionne

$$\mathbf x_*=(1/3,5/3,4/3).$$

La condition ajoutée sélectionne un seul membre, car l’équation $3t-4=0$ admet une solution unique. Elle ne modifie ni la matrice initiale ni son déterminant. Pour $k=5$, le système initial admet toujours une infinité de solutions, et $S$ reste singulière.

Vérifier le résultat et les conditions

Les trois lignes évaluées en $\mathbf x_*$ donnent $1/3+5/3=2$, $5/3+4/3=3$ et $1/3+10/3+4/3=5$. Le produit scalaire avec $\mathbf n$ vaut $(1-5+4)/3=0$. On peut aussi vérifier que $S\mathbf n=\mathbf0$ : modifier $t$ d’une quantité réelle modifie la solution de cette quantité fois $\mathbf n$, sans changer le second membre. Le produit scalaire avec $\mathbf n$, lui, varie de trois fois cette quantité.

Erreurs fréquentes

Ne concluez pas « aucune solution » à partir de la seule singularité. Ne vous arrêtez pas à une solution commode et ne dites pas que la condition ajoutée crée un inverse. Vérifiez aussi les constantes : la relation entre les lignes de coefficients doit être respectée par les constantes pour que le système soit compatible.

Choisir quoi revoir

Si le test de compatibilité ou la famille de solutions manque, reprenez les contradictions et les variables libres. Si la famille est correcte, mais pas la condition ajoutée, revoyez le test d’orthogonalité par produit scalaire, puis refaites seulement la partie 3.