MATH 204 : matrices et vecteurs avant le premier examen

Nablio · 9 minPublié le 11 septembre 2026

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Matrices et vecteurs deviennent plus clairs lorsque chaque calcul a un sens. Les opérations sur les lignes conservent les solutions d’un système. Le produit scalaire mesure l’alignement. L’espace engendré décrit les combinaisons possibles.

Il s’agit d’une révision conceptuelle indépendante pour MATH 204 à Concordia, et non d’une ressource officielle ni d’une prédiction du premier examen. Votre plan de cours précise les notions évaluées, notamment les sujets ultérieurs comme les valeurs propres.

1. Passer du système à la matrice augmentée

Conservez le même ordre des variables dans chaque ligne. La matrice des coefficients contient les coefficients des variables; la matrice augmentée ajoute les constantes. Une variable absente a un coefficient nul.

Exemple expliqué

Pour $x+2y=5$ et $3x-y=1$ , les lignes augmentées sont $\left[\begin{array}{rr|r}1 & 2 & 5\\3 & -1 & 1\end{array}\right]\text{.}$ La première colonne représente $x$ et la deuxième $y$ dans les deux lignes.

À éviter. Placer une constante dans une colonne de coefficients ou changer l’ordre des variables.

À vous d’essayer

Écrivez les lignes augmentées de $2x+y=7$ et $x-y=2$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$\left[\begin{array}{rr|r}2 & 1 & 7\\1 & -1 & 2\end{array}\right]\text{,}$ dans l’ordre $x$ , $y$ , constante.

2. Conserver les solutions par opérations sur les lignes

On peut échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre non nul, ou lui ajouter un multiple d’une autre. Notez l’opération pour rendre le raisonnement vérifiable.

Exemple expliqué

À partir de $\left[\begin{array}{rr|r}1 & 2 & 5\\3 & -1 & 1\end{array}\right]\text{,}$ $R_2\leftarrow R_2-3R_1$ donne $\left[\begin{array}{rr|r}0 & -7 & -14\end{array}\right]$ . Divisez la ligne 2 par $-7$ , puis faites $R_1\leftarrow R_1-2R_2$ . Les lignes finales sont $\left[\begin{array}{rr|r}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 2\end{array}\right]\text{,}$ donc $x=1$ et $y=2$ . Vérification : $1+4=5$ et $3-2=1$ .

À éviter. Oublier la constante augmentée dans l’opération. Multiplier une ligne par zéro fait aussi perdre de l’information.

À vous d’essayer

Résolvez $2x+y=7$ et $x-y=2$ .

Voir la réponse et le raisonnement

L’addition donne $3x=9$ , donc $x=3$ et $y=1$ . Les deux équations initiales sont satisfaites.

3. Interpréter le résultat de la réduction

Une ligne nulle peut représenter une équation redondante. Une ligne $\left[\begin{array}{rr|r}0 & 0 & 1\end{array}\right]$ signifie $0=1$ : le système est incompatible. Des variables libres peuvent décrire une infinité de solutions.

Exemple expliqué

$x+y=2$ et $2x+2y=4$ décrivent la même droite. Les solutions s’écrivent $x=2-t$ , $y=t$ pour tout réel $t$ , pas seulement un couple choisi.

À éviter. Croire qu’une ligne nulle signifie toujours aucune solution, ou imposer zéro à une variable libre sans mentionner les autres valeurs possibles.

À vous d’essayer

Peut-on satisfaire $x+y=2$ et $2x+2y=5$ simultanément?

Voir la réponse et le raisonnement

Non. Doubler la première donne $2x+2y=4$ , ce qui contredit 5. La réduction produit $\left[\begin{array}{rr|r}0 & 0 & 1\end{array}\right]$ .

4. Distinguer produit scalaire et projection

Le produit scalaire donne un nombre. La projection vectorielle de $\mathbf u$ sur $\mathbf v$ non nul vaut $\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\mathbf v\cdot\mathbf v}\,\mathbf v$ . Le dénominateur est la longueur de $\mathbf v$ au carré, et non sa longueur.

Exemple expliqué

Pour $\mathbf u=(3,4)$ et $\mathbf v=(2,0)$ , $\mathbf u\cdot\mathbf v=6$ et $\mathbf v\cdot\mathbf v=4$ . La projection vaut $\frac{6}{4}(2,0)=(3,0)\text{.}$ Le reste $(0,4)$ est perpendiculaire à $\mathbf v$ .

À éviter. Donner un vecteur comme produit scalaire, utiliser le mauvais dénominateur ou projeter sur le vecteur nul.

À vous d’essayer

Projetez $(2,3)$ sur $(1,1)$ .

Voir la réponse et le raisonnement

Le produit scalaire vaut 5 et la longueur de $(1,1)$ au carré vaut 2. La projection est $\frac{5}{2}(1,1)=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)\text{.}$

5. Expliquer l’espace engendré par des combinaisons

L’espace engendré contient toutes les combinaisons linéaires des vecteurs. L’indépendance signifie que seule la combinaison à coefficients tous nuls donne le vecteur nul.

Exemple expliqué

Pour $\mathbf a=(1,1)$ et $\mathbf b=(1,-1)$ , $3\mathbf a+\mathbf b=(4,2)$ . Si $c_1\mathbf a+c_2\mathbf b=\mathbf0$ , alors $c_1+c_2=0$ et $c_1-c_2=0$ , donc les deux coefficients sont nuls. Les vecteurs sont indépendants et engendrent le plan.

À éviter. Croire que deux vecteurs différents sont forcément indépendants. L’un peut être un multiple de l’autre.

À vous d’essayer

$(1,2)$ et $(3,6)$ sont-ils indépendants? Qu’engendrent-ils?

Voir la réponse et le raisonnement

Ils sont dépendants puisque $(3,6)=3(1,2)$ . Ils engendrent la droite des vecteurs $t(1,2)$ , pas tout le plan.

Votre prochaine séance de révision

Nommez d’abord l’objet demandé : scalaire, vecteur, ensemble de solutions ou affirmation sur un espace engendré.
Mélangez calcul et interprétation. Repérez pivots et variables libres, puis vérifiez les solutions dans les équations initiales.
Ajoutez déterminants, inverses, transformations, bases ou valeurs propres selon votre plan de cours. Ce guide des fondements n’est pas un programme exhaustif d’examen.

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