Graphiques quadratiques : sommet, zéros et équation

À qui s’adresse cette leçon?

Utilisez cette leçon lorsque votre cours aborde les relations du second degré et leurs graphiques. Vous devriez déjà savoir développer des parenthèses, remplacer une variable par une valeur et résoudre une équation simple du premier degré. Le travail sur les graphiques et les formes correspond à certains objectifs sur les relations du second degré du cours théorique ontarien MPM2D de 10e année. Compléter le carré avec d’autres coefficients dominants prolonge ce travail vers certains objectifs de 11e année des cours MCR3U et MCF3M. Au Québec, les formes et les méthodes exigées varient selon l’année du secondaire et la séquence de mathématique. Consultez votre plan de cours : cette leçon porte sur un sujet précis et ne constitue ni un cours provincial complet ni un guide d’examen complet.

Vous connaissez déjà les zéros et les graphiques? Passez au prolongement facultatif sur les inéquations du second degré et à ses exercices.

Vous travaillez avec deux graphiques? Essayez le système d’une arche et d’un segment droit, puis trois nouveaux segments, dans ce parcours facultatif.

1. Une courbe, trois formes utiles

Une fonction du second degré s’écrit $y = ax^2 + bx + c$. Ici, $x$ est l’entrée, $y$ est la sortie, et $a$, $b$ et $c$ sont des coefficients réels fixes, avec $a \ne 0$. Son graphique est une parabole. Dans cette leçon, $x$ peut être n’importe quel nombre réel, sauf si le problème impose un domaine plus restreint.

Considérez les trois expressions suivantes :

$$y = x^2 - 6x + 5$$

$$y = (x - 1)(x - 5)$$

$$y = (x - 3)^2 - 4$$

Elles donnent le même $y$ pour chaque valeur de $x$. Le développement du produit donne $x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5$. Celui du carré donne $x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5$.

Pour trouver la forme factorisée de cet exemple, cherchez deux nombres dont la somme est $-6$ et le produit est 5 : $-1$ et $-5$. En effet, $(x + p)(x + q)$ se développe en $x^2 + (p + q)x + pq$, où $p$ et $q$ désignent ces deux nombres. Développez toujours vos facteurs pour vérifier. Cette méthode s’applique directement lorsque le coefficient de $x^2$ est 1.

Chaque forme facilite la lecture d’une caractéristique :

La forme générale donne l’ordonnée à l’origine : pour $x = 0$, $y = 5$. Le point est donc $(0, 5)$.

La forme factorisée donne les zéros : $y = 0$ pour $x = 1$ et $x = 5$. Les intersections avec l’axe des abscisses sont $(1, 0)$ et $(5, 0)$.

La forme canonique donne le sommet : $(3, -4)$. La plus petite valeur possible de $(x - 3)^2$ est zéro. La valeur minimale de $y$ est donc $-4$.

L’axe de symétrie est $x = 3$. Deux valeurs de $x$ situées à la même distance de 3 donnent le même $y$. Par exemple, $x = 2$ et $x = 4$ donnent toutes deux $y = -3$.

Vérification : les zéros indiquent-ils où la courbe coupe l’axe des ordonnées?

2. Tracer un graphique cohérent avec l’équation

Pour $y = x^2 - 6x + 5$, placez les points $(0, 5)$, $(1, 0)$, $(2, -3)$, $(3, -4)$, $(4, -3)$, $(5, 0)$ et $(6, 5)$. Tracez une courbe lisse qui les traverse. Elle est ouverte vers le haut, car le coefficient de $x^2$ est positif. Identifiez les axes et le sommet. Le domaine, soit l’ensemble des entrées permises, est l’ensemble des réels. L’image, soit l’ensemble des sorties possibles, est l’ensemble des valeurs $y \ge -4$.

Des segments droits reliant les points ne représentent pas la parabole. Les points servent à guider la courbe. Un outil graphique peut vérifier votre tracé après que vous avez prévu ses principales caractéristiques.

