Moment cinétique : six exercices guidés

1. Choisir un système qui comprend le choc

Un petit morceau de pâte colle à un disque horizontal monté sur un axe vertical fixe, idéal et sans frottement. Considérez le bref intervalle de contact. La gravité et les supports verticaux n’exercent aucune composante de moment selon $z$.

Un étudiant affirme : « Le support n’exerce aucune force, le moment cinétique du disque se conserve et le choc conserve l’énergie cinétique. » Expliquez ce qu’il faut modifier dans ce raisonnement. Quel système rend l’interaction de contact interne?

Revoyez le système et l’axe.

2. Une particule ne se déplace pas tangentiellement

À un instant avant le contact, une particule ponctuelle de masse 0,20 kg se trouve en $(x,y)=(0{,}50\,\mathrm m,0)$. Les composantes de sa vitesse sont $v_x=+4{,}0\,\mathrm{m/s}$ et $v_y=-3{,}0\,\mathrm{m/s}$. Trouvez son moment cinétique signé selon $z$. Expliquez pourquoi utiliser la norme de la vitesse dans $mvR$ donnerait une valeur incorrecte du moment cinétique.

Revoyez le moment cinétique d’une particule.

3. Inclure un moment de force extérieur

Une roue a un moment d’inertie constant $I_z=0{,}20\,\mathrm{kg\cdot m^2}$ et tourne initialement à +3,0 rad/s. Un moment extérieur résultant constant de −0,10 N·m agit pendant 2,0 s. Trouvez le moment cinétique et la vitesse angulaire à la fin. La roue a-t-elle inversé son sens de rotation?

Revoyez l’impulsion angulaire.

4. Rapprocher deux masses de l’axe

Une plateforme en rotation et son mécanisme interne ont un moment d’inertie combiné constant de 0,50 kg·m². Deux petites masses de 0,25 kg chacune tournent initialement avec la plateforme à un rayon de 1,0 m. Le mécanisme ramène les deux masses à un rayon de 0,50 m. Traitez-les comme des masses ponctuelles et négligez l’inertie des pièces de liaison. La vitesse angulaire initiale est +3,0 rad/s.

Choisissez l’appareil complet comme système. Négligez les moments extérieurs selon $z$. Aux deux états comparés, toutes les pièces tournent ensemble, sans mouvement radial. Trouvez $I_i$, $I_f$ et $\omega_f$. Comparez les énergies cinétiques de ces états et expliquez leur différence.

Voir la solution expliquée

$$\begin{gathered}I_i=0{,}50+2(0{,}25)(1{,}0)^2\\=1{,}00\,\mathrm{kg\cdot m^2},\end{gathered}$$ $$\begin{gathered}I_f=0{,}50+2(0{,}25)(0{,}50)^2\\=0{,}625\,\mathrm{kg\cdot m^2}.\end{gathered}$$ $$\begin{gathered}L_z=(1{,}00)(3{,}0)\\=3{,}00\,\mathrm{kg\cdot m^2/s},\\\omega_f=3{,}00/0{,}625\\=+4{,}8\,\mathrm{rad/s}.\end{gathered}$$ $$\begin{gathered}K_i=\tfrac12(1{,}00)(3{,}0)^2\\=4{,}50\,\mathrm J,\\K_f=\tfrac12(0{,}625)(4{,}8)^2\\=7{,}20\,\mathrm J.\end{gathered}$$

L’énergie cinétique augmente de 2,70 J. Le mécanisme interne fournit de l’énergie en ramenant les masses vers l’axe. Pour un mécanisme sans pertes, sans autre variation d’énergie entre les états comparés, son énergie stockée diminue de cette quantité. La conservation du moment cinétique n’imposait pas la conservation de l’énergie cinétique.

Vérification : $I_f\omega_f=(0{,}625)(4{,}8)=3{,}00$. De plus, $K_f/K_i=1{,}60=I_i/I_f$. La masse totale n’a pas changé; sa distance à l’axe a changé.

Revoyez le changement de moment d’inertie.

5. Un morceau de pâte colle à un disque immobile

Un disque initialement immobile a $I_d=0{,}30\,\mathrm{kg\cdot m^2}$. Un morceau de pâte de 0,40 kg arrive tangentiellement à 2,0 m/s et reste collé à un rayon de 0,50 m, en apportant un moment cinétique positif. Le disque possède un axe vertical fixe, idéal et sans frottement. Traitez la pâte comme une masse ponctuelle. Négligez l’impulsion angulaire extérieure pendant le choc.

Trouvez la vitesse angulaire finale commune. Calculez les énergies cinétiques initiale et finale, puis la diminution d’énergie cinétique.

Revoyez le choc avec collage et sa vérification d’énergie.

6. Un choc bref avec une impulsion angulaire extérieure

Un disque de moment d’inertie $I_d=0{,}40\,\mathrm{kg\cdot m^2}$ tourne initialement dans le sens horaire à 0,50 rad/s. Un morceau de pâte ponctuel de 0,20 kg arrive tangentiellement à 3,0 m/s et reste collé à un rayon de 0,50 m, avec un moment cinétique d’arrivée positif. Pendant le contact, un moteur extérieur fournit une impulsion angulaire $J_{\tau,z}=-0{,}040\,\mathrm{N\cdot m\cdot s}$ autour de l’axe vertical fixe. Les autres impulsions angulaires extérieures sont négligeables.

Trouvez la vitesse angulaire finale commune avec son signe. Comparez-la au résultat obtenu en ignorant à tort le moteur. Le fait que le choc soit bref suffit-il à justifier la conservation?

Revoyez le bilan signé du choc.

Quelle étape reprendre?

• Q1 : nommer le système combiné et distinguer la force du support de son moment.
• Q2 : utiliser la composante perpendiculaire de vitesse ou le produit vectoriel signé.
• Q3 : ajouter l’impulsion angulaire extérieure avant de déterminer le sens final.
• Q4 : inclure chaque masse dans le moment d’inertie autour du même axe, puis vérifier l’énergie séparément.
• Q5 : conserver le moment cinétique pendant le collage, puis calculer la variation d’énergie.
• Q6 : garder les contributions horaires négatives et inclure l’impulsion angulaire extérieure.

Au tutorat de mécanique à Ahuntsic ou au tutorat de mécanique à Vanier, nous pouvons choisir le système et l’axe, repérer les moments de force extérieurs et écrire ensemble l’équation du moment cinétique, ou revoir une question que vous avez déjà essayée. Les séances sont offertes en anglais.