Facteurs intégrants pour les EDO linéaires du premier ordre

1. Reconnaître l’équation et la normaliser

Soit $x$ la variable indépendante, $y=y(x)$ la fonction inconnue et $y^{\prime}=dy/dx$ sa dérivée. Une équation du premier ordre ne contient pas de dérivée d’ordre supérieur à $y^{\prime}$. Elle est linéaire en $y$ si elle s’écrit

$$a(x)y^{\prime}+b(x)y=c(x),$$

où $a$, $b$ et $c$ sont des fonctions connues de $x$. La fonction inconnue et sa dérivée apparaissent seulement à la puissance un et ne sont pas multipliées entre elles. Ainsi, $y^{\prime}+xy=x^2$ est linéaire même si les coefficients dépendent de $x$; $y^{\prime}+y^2=x$ est non linéaire.

Sur un intervalle où $a(x)\ne0$, divisez chaque terme par $a(x)$ :

$$\begin{gathered} y^{\prime}+p(x)y=q(x),\\ p=\frac{b}{a},\quad q=\frac{c}{a}. \end{gathered}$$

C’est la forme normalisée. Choisissez un intervalle ouvert $I$ contenant la valeur initiale de la variable $x_0$, sur lequel $p$ et $q$ sont continues. Une condition initiale $y(x_0)=y_0$ fixe la valeur que doit prendre la solution en ce point. Sous ces conditions, une seule solution correspond à cette valeur initiale sur tout $I$.

Vérification rapide. Pour $2y^{\prime}+4y=e^{-x}$, le coefficient à utiliser dans la formule du facteur intégrant est $p(x)=2$, et le second membre est $q(x)=e^{-x}/2$. Lire directement $p=4$ dans l’équation de départ omet la division.

2. Construire le facteur avec la règle du produit

On cherche une fonction non nulle $\mu(x)$, prononcée « mu », telle que la multiplication de l’équation normalisée par $\mu$ produise la dérivée d’un produit. Comparez

$$\mu y^{\prime}+\mu p y=\mu q$$

avec la règle du produit :

$$(\mu y)^{\prime}=\mu y^{\prime}+\mu^{\prime}y.$$

Les membres de gauche coïncident lorsque $\mu^{\prime}=p\mu$. Si $P(x)$ est une primitive de $p(x)$, alors

$$\mu(x)=e^{P(x)}=e^{\int p(x)\,dx}$$

convient : la règle de la chaîne donne $\mu^{\prime}=P^{\prime}e^P=p\mu$. Ici, $e$ est la base de l’exponentielle naturelle. L’exponentielle est positive; on pourra donc diviser par $\mu$.

Choisissez la primitive $P$ la plus simple. Lui ajouter une constante ne fait que multiplier $\mu$ par une constante non nulle, sans changer la famille de solutions obtenue. Tout multiple constant non nul d’un facteur intégrant convient aussi sur le même intervalle.

Intégrez ensuite :

$$\begin{aligned}(\mu y)^{\prime}&=\mu q,\\ \mu y&=\int \mu(x)q(x)\,dx+C,\\ y&=\frac{\int \mu(x)q(x)\,dx+C}{\mu(x)}.\end{aligned}$$

L’intégrale affichée représente une primitive; $C$ est la constante réelle arbitraire d’intégration. Conservez-la jusqu’à l’utilisation de la condition initiale. En particulier, $\int p(x)y(x)\,dx$ n’est généralement pas égale à $y(x)\int p(x)\,dx$ : $y$ varie avec $x$. C’est la règle du produit qui rend l’intégration possible.

3. Résoudre un problème à valeur initiale

Trouvez $y(x)$ si

$$\begin{gathered}xy^{\prime}+2y=x^2,\\ y(1)=1,\qquad x>0.\end{gathered}$$

Normaliser en conservant l’intervalle

Divisez par $x$, qui est positif dans ce problème :

$$y^{\prime}+\frac{2}{x}y=x.$$

On a donc $p(x)=2/x$, $q(x)=x$ et l’intervalle $(0,\infty)$. Il contient la valeur initiale $1$ de la variable et évite la division par zéro.

