EDO du second ordre : choisir une solution particulière

Commencer par le type d’équation

La méthode ci-dessous s’applique à une équation linéaire à coefficients constants,

$$y''+ay'+by=f(t),$$

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles. Si le coefficient de $y''$ est une constante non nulle différente de 1, divisez d’abord chaque terme par cette constante. L’équation homogène associée conserve le même membre de gauche et a un second membre nul.

On cherche une solution sous la forme

$$y=y_h+y_p.$$

Ici, $y_h$ est la solution générale de l’équation homogène, avec ses deux constantes arbitraires, et $y_p$ est une solution particulière de l’équation avec second membre. La linéarité justifie la somme : le membre de gauche appliqué à $y_h$ donne zéro, tandis que la même opération appliquée à $y_p$ donne $f(t)$. Deux solutions particulières différentes peuvent décrire la même famille complète si leur différence est une solution homogène.

Les conditions initiales portent sur la solution complète. Une solution particulière ne les satisfait généralement pas à elle seule.

Pour une équation linéaire du premier ordre, commencez par la leçon sur le facteur intégrant. Si les coefficients dépendent de $t$, ou si un terme comme $y^2$ ou $(y')^2$ rend l’équation non linéaire, cette méthode à coefficients constants ne s’applique pas telle quelle.

Choisir toute la famille de fonctions nécessaire

La méthode des coefficients indéterminés convient lorsque le second membre est une somme finie de polynômes, d’exponentielles, de sinus et de cosinus, ou de produits de ces formes. Leurs dérivées restent dans une famille finie de fonctions; un nombre fini de coefficients inconnus peut donc suffire.

• Pour un polynôme de degré $n$, incluez toutes les puissances, de $t^n$ jusqu’à la constante, même si certaines manquent dans le second membre.
• Pour $e^{\alpha t}$ multiplié par un polynôme, multipliez la forme polynomiale proposée par $e^{\alpha t}$.
• Pour un sinus ou un cosinus de fréquence $\beta$, incluez les deux fonctions. La dérivation peut les échanger.
• Pour $e^{\alpha t}$ multiplié par un polynôme de degré $n$ et par un sinus ou un cosinus, utilisez $$\begin{aligned}e^{\alpha t}\bigl[&P_n(t)\cos(\beta t)\\&+Q_n(t)\sin(\beta t)\bigr]\end{aligned}$$. $P_n$ et $Q_n$ contiennent chacun toutes les puissances de $t^n$ jusqu’à la constante, avec leurs propres coefficients inconnus; certains peuvent devenir nuls. Appliquez ensuite la vérification ci-dessous à toute cette expression.
• Pour une somme, trouvez une solution particulière pour chaque terme du second membre, puis additionnez-les. Cette étape utilise la linéarité.

Avant de calculer les coefficients, comparez la forme proposée avec la solution homogène. Si elle contient des termes déjà présents dans $y_h$, l’opérateur différentiel les annule. Une nouvelle puissance de $t$ permet de sortir de cette famille homogène.

Dans cette notation, $\alpha$ est un taux exponentiel réel, $\beta$ est une fréquence trigonométrique réelle et $i$ est l’unité imaginaire, avec $i^2=-1$. Pour un polynôme ou un sinus/cosinus sans facteur exponentiel, prenez $\alpha =0$. Le polynôme caractéristique est $p(r)=r^2+ar+b$; $r$ est une variable auxiliaire. Une racine a la multiplicité $s$ lorsque son facteur $(r-r_0)$ apparaît exactement $s$ fois dans ce polynôme.

Pour une forme exponentielle-polynomiale, multipliez toute la forme par $t^s$, où $s$ est la multiplicité de $\alpha$ dans le polynôme caractéristique. Pour une forme exponentielle-trigonométrique avec $\beta \ne 0$, utilisez la multiplicité de la racine complexe $\alpha +i\beta$. Prenez $s=0$ s’il n’y a pas de racine correspondante. Pour une équation réelle du second ordre, une racine exponentielle peut avoir la multiplicité 0, 1 ou 2.

Il ne faut donc pas multiplier systématiquement chaque proposition par $t$. Déterminez $s$ à partir de l’équation étudiée.

Exemple résolu : une exponentielle déjà présente

Résolvez

$$\begin{gathered}y''+3y'+2y=e^{-t},\\ y(0)=0,\quad y'(0)=0.\end{gathered}$$

Trouver la famille homogène

L’équation caractéristique se factorise ainsi :

$$r^2+3r+2=(r+1)(r+2)=0.$$

Donc

$$y_h=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}.$$

Tester la première idée

La proposition $y_p=Ae^{-t}$ échoue quelle que soit la valeur de $A$. La substitution donne

$$\begin{aligned}y_p''+3y_p'+2y_p\\=(1-3+2)Ae^{-t}\\=0.\end{aligned}$$

Aucune valeur de $A$ ne transforme zéro en $e^{-t}$. La difficulté vient de la famille proposée, pas d’une erreur de calcul.

La racine $-1$ est simple; essayez donc

$$y_p=At e^{-t}.$$

Ses dérivées sont

$$\begin{gathered}y_p'=A(1-t)e^{-t},\\ y_p''=A(t-2)e^{-t}.\end{gathered}$$

La substitution donne

$$y_p''+3y_p'+2y_p=Ae^{-t}.$$

Ainsi $A=1$, et $y_p=te^{-t}$ est une solution particulière.