La forme canonique $y = a(x - h)^2 + k$ utilise les paramètres réels fixes $a$, $h$ et $k$, avec $a \ne 0$. Ici, $h$ est l’abscisse du sommet et $k$ son ordonnée : le sommet est donc $(h, k)$. Si $a$ est positif, le sommet correspond à un minimum; s’il est négatif, à un maximum. Attention au signe : $(x + 2)^2$ s’écrit aussi $(x - (-2))^2$. L’abscisse du sommet est alors $-2$.

3. Résoudre la question posée

Pour $y = (x - 3)^2 - 4$ :

Pour trouver les zéros, posez $y = 0$ : $(x - 3)^2 = 4$. Alors $x - 3 = 2$ ou $-2$, donc $x = 5$ ou 1.

Pour trouver les valeurs de $x$ lorsque $y = 5$, résolvez $(x - 3)^2 - 4 = 5$. Alors $(x - 3)^2 = 9$, donc $x = 6$ ou 0.

Si un produit est nul, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi, $(x - 1)(x - 5) = 0$ signifie $x - 1 = 0$ ou $x - 5 = 0$; les deux facteurs n’ont pas à être nuls simultanément. Cette règle du produit nul s’applique seulement lorsque le produit est nul. Si $(x - 1)(x - 5) = 5$, poser un facteur égal à 5 ne permet pas de trouver correctement toutes les solutions.

Certaines paraboles n’ont aucun zéro réel. Par exemple, $y = (x - 3)^2 + 2$ est toujours supérieur ou égal à 2. Son graphique n’atteint donc jamais l’axe des abscisses. Cette fonction possède quand même un sommet et une ordonnée à l’origine.

4. Compléter le carré pour trouver le sommet et résoudre des équations

Complétez le carré dans $x^2 - 6x + 5$ :

$$\begin{aligned}x^2 - 6x + 5 &= x^2 - 6x + 9 - 9 + 5 \\&= (x - 3)^2 - 4\end{aligned}$$

Pourquoi ajouter 9? La moitié de $-6$ est $-3$, et $(-3)^2 = 9$. Pourquoi aussi soustraire 9? Pour conserver la valeur de l’expression. Dans cet exemple, le coefficient de $x^2$ est 1. S’il est différent, il faut en tenir compte avant de compléter le carré.

À vous : écrivez $x^2 + 4x + 1$ sous forme canonique.

Compléter le carré lorsque le coefficient est différent de 1

La même idée fonctionne lorsque le coefficient de $x^2$ est différent de 1. Commencez par mettre ce coefficient en facteur dans les termes qui contiennent $x$. Laissez le terme constant à l’extérieur des parenthèses pour le moment. Complétez ensuite le carré à l’intérieur.

Le point à surveiller est le facteur devant les parenthèses : ajouter un nombre à l’intérieur modifie la valeur de l’expression d’une quantité égale à ce nombre multiplié par le facteur.

Exemple avec un coefficient positif

Écrivez $y=2x^2-12x+10$ sous forme canonique.

Mettez 2 en facteur dans les deux premiers termes :

$$y=2(x^2-6x)+10.$$

À l’intérieur des parenthèses, la moitié de $-6$ est $-3$, et $(-3)^2=9$. Ajoutez et soustrayez 9 dans les mêmes parenthèses :

$$\begin{aligned} y&=2[x^2-6x+9-9]+10\\ &=2[(x-3)^2-9]+10\\ &=2(x-3)^2-18+10\\ &=2(x-3)^2-8. \end{aligned}$$

Pourquoi $-9$ devient-il $-18$? Le facteur 2 multiplie chaque terme à l’intérieur des parenthèses, y compris $-9$.

Vous pouvez aussi écrire la compensation à l’extérieur dès le départ :

$$y=2(x^2-6x+9)+10-18.$$

Ajouter 9 à l’intérieur ajoute $2\times9=18$ à toute l’expression. Il faut donc soustraire 18 à l’extérieur. Les deux méthodes conservent la valeur de l’expression initiale.

Le sommet est $(3,-8)$. Comme $2(x-3)^2\geq0$, la valeur minimale de $y$ est $-8$, atteinte pour $x=3$.

Vérifiez en développant :

$$\begin{aligned}&2(x-3)^2-8\\&=2x^2-12x+18-8\\&=2x^2-12x+10.\end{aligned}$$

Exemple avec un coefficient négatif

Écrivez $y=-3x^2-12x-9$ sous forme canonique.

