Élasticité de la demande et revenu

1. Passer d’une pente à une sensibilité en pourcentage

La dérivée $q^{\prime}(p)$ mesure comment la demande hebdomadaire varie lorsque le prix unitaire change. Ici, $q^{\prime}(p)=-4$ : une hausse d’un dollar du prix unitaire réduit la demande hebdomadaire de quatre unités. Cette variation est exacte dans ce modèle linéaire. La pente mesure une variation en unités; l’élasticité compare des variations relatives et n’a pas d’unité.

Pour une petite variation de prix $\Delta p$, notons $\Delta q=q(p+\Delta p)-q(p)$ la variation correspondante de la demande hebdomadaire. L’approximation locale $\Delta q\approx q^{\prime}(p)\Delta p$ donne la première formule ci-dessous. Multiplier une variation relative par 100 l’exprime en pourcentage.

Définissons l’élasticité de la demande $E(p)$ selon la convention positive ci-dessous. La demande décroît, donc $q^{\prime}(p)<0$; le signe moins donne alors $E(p)>0$. Une élasticité de $0{,}5$ signifie qu’une petite hausse de prix de 1 % entraîne une baisse d’environ 0,5 % de la demande. Selon cette convention, $E$ est positif lorsque la demande décroît; le facteur $-E$ prévoit la baisse de la demande.

2. Relier l’élasticité au revenu

Le revenu hebdomadaire $R(p)$, en dollars par semaine, est le prix multiplié par la quantité vendue : $R(p)=p\,q(p)$. Augmenter le prix ajoute du revenu sur chaque unité vendue, tandis que la baisse de la demande retire des ventes. La règle du produit tient compte des deux effets.

Le symbole prime dans $R^{\prime}(p)$ désigne la dérivée par rapport au prix. Elle mesure des dollars de revenu hebdomadaire par dollar de variation du prix unitaire. Puisque $p\,q^{\prime}(p)=-E(p)q(p)$, la factorisation donne l’identité ci-dessous. La demande est positive sur notre intervalle : le signe de $R^{\prime}(p)$ est donc celui de $1-E(p)$.

3. Comparer trois prix sur la même droite de demande

Remplaçons $q^{\prime}(p)$ par $-4$ : $E(p)=4p/(240-4p)$. Simplifions ensuite comme ci-dessous. La pente reste égale à $-4$, mais l’élasticité change parce que le prix initial et la demande initiale changent.

À $p=20$, la demande vaut $160$ unités par semaine et $E=1/2$. Une petite hausse de prix de 1 % donne une baisse d’environ 0,5 % de la demande. Le revenu augmente initialement. À $p=40$, la demande n’est plus que de $80$ unités et $E=2$ : la même petite hausse de prix de 1 % donne une baisse d’environ 2 % de la demande, donc le revenu diminue initialement.

À $p=30$, la demande vaut $120$ unités et $E=1$. La dérivée du revenu est nulle. Dans ce modèle, $R^{\prime}(p)=240-8p$ est positive en dessous de 30 et négative au-dessus. Le revenu atteint donc son maximum au prix de 30 dollars par unité, avec 120 unités vendues par semaine et un revenu hebdomadaire de 3600 dollars.

Une pente constante, trois élasticités

Dans ce modèle, le revenu est maximal à l’élasticité unitaire

4. Vérifier l’ampleur de la variation du prix

Une élasticité unitaire à un prix donné signifie que la variation instantanée du revenu y est nulle. Elle ne signifie pas qu’une variation finie du prix laisse le revenu inchangé. Notons $h$ une variation du prix unitaire à partir de 30 dollars, avec $-30<h<30$. La substitution donne la variation exacte ci-dessous.

Par exemple, passer de 30 à 31 dollars fait passer le revenu de 3600 à 3596 dollars par semaine. L’estimation locale $R^{\prime}(30)\cdot1=0$ omet la baisse de quatre dollars. La tangente horizontale décrit la variation au premier ordre à 30; la courbe du revenu descend tout de même de chaque côté.

Une demande initialement inélastique ne justifie pas non plus une hausse de prix arbitrairement grande. De $p=20$ à $p=50$, ce modèle franchit le maximum : le revenu passe de 3200 à 2000 dollars par semaine. Pour une variation finie donnée, comparez directement les deux revenus. Un revenu constant sur tout un intervalle exige $E(p)=1$ sur tout cet intervalle, pas seulement à un prix.