Tutorat MATH 263 McGill : équations différentielles ordinaires et Laplace

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MATH 263 à McGill porte sur les équations différentielles ordinaires pour ingénieurs : premier ordre, équations linéaires d’ordre supérieur, solutions en série, transformées de Laplace et systèmes linéaires. Les exercices originaux ci-dessous travaillent deux compétences de Laplace : conserver les conditions initiales et reconnaître une entrée retardée.

Réservé aux étudiants de la Faculté de génie.

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Conserver les conditions initiales dans une transformée de Laplace
Vérifier l’effet d’une entrée retardée sur la transformée

Notions à travailler pour MATH 263

Équations différentielles ordinaires du premier ordreÉquations linéaires du second ordre et d’ordre supérieurSolutions en série aux points ordinaires et singuliers réguliersTransformées de LaplaceSystèmes linéaires avec révision d’algèbre linéaire

Difficultés fréquentes

Conserver les termes initiaux en transformant les dérivées
Relier les fractions partielles aux fonctions du temps
Décaler toute l’expression d’une entrée qui commence plus tard

Exemple résolu : conserver les conditions initiales avec Laplace

Soit $t\ge0$ le temps sans dimension et $y=y(t)$ une fonction réelle inconnue. Les primes désignent les dérivées par rapport à $t$ . Résolvez le problème à conditions initiales $\begin{gathered}y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=4,\\y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=0.\end{gathered}$ La constante 4 est le terme de forçage. Nous allons transformer l’équation, résoudre une équation algébrique, puis revenir à une fonction du temps.

1. Définir la transformée et conserver les deux termes initiaux

Écrivons $Y(s)=\mathcal L\{y\}(s)$ , où $\mathcal L$ désigne la transformée de Laplace unilatérale et $s>0$ un paramètre réel de transformation. Sa définition est $Y(s)=\int_0^\infty e^{-st}y(t)\,dt.$ Ici, $e$ est la base de l’exponentielle naturelle; l’intégrale combine les valeurs aux temps positifs ou nuls avec le poids $e^{-st}$ . Pour ce problème, les identités usuelles de dérivation donnent $\begin{aligned}\mathcal L\{y^{\prime}\}&=sY-y(0)=sY-1,\\\mathcal L\{y^{\prime\prime}\}&=s^2Y-sy(0)-y^{\prime}(0)\\&=s^2Y-s.\end{aligned}$ Nous omettons l’argument $s$ de $Y$ pour alléger les calculs. Le forçage constant a pour transformée $\mathcal L\{4\}=4/s$ .

2. Regrouper les termes de l’équation transformée

Transformez chaque terme, puis regroupez ceux qui contiennent $Y$ : $\begin{gathered}(s^2Y-s)+3(sY-1)+2Y=\frac4s,\\(s^2+3s+2)Y=s+3+\frac4s.\end{gathered}$ Le terme supplémentaire $s+3$ vient de la valeur initiale non nulle. Comme $s^2+3s+2=(s+1)(s+2)$ , $Y(s)=\frac{s^2+3s+4}{s(s+1)(s+2)}.$ Omettre les termes initiaux reviendrait à résoudre un autre problème.

3. Décomposer en fractions partielles

Soient $A,B,C$ des constantes réelles à déterminer. Écrivons $Y(s)=\frac A s+\frac B{s+1}+\frac C{s+2}.$ Multiplier par le dénominateur commun donne l’identité polynomiale $\begin{aligned}s^2+3s+4&=A(s+1)(s+2)\\&\quad+Bs(s+2)\\&\quad+Cs(s+1).\end{aligned}$ Substituer $s=0$ donne $4=2A$ , donc $A=2$ . Substituer $s=-1$ donne $2=-B$ , donc $B=-2$ . Substituer $s=-2$ donne $2=2C$ , donc $C=1$ . Ces substitutions évaluent une identité polynomiale; elles n’évaluent pas l’intégrale de transformation hors de son domaine de convergence.