Mettez $-3$ en facteur dans les deux premiers termes. Remarquez que $(-3)(4x)=-12x$. Le terme à l’intérieur est donc $+4x$ :

$$y=-3(x^2+4x)-9.$$

La moitié de 4 est 2, et $2^2=4$. Ajoutez et soustrayez 4 à l’intérieur :

$$\begin{aligned} y&=-3[x^2+4x+4-4]-9\\ &=-3[(x+2)^2-4]-9\\ &=-3(x+2)^2+12-9\\ &=-3(x+2)^2+3. \end{aligned}$$

Ici, la compensation est positive à l’extérieur, car $(-3)(-4)=+12$.

Vous pouvez aussi écrire cette étape ainsi :

$$y=-3(x^2+4x+4)-9+12.$$

Ajouter 4 à l’intérieur modifie toute l’expression de $(-3)\times4=-12$. Ajoutez 12 à l’extérieur pour compenser ce changement.

Le sommet est $(-2,3)$. Comme $-3(x+2)^2\leq0$, la valeur maximale est 3, atteinte pour $x=-2$.

Vérifiez en développant :

$$\begin{aligned}&-3(x+2)^2+3\\&=-3x^2-12x-12+3\\&=-3x^2-12x-9.\end{aligned}$$

Vérifier la compensation

Si le facteur devant les parenthèses est $a$, ajouter $q$ à l’intérieur modifie toute l’expression de $aq$. Soustrayez $aq$ à l’extérieur pour conserver sa valeur. Lorsque $a$ est négatif, soustraire $aq$ peut revenir à ajouter un nombre positif.

Vous pouvez plutôt ajouter et soustraire $q$ dans les mêmes parenthèses. Lorsque vous distribuez ensuite $a$, multipliez les deux termes par $a$.

Comprendre d’où vient la formule quadratique

Vous pouvez utiliser la formule ci-dessous sans refaire sa démonstration. Suivez ces étapes facultatives pour comprendre pourquoi elle fonctionne; consultez votre plan de cours pour savoir si vous devez les reproduire.

Remplacez maintenant les nombres par des lettres. Dans

$$ax^2+bx+c=0,$$

$x$ est l’inconnue, et $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels fixés. Le nombre $a$ est le coefficient de $x^2$, $b$ est celui de $x$, et $c$ est le terme constant. Leurs signes font partie de leurs valeurs. Il faut que $a\ne0$; sinon, l’équation n’est pas du second degré.

Complétez d’abord le carré dans l’expression. Ici, la compensation est écrite à l’extérieur des parenthèses :

$$\begin{aligned} &ax^2+bx+c\\ &=a\left[x^2+\frac ba x\right]+c\\ &=a\left[x^2+\frac ba x+\left(\frac b{2a}\right)^2\right]\\ &\quad-a\left(\frac b{2a}\right)^2+c\\ &=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2\\ &\quad-\frac{b^2}{4a}+c\\ &=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2\\ &\quad-\frac{b^2-4ac}{4a}. \end{aligned}$$

À l’intérieur des parenthèses, la moitié de $b/a$ est $b/(2a)$. La compensation à l’extérieur est $-a[b/(2a)]^2=-b^2/(4a)$. C’est la même règle de multiplication que dans les exemples.

Posez $\Delta=b^2-4ac$. Ce nombre s’appelle le discriminant. La forme canonique est

$$y=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}.$$

Elle donne aussi le sommet : $\left(-\frac b{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$.

Pour trouver les zéros, posez $y=0$ et isolez le carré :

$$\begin{aligned} a\left(x+\frac b{2a}\right)^2&=\frac{\Delta}{4a}\\ 4a^2\left(x+\frac b{2a}\right)^2&=\Delta\\ (2ax+b)^2&=\Delta. \end{aligned}$$

Pour obtenir la deuxième ligne, multipliez les deux membres par $4a$. Cette opération est valide pour $a$ positif ou négatif, puisque $a\ne0$.

