Exercices ENGR 213 : EDO du second ordre avec second membre

l’ordre correspond à la dérivée la plus élevée. Une équation linéaire contient la fonction inconnue et ses dérivées seulement à la puissance un, sans les multiplier entre elles. Un coefficient peut dépendre de $t$ sans rendre l’équation non linéaire.

A est une équation linéaire du premier ordre. Utilisez une méthode du premier ordre, comme le facteur intégrant. B est linéaire du second ordre, à coefficients constants et à second membre exponentiel; elle correspond à ces exercices.

C est linéaire du second ordre, mais le coefficient de $y'$ varie avec $t$. Ce n’est pas une équation à coefficients constants. D est non linéaire du second ordre à cause de $(y')^2$. On ne peut pas simplement y appliquer la superposition et la méthode du polynôme caractéristique.

les racines caractéristiques sont $-1$ et $-2$. Comparez l’exposant $+1$ du second membre avec ces racines.

La solution homogène est $C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}$. L’exponentielle $e^t$ n’en fait pas partie : essayez $y_p=Ae^t$. La substitution donne $6Ae^t=e^t$, donc $A=1/6$.

Pour

$$\begin{aligned}y={}&C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}\\&+\tfrac16e^t,\end{aligned}$$

les conditions donnent $C_1+C_2+1/6=0$ et $-C_1-2C_2+1/6=0$. Ainsi

$$\boxed{\begin{aligned}y={}&-\tfrac12e^{-t}+\tfrac13e^{-2t}\\&+\tfrac16e^t.\end{aligned}}$$

Chaque terme homogène contribue pour zéro au membre de gauche. Le terme particulier donne $e^t$. À zéro, $-1/2+1/3+1/6=0$ et $1/2-2/3+1/6=0$. Aucun facteur $t$ n’était nécessaire.

vérifiez si $e^{-t}$ est déjà une solution homogène. Essayez de la multiplier par $t$.

L’équation admet une solution; c’est la première forme qui appartient à la famille homogène. La racine $-1$ est simple : utilisez $y_p=Ate^{-t}$. Le membre de gauche devient $Ae^{-t}$, ce qui donne $A=2$.

La solution complète est $C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}+2te^{-t}$. Les conditions imposent

$$\begin{gathered}C_1+C_2=1,\\ -C_1-2C_2+2=0.\end{gathered}$$

On obtient $C_1=0$, $C_2=1$ et

$$\boxed{y=2te^{-t}+e^{-2t}.}$$

Le premier terme donne $2e^{-t}$ dans le membre de gauche; le second donne zéro. De plus, $y(0)=1$. La dérivée est $y'=2(1-t)e^{-t}-2e^{-2t}$, donc $y'(0)=0$.

factorisez $r^2-2r+1$. Vous pouvez aussi poser $y=e^t u$ pour examiner le membre de gauche.

Le polynôme caractéristique est $(r-1)^2$. La famille homogène est $(C_1+C_2t)e^t$ : les deux formes proposées sont donc homogènes. La forme suivante est $y_p=At^2e^t$.

Avec $y=e^t u$, le membre de gauche devient $e^t u''$. Pour $u=At^2$, on obtient $2Ae^t=6e^t$, donc $A=3$. Ainsi

$$y=(C_1+C_2t+3t^2)e^t.$$

À zéro, $C_1=0$. La dérivation donne $y'(0)=C_1+C_2$, d’où $C_2=1$ :

$$\boxed{y=(t+3t^2)e^t.}$$

La même substitution vérifie l’équation : $u=t+3t^2$ a pour dérivée seconde $u''=6$. De plus, $y(0)=0$ et $y'(0)=1$. Un seul facteur $t$ aurait laissé la forme proposée dans la famille homogène.

dériver $t^2$ deux fois produit une constante. Laissez à la solution particulière la possibilité de la compenser.

Prenez $y_p=At^2+Bt+C$. Alors

$$y_p''+y_p=At^2+Bt+(C+2A).$$

L’identification donne $A=1$, $B=0$ et $C=-2$. La solution homogène est $C_1\cos t+C_2\sin t$; ainsi

$$y=C_1\cos t+C_2\sin t+t^2-2.$$

Les valeurs initiales donnent $C_1=2$ et $C_2=0$ :

$$\boxed{y=t^2-2+2\cos t.}$$

On a $y'=2t-2\sin t$ et $y''=2-2\cos t$ : l’égalité $y''+y=t^2$ est vérifiée, ainsi que les deux valeurs initiales nulles. La forme réduite $At^2$ aurait laissé une constante indésirable $2A$ dans l’équation.

essayez $y_p=t[A\cos (3t)+B\sin (3t)]$. Substituez avant de déterminer $A$ et $B$.

La famille homogène est $C_1\cos (3t)+C_2\sin (3t)$. La forme proposée donne

$$\begin{aligned}y_p''+9y_p={}&-6A\sin(3t)\\&+6B\cos(3t).\end{aligned}$$

L’identification avec le second membre donne $A=-1/6$ et $B=0$, donc $y_p=-\tfrac{t}{6}\cos(3t)$. Cette fonction satisfait $y_p(0)=0$, mais sa dérivée initiale vaut $y_p'(0)=-1/6$, au lieu de zéro.

Ajoutez la solution homogène. La première condition donne $C_1=0$. La seconde donne $3C_2-1/6=0$, donc $C_2=1/18$ :

$$\boxed{y=\frac1{18}\sin(3t)-\frac{t}{6}\cos(3t).}$$

Sa dérivée première se simplifie en $y'=\tfrac{t}{2}\sin(3t)$. Ensuite,

$$y''=\frac12\sin(3t)+\frac32t\cos(3t),$$

et l’ajout de $9y$ donne $\sin (3t)$. Les deux conditions initiales sont nulles. Pour $t \ge 0$, la solution particulière oscillatoire a une enveloppe $t/6$ qui croît linéairement dans ce modèle idéal de résonance sans amortissement.