Choisir le facteur et vérifier le produit

Puisque $x>0$, une primitive de $2/x$ est $2\ln x$, où $\ln$ désigne le logarithme naturel. Prenez

$$\mu=e^{2\ln x}=x^2.$$

La multiplication de l’équation normalisée par $x^2$ donne

$$x^2y^{\prime}+2xy=x^3.$$

Le membre de gauche est $(x^2y)^{\prime}$, car la règle du produit donne $x^2y^{\prime}+2xy$. Écrire cette vérification évite de propager une erreur de signe ou de coefficient.

Intégrer, puis appliquer la condition initiale

$$\begin{aligned}x^2y&=\frac{x^4}{4}+C,\\ y&=\frac{x^2}{4}+\frac{C}{x^2}.\end{aligned}$$

En $x=1$, la condition donne $1=1/4+C$, donc $C=3/4$. La solution est

$$y(x)=\frac{x^2}{4}+\frac{3}{4x^2},\qquad x>0.$$

Vérifier séparément l’équation et la condition

La dérivée est $y^{\prime}=x/2-3/(2x^3)$. Substituez dans l’équation de départ :

$$\begin{aligned}xy^{\prime}+2y&=\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2x^2}\\ &\quad+\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2x^2}\\ &=x^2.\end{aligned}$$

De plus, $y(1)=1/4+3/4=1$. Les deux vérifications sont satisfaites. Une fonction peut résoudre l’équation différentielle sans respecter la condition initiale; une seule vérification ne suffit pas.

4. Lire la famille de courbes solutions

Avant d’imposer $y(1)=1$, chaque fonction $y=x^2/4+C/x^2$ résout l’équation sur $x>0$. Changer $C$ change la courbe. En $x=1$, la famille prend la valeur $1/4+C$; seul le membre avec $C=3/4$ passe donc par $(1,1)$.

L’équation fournit la pente au point initial : $y^{\prime}=x-2y/x=1-2=-1$. La courbe choisie est donc décroissante juste à droite de $x=1$, comme le montre le graphique. Une valeur positive de $y$ n’impose pas une dérivée positive.

La formule devient non bornée lorsque $x\to0^+$, puisque $3/(4x^2)\to+\infty$. Cette solution particulière ne peut pas se prolonger continûment à travers zéro. Plus généralement, une valeur qui annule le coefficient initial de $y^{\prime}$ exige une nouvelle analyse; la méthode normalisée seule ne décide pas si une solution particulière peut la traverser.

5. Essayer trois exercices corrigés

Pour chaque question, précisez la forme normalisée et l’intervalle avant d’intégrer. Essayez le calcul avant d’ouvrir la réponse.

6. Appliquer la méthode au prochain problème

1. Vérifiez la linéarité en la fonction inconnue et en sa dérivée.
2. Divisez chaque terme par le coefficient de la dérivée là où il est non nul. Précisez un intervalle contenant la valeur initiale de la variable.
3. Lisez $p(x)$ dans l’équation normalisée, choisissez $\mu=e^{\int p\,dx}$ et vérifiez $\mu^{\prime}=p\mu$.
4. Écrivez le membre de gauche sous la forme $(\mu y)^{\prime}$, intégrez, divisez par $\mu$ et appliquez la condition initiale.
5. Substituez dans l’équation de départ et vérifiez séparément la valeur initiale.

Si l’intégration vous bloque, consultez le guide sur le choix d’une méthode d’intégration. Pour un point de départ plus court, essayez la vérification d’une solution d’équation différentielle.

Vous travaillez une équation du second ordre à coefficients constants dont le second membre est non nul? Poursuivez avec le choix d’une solution particulière. Vérifiez d’abord le type d’équation; le facteur intégrant du premier ordre présenté ci-dessus est une autre méthode.

Contexte des cours et lectures complémentaires

Le plan d’ENGR 213 de l’automne 2026 à Concordia comprend les équations linéaires du premier ordre et les problèmes à valeur initiale. La description actuelle de MATH 263 à McGill comprend les EDO du premier ordre. Consultez votre plan actuel pour choisir les équations du premier ordre et les problèmes à condition initiale à travailler. Les questions sont des exercices originaux, pas du matériel d’évaluation officiel.

• Concordia ENGR 213 : plan de l’automne 2026, en anglais
• McGill : descriptions des cours de mathématiques, dont MATH 263, en anglais
• OpenStax Calculus Volume 2 : équations linéaires du premier ordre, en anglais