Si $\Delta\geq0$, un nombre dont le carré vaut $\Delta$ peut être égal à $+\sqrt{\Delta}$ ou à $-\sqrt{\Delta}$. On obtient donc

$$2ax+b=\pm\sqrt{\Delta}.$$

Soustrayez $b$, puis divisez par $2a$ :

$$\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}.$$

C’est la formule quadratique. Le symbole $\pm$ indique qu’il faut considérer le choix du signe plus et celui du signe moins. Le dénominateur $2a$ divise tout le numérateur. Lorsque la racine carrée vaut zéro, les deux choix donnent la même solution.

Déterminer le nombre de solutions réelles

Regardez $(2ax+b)^2=\Delta$. Le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif.

• Si $\Delta>0$, il y a deux solutions réelles distinctes. Le graphique de $y=ax^2+bx+c$ coupe l’axe des abscisses en deux points.

• Si $\Delta=0$, il y a une seule solution réelle distincte, $x=-b/(2a)$. On l’appelle une racine double. Le graphique touche l’axe des abscisses à son sommet.

• Si $\Delta<0$, il n’y a aucune solution réelle et aucune intersection avec l’axe des abscisses. La fonction a tout de même un graphique; celui-ci ne rencontre simplement pas cet axe.

Ces conclusions sont valables que la parabole soit ouverte vers le haut ou vers le bas. Cette partie de la leçon porte sur les solutions réelles.

Avant d’utiliser le discriminant ou la formule, réécrivez l’équation sous la forme $ax^2+bx+c=0$ et identifiez $a$, $b$ et $c$, avec leurs signes.

S’exercer en trois étapes

Utilisez les indices ou consultez une solution détaillée quand cela vous aide.

5. Construire un modèle et respecter son domaine

Un jardin rectangulaire est entouré de 20 m de clôture sur ses quatre côtés. Sa largeur mesure $w$ mètres et sa longueur $l$ mètres. En négligeant l’épaisseur de la clôture, $2w + 2l = 20$, donc $l = 10 - w$.

Soit $A$ la valeur numérique de l’aire en mètres carrés. Alors $$\begin{aligned}A &= w(10 - w) \\&= -w^2 + 10w \\&= -(w - 5)^2 + 25\end{aligned}$$.

Pour obtenir un véritable jardin, il faut $w > 0$ et $l > 0$, donc $0 < w < 10$. La parabole est ouverte vers le bas et atteint son maximum pour $w = 5$. La longueur est aussi de 5 m, et l’aire maximale est de $25\text{ m}^2$. Vérification : le périmètre vaut $2(5) + 2(5) = 20$ m.

Les zéros algébriques $w = 0$ et $w = 10$ correspondent à des cas limites d’aire nulle. Ces largeurs ne sont pas admissibles pour ce jardin. Le domaine physique compte, même si le polynôme peut être calculé à l’extérieur de ce domaine. Aucune dérivée n’est nécessaire : le terme au carré permet de justifier le maximum.

Quand une droite rencontre une parabole : résoudre le système, puis vérifier le segment

Ce parcours facultatif de 10 à 15 minutes relie les systèmes linéaires par substitution aux graphiques du second degré. Vous construirez deux règles à partir d’une figure, trouverez leurs points communs et déterminerez lesquels appartiennent aux objets décrits. Au besoin, revoyez la forme canonique et les équations du second degré ci-dessus. Si ce n’est pas votre sujet actuel, passez aux exercices autonomes sur les quadratiques.

Utilisez la méthode demandée dans votre cours. La progression québécoise situe les systèmes du premier et du second degré en quatrième secondaire SN, avec réinvestissement en cinquième, et leur résolution graphique en cinquième secondaire TS. En Ontario, MCR3U comprend les intersections droite–parabole par des méthodes graphiques et algébriques. Les calculs exacts ci-dessous sont une explication facultative lorsque votre cours demande des estimations graphiques; ils ne constituent pas une exigence pour toutes les séquences du secondaire. Consultez les références des programmes.

1. Traduire les données géométriques par deux règles

Une arche est modélisée par une parabole ayant pour extrémités $(0,0)$ et $(8,0)$, et pour point le plus haut $(4,8)$. Un segment droit relie $(0,2)$ à $(3,5)$. Où les modèles de leurs lignes centrales se rencontrent-ils? On néglige l’épaisseur et les forces : il s’agit d’un modèle géométrique.

