Intégrales curvilignes : suivre le trajet et son orientation

Nablio · 18 minPublié le 2 octobre 2026

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Pour les notions du cours et l’aide individuelle, consultez le tutorat ENGR 233 à Concordia.

Comment un champ vectoriel contribue-t-il lorsque l’on parcourt une courbe? Une intégrale curviligne d’un champ vectoriel additionne sa contribution signée à chaque petit déplacement. Nous allons construire ce calcul à partir d’une trajectoire, puis voir ce qui change lorsque l’on modifie son paramètre, son orientation ou son chemin.

Avant de commencer, assurez-vous de savoir dériver des coordonnées, calculer un produit scalaire et évaluer une intégrale définie. Revoyez les gradients et dérivées directionnelles au besoin. Dans cette leçon, les coordonnées, les paramètres et les composantes des champs sont des nombres réels sans dimension; aucune force ni unité physique n’est supposée.

1. Décrire le trajet et son orientation

On part de $A=(0,0)$ pour arriver en $B=(1,2)$ . La paramétrisation $\mathbf r(t)=(t,2t)$ , pour $0\leq t\leq1$ , associe une position à chaque valeur de $t$ . Le paramètre sert à repérer les positions successives sur le trajet; il ne représente pas nécessairement le temps.

Les deux coordonnées sont $x(t)=t$ et $y(t)=2t$ . À $t=0$ , on est en $A$ ; à $t=1/2$ , en $(1/2,1)$ ; à $t=1$ , en $B$ . Lorsque $t$ augmente, on parcourt donc une fois le segment de $A$ vers $B$ . Ce choix du sens de parcours est l’orientation de la courbe.

Le symbole prime indique une dérivation par rapport au paramètre. En dérivant les deux coordonnées, on obtient

$\mathbf r^{\prime}(t)=(1,2).$

Ce vecteur décrit la variation de position par unité de variation de $t$ . Pour un petit accroissement $\Delta t$ , le déplacement est approximativement $\mathbf r^{\prime}(t)\Delta t$ ; ici, l’égalité est exacte puisque la formule du trajet est linéaire. Sa direction et sa norme seront toutes deux utiles.

Des axes de même échelle montrent A en (0,0), B en (1,2), un trajet direct de A à B et un autre passant par D en (1,0). Des flèches orientent les deux trajets vers B. — Le tracé en trait plein suit $\mathbf r(t)$ . Le tracé en tirets va d’abord à droite jusqu’à $D=(1,0)$ , puis monte vers $B$ . Les axes ont la même échelle. Des extrémités communes ne garantissent pas à elles seules l’égalité des intégrales curvilignes.

2. Construire l’intégrale curviligne

Considérons le champ vectoriel $\mathbf F(x,y)=(2x,y)$ , défini sur tout le plan $\mathbb R^2$ . Un champ vectoriel associe un vecteur à chaque point. Commençons par l’évaluer aux points du trajet :

$\mathbf F(\mathbf r(t))=(2t,2t).$

Pour un petit déplacement $\Delta\mathbf r$ , le produit scalaire $\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r$ mesure la contribution du champ dans la direction du déplacement. Une composante dans le sens du déplacement contribue positivement; une composante de sens opposé, négativement; une composante perpendiculaire a une contribution nulle. On additionne ces contributions locales, puis on passe à la limite pour obtenir l’intégrale.

Des vecteurs à une intégrale à une variable

Notons $C$ le segment orienté de $A$ vers $B$ . La notation $d\mathbf r$ représente un déplacement infinitésimal le long de ce segment. En utilisant $d\mathbf r=\mathbf r^{\prime}(t)\,dt$ , on obtient

$\begin{aligned} &\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r\\ &=\int_0^1\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r^{\prime}(t)\,dt\\ &=\int_0^1(2t,2t)\cdot(1,2)\,dt\\ &=\int_0^1 6t\,dt=3. \end{aligned}$

Le produit scalaire multiplie les composantes correspondantes et les additionne : $(2t)(1)+(2t)(2)=6t$ . L’intégrale définie cumule ensuite cette contribution sur tout l’intervalle du paramètre. Le résultat est un scalaire signé, même si les valeurs du champ sont des vecteurs.