4. Revenir au temps et interpréter le résultat

Les paires de transformées $\mathcal L\{1\}=1/s$ et $\mathcal L\{e^{-at}\}=1/(s+a)$ , pour une constante réelle positive $a$ , donnent $\begin{aligned}Y(s)&=\frac2s-\frac2{s+1}+\frac1{s+2},\\y(t)&=2-2e^{-t}+e^{-2t}.\end{aligned}$ La linéarité permet de prendre la transformée de Laplace inverse de chaque terme, puis d’additionner les résultats. Les deux termes exponentiels tendent vers zéro; ainsi, $y(t)\to2$ lorsque $t\to\infty$ . La fonction constante $y=2$ équilibre le forçage puisque $2(2)=4$ ; les termes exponentiels ajustent la solution aux conditions initiales.

5. Vérifier directement l’équation et les deux conditions

Dérivez le résultat sans utiliser la transformée : $\begin{aligned}y^{\prime}(t)&=2e^{-t}-2e^{-2t},\\y^{\prime\prime}(t)&=-2e^{-t}+4e^{-2t}.\end{aligned}$ La substitution dans l’équation initiale donne $\begin{gathered}y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=4\\+(-2+6-4)e^{-t}\\+(4-6+2)e^{-2t}\\=4.\end{gathered}$ Séparément, $y(0)=2-2+1=1$ et $y^{\prime}(0)=2-2=0$ . Les deux conditions et l’équation sont satisfaites. Les coefficients sont continus et celui de la dérivée d’ordre le plus élevé est non nul. Ces conditions assurent que ce problème à conditions initiales a une seule solution.

À vous de jouer

Conservez l’équation et $y(0)=1$ , mais remplacez la dérivée initiale par $y^{\prime}(0)=1$ . Qu’est-ce qui change dans l’équation transformée? Trouvez la nouvelle solution et vérifiez les deux conditions initiales.

Voir la solution expliquée

Maintenant, $\mathcal L\{y^{\prime\prime}\}=s^2Y-s-1$ . Regrouper les termes donne $\begin{gathered}(s^2+3s+2)Y\\=s+4+\frac4s,\\Y(s)=\frac{(s+2)^2}{s(s+1)(s+2)}\\=\frac{s+2}{s(s+1)}\\=\frac2s-\frac1{s+1}.\end{gathered}$ Donc $y(t)=2-e^{-t}$ . On a bien $y(0)=1$ et $y^{\prime}(0)=1$ . Ses dérivées sont $y^{\prime}=e^{-t}$ et $y^{\prime\prime}=-e^{-t}$ , d’où $y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=4$ . La valeur limite reste 2, mais la pente initiale et les termes décroissants ont changé.

Si les termes initiaux posaient problème, écrivez les identités de dérivation avant de remplacer les valeurs. Si l’inversion posait problème, recombinez vos fractions partielles et comparez leur numérateur à celui de l’équation transformée. Utilisez ensuite l’exercice sur le retard pour vérifier une autre compétence de Laplace.

Se préparer à ce cours

Révisez les dérivées exponentielles, l’intégration par parties et les fractions partielles. L’exemple résolu explique la notation de Laplace avant de l’utiliser. Essayez ensuite l’exercice sur le retard ci-dessous. Les pages connexes de calcul et d’algèbre linéaire servent de révision facultative; les exigences d’inscription de McGill figurent séparément.

Conditions d’inscription

McGill indique MATH 262 comme cours concomitant à MATH 263. L’entrée de MATH 263 ne nomme pas de préalable distinct. Le cours est réservé aux étudiants en génie et exclut ceux qui suivent ou ont suivi MATH 315 ou MATH 325. Confirmez votre admissibilité à l’inscription auprès de McGill.

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Vérifier une entrée exponentielle retardée

Soit $t\ge0$ le temps sans dimension, $s>0$ un paramètre réel de transformation et $g(t)$ une entrée. On note $G(s)=\mathcal L\{g\}(s)$ sa transformée de Laplace unilatérale. L’échelon unité $u(t-2)$ vaut 0 avant $t=2$ et 1 à partir de $t=2$ . Un étudiant affirme que $G(s)=\frac{e^{-2s}}{s+1}$ correspond à $g(t)=u(t-2)e^{-t}$ . Corrigez l’entrée, puis trouvez sa valeur à $t=3$ . Expliquez ce qui doit changer dans l’exponentielle lorsque le départ est retardé.