Soit $x$ la position horizontale depuis l’extrémité gauche de l’arche et $y$ la hauteur au-dessus du sol, exprimées comme des valeurs numériques en mètres. On note $A(x)$ la hauteur de l’arche et $B(x)$ celle du segment à la position $x$. Ici, $A$ désigne une fonction de hauteur, et non l’aire du jardin de l’exemple précédent.

Le sommet donne $A(x)=a(x-4)^2+8$, où $a$ est un coefficient réel fixe non nul. Utilisez $A(0)=0$ à l’extrémité gauche pour le déterminer :

$$\begin{aligned} 0&=16a+8,\\ a&=-\frac12,\\ A(x)&=-\frac12(x-4)^2+8\\ &=-\frac12x^2+4x. \end{aligned}$$

Le domaine de l’arche est $0\leq x\leq8$. La pente du segment vaut $(5-2)/(3-0)=1$. Sa hauteur à $x=0$ est 2, donc

$$B(x)=x+2,\qquad0\leq x\leq3.$$

Ces domaines comprennent les extrémités. On peut prolonger les mêmes règles algébriques à tout $x$ réel, mais ces graphiques complets ne sont pas les objets limités décrits dans la question.

Démarche graphique : placez les extrémités et le sommet, tracez l’arche comme une courbe lisse et le segment comme un trait droit, puis lisez les coordonnées de chaque point commun. Un outil graphique peut préciser l’estimation près de $(0{,}76;2{,}76)$. Indiquez l’extrémité du segment ou restreignez son domaine; sinon, l’outil pourrait aussi donner un point sur le prolongement de la droite.

2. Les points communs ont la même hauteur à la même position

À une intersection, le même couple $(x,y)$ vérifie les deux règles. Posez $A(x)=B(x)$, plutôt que d’égaler l’une des hauteurs à zéro :

$$\begin{aligned} -\frac12x^2+4x&=x+2,\\ -\frac12x^2+3x-2&=0,\\ x^2-6x+4&=0,\\ (x-3)^2&=5,\\ x&=3\pm\sqrt5. \end{aligned}$$

À la troisième ligne, les deux membres ont été multipliés par $-2$; à la quatrième, compléter le carré donne $x^2-6x+9=5$. Les deux solutions repèrent des intersections avec la droite complète. Il reste à trouver les hauteurs et à vérifier les domaines.

3. Retrouver les deux coordonnées, puis vérifier les candidats

Utilisez $y=x+2$ pour retrouver chaque hauteur. Appelons $P$ le point dont l’abscisse $x$ est la plus petite, et $Q$ l’autre point :

$$\begin{aligned} P&=(3-\sqrt5,\,5-\sqrt5)\\ &\approx(0{,}764;\,2{,}764),\\ Q&=(3+\sqrt5,\,5+\sqrt5)\\ &\approx(5{,}236;\,7{,}236). \end{aligned}$$

Substituez chaque abscisse exacte dans les deux règles initiales en conservant le même choix de signe. Les deux hauteurs sont égales :

$$\begin{aligned} A(3\pm\sqrt5)&=5\pm\sqrt5,\\ B(3\pm\sqrt5)&=5\pm\sqrt5. \end{aligned}$$

Les deux candidats vérifient $0\leq x\leq8$ et se trouvent donc sur l’arche. Seul $P$ vérifie aussi $0\leq x\leq3$. Le segment donné et l’arche se rencontrent donc une fois, en $P$, à environ 0,764 m à droite de l’extrémité gauche et à 2,764 m au-dessus du sol. $Q$ est bien une intersection des graphiques complets, mais il est au-delà du segment. On arrondit après le calcul exact.

Deux erreurs fréquentes : résoudre $A(x)=0$ repère les contacts de l’arche avec le sol, et non avec le segment. Donner seulement les deux solutions omet les hauteurs et la vérification du domaine physique.