Appliquer les deux conditions à la solution complète

On a maintenant

$$\begin{aligned}y={}&C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}\\&+te^{-t}.\end{aligned}$$

À $t=0$, les deux conditions donnent

$$\begin{gathered}C_1+C_2=0,\\ -C_1-2C_2+1=0.\end{gathered}$$

On obtient $C_1=-1$ et $C_2=1$ :

$$\boxed{y=(t-1)e^{-t}+e^{-2t}.}$$

Le terme particulier contribue pour 1 à la dérivée initiale. L’oublier en calculant les constantes imposerait une autre condition.

Vérifier séparément l’équation et les conditions

Les dérivées sont

$$y'=(2-t)e^{-t}-2e^{-2t},$$

$$y''=(t-3)e^{-t}+4e^{-2t}.$$

Dans $y''+3y'+2y$, les termes en $e^{-2t}$ s’annulent et le coefficient de $e^{-t}$ vaut

$$(t-3)+3(2-t)+2(t-1)=1.$$

Le membre de gauche donne exactement $e^{-t}$. Le résidu $y''+3y'+2y-e^{-t}$ est donc nul. De plus, $y(0)=0$ et $y'(0)=0$. Vérifier seulement l’équation différentielle ne suffirait pas à établir les conditions initiales.

Même si la réponse contient $te^{-t}$, elle tend vers zéro lorsque $t$ tend vers l’infini positif. Un facteur supplémentaire $t$ ne signifie pas automatiquement qu’une oscillation physique prend de l’amplitude.

Quand un seul facteur $t$ ne suffit pas

Considérez

$$y''+4y'+4y=e^{-2t}.$$

La famille homogène associée est $(C_1+C_2t)e^{-2t}$. Les formes $Ae^{-2t}$ et $Ate^{-2t}$ en font déjà partie. La racine caractéristique $-2$ est double; choisissez donc

$$y_p=At^2e^{-2t}.$$

Une courte substitution explique cette puissance. Posez $y=e^{-2t}u$. En dérivant puis en regroupant les termes, on obtient

$$y''+4y'+4y=e^{-2t}u''.$$

Pour $u=At^2$, on a $u''=2A$. L’égalité avec le second membre donne $A=1/2$. La famille complète est donc

$$\begin{aligned}y={}&(C_1+C_2t)e^{-2t}\\&+\tfrac12t^2e^{-2t}.\end{aligned}$$

Aucune condition initiale n’est donnée ici : les deux constantes restent arbitraires. Le raisonnement sur la racine double de l’équation homogène est développé dans l’exemple d’ENGR 213.

Un second membre sinusoïdal et une résonance idéale

Pour

$$y''+4y=\cos(2t),$$

la famille homogène est $C_1\cos (2t)+C_2\sin (2t)$. Les deux termes trigonométriques proposés y figurent déjà. Utilisez donc

$$y_p=t[A\cos(2t)+B\sin(2t)].$$

La substitution donne

$$\begin{aligned}y_p''+4y_p={}&-4A\sin(2t)\\&+4B\cos(2t).\end{aligned}$$

Identifiez les deux coefficients : $A=0$ et $B=1/4$. Une solution particulière est

$$y_p=\frac{t}{4}\sin(2t).$$

Pour $t \ge 0$, le facteur $t$ donne une enveloppe croissante $t/4$. Dans l’oscillateur idéal non amorti décrit par cette équation normalisée, la fréquence d’excitation égale la fréquence propre, ce qui produit une résonance. Cette conclusion dépend du modèle : l’amortissement ou une autre fréquence d’excitation modifie la réponse. Elle se distingue du cas exponentiel décroissant étudié plus haut.

Même si le second membre contient seulement un cosinus, commencez avec le sinus et le cosinus. L’un des coefficients peut devenir nul après substitution. Le décider à l’avance risque d’éliminer le terme nécessaire.

Savoir quand changer de méthode

Cette méthode à forme finie ne couvre pas tous les seconds membres. Par exemple, $\ln (t)$ et $e^{t^2}$ ne restent pas dans les familles polynomiales-exponentielles-trigonométriques ci-dessus lorsqu’on les dérive plusieurs fois. La variation des paramètres peut offrir une autre méthode pour une équation linéaire dont on connaît une base de solutions homogènes. Travaillez sur un intervalle où les coefficients normalisés et le second membre sont définis et continus.

Une équation à coefficients variables demande aussi un choix de méthode distinct. Ne formez pas une équation caractéristique à coefficients constants en traitant $t$ comme un nombre fixe.

Pour une évaluation, suivez les méthodes et les sujets indiqués par votre enseignant. Cette leçon traite d’une méthode précise; elle ne constitue ni une révision complète d’ENGR 213 ni une prévision d’examen.

Justifier le choix avant de faire les calculs

Essayez les six exercices guidés sur les EDO du second ordre avec second membre. Ils modifient le second membre, la présence de termes homogènes et les conditions initiales. Expliquez la forme choisie avant de calculer, puis vérifiez l’équation et les données.

Pour travailler un problème de votre cours, apportez l’équation, la forme proposée et l’étape où le calcul bloque. Un tuteur peut vérifier si la difficulté vient de la méthode, des termes déjà présents, des dérivées ou des conditions initiales. Consultez le tutorat en ENGR 213 pour confirmer les notions couvertes et demander une séance. Les séances sont offertes en anglais.