Voir un indice

Le facteur $e^{-2s}$ retarde l’entrée initiale de 2. À $t=3$ , combien de temps s’est écoulé depuis le nouveau départ? Pour vérifier directement une entrée proposée, commencez l’intégrale de transformation à 2 et posez $r=t-2$ , où $r$ est le temps écoulé depuis le départ.

Voir le raisonnement

Faire repartir l’exponentielle à la nouvelle origine
L’entrée non décalée $e^{-t}$ a pour transformée $1/(s+1)$ . Un retard de 2 donne $g(t)=u(t-2)e^{-(t-2)}.$ Autrement dit, $g(t)=0$ pour $0\le t<2$ , et $g(t)=e^{-(t-2)}$ pour $t\ge2$ . L’argument $t-2$ mesure le temps depuis l’activation. Avec la convention donnée pour l’échelon, l’entrée commence à $g(2)=1$ . La valeur au seul instant où l’entrée s’active ne modifie pas la transformée.
Vérifier le retard avec l’intégrale de définition
L’entrée est nulle avant 2; sa transformée vaut donc $\begin{gathered}\mathcal L\{g\}(s)\\=\int_2^\infty e^{-st}e^{-(t-2)}\,dt.\end{gathered}$ Posez $r=t-2$ . Alors $t=r+2$ , $dt=dr$ , et la borne inférieure devient 0 : $\begin{gathered}\mathcal L\{g\}(s)\\=e^{-2s}\int_0^\infty e^{-(s+1)r}\,dr\\=\frac{e^{-2s}}{s+1}.\end{gathered}$ L’intégrale converge pour $s>0$ , comme supposé.
Comparer les valeurs une unité de temps après l’activation
À $t=3$ , l’entrée corrigée vaut $g(3)=e^{-(3-2)}=e^{-1}$ . L’expression de l’étudiant donne $e^{-3}$ . En fait, $u(t-2)e^{-t}=e^{-2}g(t)$ : elle réduit aussi l’amplitude d’un facteur $e^{-2}$ . Un simple retard conserve la valeur de départ de l’entrée au moment où elle s’active et fait repartir le temps écoulé à zéro à cet instant.

Comment le tutorat aide

Partez d’un problème de MATH 263 qui vous bloque ou d’une notion de base que vous aimeriez mieux comprendre. Votre plan de cours, si vous l’avez, peut nous aider à choisir des exemples. Le tuteur peut vous aider à décider si les transformées de Laplace conviennent au problème, vérifier chaque terme contenant une valeur initiale et reprendre une décomposition en fractions partielles. Pour une entrée retardée, il peut comparer sa formule avant et après son début, puis vous aider à vérifier séparément la transformée et la solution obtenue.

Préparation aux examens de MATH 263

Exercez-vous à choisir une méthode à partir de l’équation et des conditions données. Avec Laplace, conservez les termes initiaux, trouvez la transformée de Laplace inverse de chaque terme de la décomposition en fractions partielles, puis vérifiez le résultat dans l’équation initiale. Ces exercices ciblent certaines compétences; suivez les consignes actuelles de votre section pour la matière et les méthodes de chaque évaluation.

Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Liens utiles pour la préparation ou la suite des études; ce ne sont pas des équivalences ni une séquence d’inscription obligatoire.

Pratique autonome

Exercices gratuits et guides pour MATH 263

Pour les équations linéaires du premier ordre, cette leçon explique comment obtenir un coefficient de 1 devant la dérivée première, utiliser un facteur intégrant et vérifier une valeur initiale. L’exemple de Laplace sur cette page utilise une autre méthode.

18 min

Facteurs intégrants pour les EDO linéaires du premier ordre

Comprenez le facteur intégrant, normalisez une EDO linéaire et appliquez la condition initiale sur le bon intervalle. Un exemple résolu, un graphique et trois exercices corrigés.

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