4. Pourquoi il peut y avoir deux, une ou aucune intersection

Soustraire la règle d’une droite non verticale de celle d’une fonction du second degré donne encore une expression du second degré. Égalez cette différence à zéro et utilisez son discriminant $\Delta$ : positif, il donne deux intersections distinctes des graphiques complets; nul, il donne une seule intersection, avec une solution double; négatif, il n’en donne aucune dans les réels. Utilisez les coefficients de cette équation de différence, et non ceux de l’équation de l’arche seule. Restreindre les domaines peut éliminer des candidats, mais ne peut pas ajouter d’intersections.

Pour l’équation de différence initiale ci-dessus, les coefficients sont 1, −6 et 4, ce qui donne $\Delta=20>0$. Il y a deux intersections des graphiques complets, mais un seul contact avec le segment donné.

Essayer trois nouveaux segments

Conservez la même arche et son domaine. Chaque question remplace le segment initial par un nouveau segment sur $0\leq x\leq3$, avec les deux extrémités incluses. Prévoyez d’abord le nombre de contacts à l’aide d’un croquis ou d’un outil graphique. Vérifiez ensuite par l’algèbre, donnez chaque couple complet et appliquez les deux domaines. Si votre cours privilégie la démarche graphique, donnez des coordonnées estimées et vérifiez le domaine; utilisez le calcul exact pour vérifier votre interprétation.

Pour ces trois nouveaux segments, les nombres de contacts physiques sont deux, un et zéro. Pour le segment initial, deux intersections des graphiques complets donnaient un seul contact physique. Gardez les équations, les couples de coordonnées et les domaines permis ensemble dans votre réponse finale.

Des zéros aux intervalles : résoudre une inéquation du second degré

Une équation demande quand deux expressions sont égales. Une inéquation demande toutes les valeurs d’entrée pour lesquelles l’une est supérieure ou inférieure à l’autre. Trouver les zéros est souvent la première étape, mais ces zéros seuls ne constituent généralement pas la réponse.

Cette section facultative suppose que vous savez trouver les zéros d’une fonction quadratique et lire une parabole. Revoyez les inéquations du premier degré et les bornes incluses si les symboles vous sont peu familiers. Elle soutient certaines attentes d’algèbre du secondaire au Québec, selon l’année et la séquence, ainsi que le cas quadratique des inéquations polynomiales du cours ontarien MHF4U. Il ne s’agit pas d’une exigence supplémentaire du cours MPM2D. Si les inéquations ne font pas partie de votre sujet actuel, passez aux exercices de base sur les fonctions quadratiques.

1. Répondre à une nouvelle question avec la même parabole

Plus haut dans cette leçon, nous avons utilisé $q(x)=x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$. Ici, $x$ est un nombre réel et $q(x)$ sa valeur de sortie; aucune unité physique n’est associée à ces nombres. Résolvons

$$q(x)\leq0.$$

L’équation $q(x)=0$ donne les valeurs frontières 1 et 5. L’inéquation demande où le graphique est sur l’axe horizontal ou en dessous. Examinons les trois intervalles délimités par les zéros :

• Si $x<1$, les facteurs $x-1$ et $x-5$ sont tous deux négatifs. Leur produit est positif. Par exemple, $q(0)=5$.
• Si $1<x<5$, le facteur $x-1$ est positif et le facteur $x-5$ est négatif. Leur produit est négatif. Par exemple, $q(3)=-4$.
• Si $x>5$, les deux facteurs sont positifs, donc leur produit est positif. Par exemple, $q(6)=5$.

À chaque zéro, le produit est nul. Puisque $\leq$ permet l’égalité, on inclut les deux zéros. La solution comprend tous les réels de 1 à 5 :

$$1\leq x\leq5,\qquad x\in[1,5].$$

Sur une droite numérique, placez des points pleins en 1 et en 5 et colorez le segment entre les deux. Sur la parabole, la portion correspondante est sur l’axe ou en dessous. La réponse décrit les valeurs d’entrée sur l’axe horizontal, pas un intervalle de valeurs de sortie.

Pourquoi utiliser des intervalles? Chaque facteur du premier degré conserve son signe tant que l’on ne franchit pas son propre zéro. Le produit garde donc un signe constant entre deux zéros distincts consécutifs. Une valeur test vérifie ce signe; elle n’est pas la seule valeur qui convient.

Changez un seul symbole : résolvez $q(x)<0$, puis $q(x)>0$.

2. Une démarche à réutiliser

1. Comparer à zéro. Soustrayez la même expression des deux côtés. Pour résoudre $f(x)\geq g(x)$, étudiez $f(x)-g(x)\geq0$.
2. Trouver les zéros réels de cette différence. Utilisez la factorisation, la complétion du carré ou la formule quadratique de la section précédente. Gardez les valeurs exactes lorsque c’est possible.
3. Déterminer les signes entre les zéros. Utilisez les facteurs ou la position de la parabole par rapport à l’axe. Conservez le coefficient dominant : un multiplicateur négatif inverse le signe du produit.
4. Choisir les intervalles et traiter les zéros. Incluez un zéro pour $\leq$ ou $\geq$, et excluez-le pour $<$ ou $>$. Pour une fonction quadratique, le signe ne change pas à un zéro double.
5. Appliquer le domaine indiqué et vérifier l’inéquation initiale. Testez une valeur admise et une valeur rejetée lorsque de telles valeurs existent, et vérifiez toute borne finie. En contexte, certaines solutions algébriques peuvent ne pas correspondre à une situation possible.

Ne divisez pas une inéquation par une expression contenant $x$ sans distinguer les cas où cette expression est positive, négative ou nulle. Vous pourriez changer incorrectement le sens de l’inégalité ou perdre des solutions. Factoriser puis étudier les signes évite ce problème.

3. Conserver un coefficient dominant négatif

Exemple résolu : trouvez les réels $x$ qui vérifient $-2x^2+8x-6\geq0$.

$$-2x^2+8x-6=-2(x-1)(x-3).$$

Les zéros sont 1 et 3. À l’extérieur de ces zéros, les deux facteurs du premier degré ont le même signe : leur produit est positif, puis la multiplication par $-2$ rend l’expression complète négative. Entre les zéros, les facteurs ont des signes contraires : leur produit est négatif, puis la multiplication par $-2$ rend l’expression complète positive.

On cherche une valeur positive ou nulle, d’où $1\leq x\leq3$. La parabole ouverte vers le bas est sur l’axe ou au-dessus sur cet intervalle. Vérifions l’expression initiale : pour $x=2$, $-8+16-6=2\geq0$; pour $x=0$, la valeur est $-6$, qui ne convient pas; pour 1 et 3, la valeur est nulle, donc les deux bornes conviennent.

Une démarche équivalente consiste à diviser les deux côtés par $-2$ et à inverser le sens de l’inégalité :

$$(x-1)(x-3)\leq0.$$

On peut diviser par cette constante connue négative à condition d’inverser le sens. Ne remplacez pas l’inéquation par une équation pour vous arrêter aux deux zéros : $x=2$ est également une solution.

4. Un zéro double, ou aucun zéro, change la décision

Un carré n’est jamais négatif. Utilisez cette propriété au lieu de supposer que le signe alterne à chaque zéro.

Pour $p(x)=(x-2)^2$, le seul zéro est 2. La valeur est positive de chaque côté de 2, et nulle en 2. Ainsi :

• $p(x)\leq0$ a une seule solution, $x=2$.
• $p(x)<0$ n’a aucune solution réelle.
• $p(x)\geq0$ est vraie pour tout réel $x$.
• $p(x)>0$ est vraie pour tout réel $x$ sauf 2.

Considérons maintenant $r(x)=(x-2)^2+3$. Cette fonction n’a aucun zéro réel puisque $r(x)\geq3$. Pourtant, $r(x)>0$ est vraie pour toute entrée réelle, tandis que $r(x)\leq0$ n’a aucune solution. « Aucun zéro » répond à la question de l’équation; c’est encore l’inéquation demandée qui détermine si toutes les entrées conviennent ou si aucune ne convient.

5. Revenir au jardin : atteindre une aire cible

Le jardin présenté plus haut possède 20 m de clôture autour de ses quatre côtés. Sa largeur vaut $w$ mètres, sa longueur $10-w$ mètres, et la valeur numérique de son aire en mètres carrés est $A(w)=w(10-w)$. Le domaine physique est $0<w<10$. Quelles largeurs donnent une aire d’au moins 21 m²?

$$\begin{aligned}w(10-w)&\geq21\\-w^2+10w-21&\geq0\\-(w-3)(w-7)&\geq0.\end{aligned}$$

Les largeurs frontières sont 3 m et 7 m. L’expression est positive ou nulle entre elles, bornes incluses, donc $3\leq w\leq7$. Chaque largeur de cet intervalle appartient déjà au domaine physique. Pour $w=3$ ou 7, l’aire vaut exactement 21 m²; pour $w=5$, elle vaut 25 m²; pour $w=2$, elle vaut seulement 16 m². Ces calculs vérifient les bornes, une valeur intérieure et une valeur rejetée.

La question demande toutes les largeurs qui atteignent la cible. La largeur de 5 m qui maximise l’aire est un choix valable, mais elle ne constitue pas toute la réponse.

S’exercer, du choix des signes à un nouveau modèle

Travaillez avec les nombres réels, sauf si l’énoncé impose un domaine plus restreint. Pour chaque réponse par intervalles, expliquez un signe et vérifiez si les bornes finies sont incluses. Essayez la question avant d’ouvrir l’indice ou la réponse.

1. Partir des facteurs

Résolvez $(x+2)(x-4)>0$.

2. Changer le signe dominant

Résolvez $-x^2+2x+8\geq0$.

3. Ramener la comparaison à zéro avant de chercher les bornes

Résolvez $x^2-4x\leq5$.

4. Ne pas imposer un changement de signe

Résolvez $2(x-3)^2\leq0$. Comment la réponse change-t-elle si l’on remplace $\leq$ par $<$ ou par $>$?

5. Aucun zéro réel ne suffit pas pour conclure

Résolvez $-(x+1)^2-2\geq0$, puis $-(x+1)^2-2<0$.

6. Garder des bornes exactes quand la factorisation est moins simple

Résolvez $2x^2-4x+1\geq0$. Utilisez le travail précédent sur la formule quadratique.

7. Transférer la démarche à un autre rectangle

Un rectangle a un périmètre de 24 cm. Quelles largeurs donnent une aire supérieure à 32 cm²? Indiquez le domaine physique et expliquez si les largeurs frontières sont incluses.

8. Repérer une division non justifiée

Un élève résout $x(x-3)>0$ en divisant les deux côtés par $x$, puis écrit $x>3$. Que manque-t-il? Donnez la solution complète.

Vérifiez votre démarche : pouvez-vous expliquer pourquoi un intervalle entier convient, pourquoi chaque borne est incluse ou exclue, et comment le domaine modifie la réponse? Si vous avez eu du mal à trouver les bornes, revenez à la complétion du carré et à la formule quadratique. Si les bornes étaient correctes mais l’intervalle incorrect, reprenez la question 1 en changeant seulement le symbole de l’inégalité.

6. Exercices autonomes

Essayez chaque question avant d’ouvrir sa solution.

Choisir la suite

Si le développement était difficile, revoyez les parenthèses et la factorisation. Si vos calculs étaient justes, mais pas le graphique, identifiez le sommet et les intersections avec les deux axes avant de tracer. Si le modèle du jardin posait problème, nommez les deux dimensions et écrivez l’équation du périmètre avant la formule d’aire.

Revoir l’algèbre de base et les équations

Pour poursuivre avec un tuteur

Demandez à un tuteur de détailler avec vous les calculs entre parenthèses et les changements de signe, de relier la forme canonique au graphique, puis de vous guider dans une question semblable. Indiquez votre niveau ou code de cours et le sujet que vous souhaitez travailler. Nous pourrons confirmer si le sujet convient et vérifier les disponibilités avant la réservation. Les séances de tutorat se déroulent actuellement en anglais.

Découvrir le tutorat en algèbre

Références et portée

Cette leçon couvre certains objectifs sur les relations du second degré, pas un cours complet. Les exigences québécoises varient selon l’année et la séquence.

• Ontario MPM2D, 2005, pp. 47–48
• Ontario MPM2D — glossaire en anglais
• Québec — progression des apprentissages
• Ontario MCR3U et MCF3M : programme de 11e et 12e année, 2007, en anglais