Gardez la norme du vecteur dérivé. Remplacer $\mathbf r^{\prime}(t)$ par un vecteur unitaire tout en gardant $dt$ ferait perdre l’échelle du déplacement. Si vous choisissez plutôt la longueur d’arc comme variable d’intégration, le facteur de vitesse doit apparaître dans $ds=\lVert\mathbf r^{\prime}(t)\rVert\,dt$ .

Ces calculs supposent un champ continu le long d’un trajet lisse par morceaux : un nombre fini de morceaux dérivables à dérivées continues. À un coin, calculez chaque morceau séparément, puis additionnez les résultats. Notre champ est continu partout et les deux trajets illustrés satisfont ces conditions.

3. Vérifier un potentiel avant de changer de chemin

Un potentiel de $\mathbf F$ est une fonction scalaire $\phi$ dont le gradient est égal au champ. Ici, essayons $\phi(x,y)=x^2+y^2/2$ . Ses dérivées partielles sont $\phi_x=2x$ et $\phi_y=y$ , donc $\nabla\phi=(2x,y)=\mathbf F$ partout dans le plan.

La règle de la chaîne explique pourquoi les extrémités suffisent alors :

$\frac{d}{dt}\phi(\mathbf r(t))=\nabla\phi(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r^{\prime}(t).$

L’intégrale d’une dérivée donne la variation de la fonction. Ce potentiel étant continûment dérivable sur tout le plan, n’importe quel trajet lisse par morceaux de $A$ vers $B$ donne

$\begin{aligned}\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r &=\phi(B)-\phi(A)\\ &=\left(1^2+\frac{2^2}{2}\right)-0=3.\end{aligned}$

Ce champ est conservatif : l’intégrale dépend des extrémités plutôt que du chemin emprunté. Nous avons établi cette propriété en vérifiant un potentiel, et non en comparant seulement deux trajets.

Vérifier directement le trajet en deux morceaux

Utilisons un nouveau paramètre $u$ sur chaque morceau, avec $0\leq u\leq1$ . De $A$ à $D$ , prenons $\mathbf r_1(u)=(u,0)$ . Alors $\mathbf F(\mathbf r_1(u))\cdot\mathbf r_1^{\prime}(u)=(2u,0)\cdot(1,0)=2u$ , et ce morceau contribue $1$ .

De $D$ à $B$ , prenons $\mathbf r_2(u)=(1,2u)$ . Cette fois, $\mathbf F(\mathbf r_2(u))\cdot\mathbf r_2^{\prime}(u)=(2,2u)\cdot(0,2)=4u$ , et ce morceau contribue $2$ . Le total est $1+2=3$ , comme dans le calcul avec le potentiel.

Inverser le sens change le signe. En allant de $B$ vers $A$ , on obtient $\phi(A)-\phi(B)=-3$ . L’indépendance du chemin conserve les extrémités dans le même ordre; elle ne supprime pas l’orientation.

Vérifier le domaine fait partie de la méthode. Pour un champ plan $(P,Q)$ dont les dérivées partielles premières sont continues, le critère $P_y=Q_x$ garantit un potentiel sur un domaine ouvert et simplement connexe, où toute boucle fermée peut être rétrécie continûment en un point sans sortir du domaine. L’égalité seule ne suffit pas si ces conditions sur le domaine manquent. Vérifier un potentiel explicite sur tout le domaine utilisé par les trajets, comme ci-dessus, évite cette lacune.

4. Essayez trois variantes

Essayez chaque question avant d’ouvrir sa réponse. Vérifiez d’abord l’intervalle du paramètre et le sens de parcours, puis choisissez le calcul.

Guidé : même trajet, nouveau paramètre

Gardez $\mathbf F(x,y)=(2x,y)$ , mais décrivez le même segment par $\mathbf q(s)=(s/2,s)$ , pour $0\leq s\leq2$ . Ici, $s$ est un paramètre, pas la longueur d’arc. Vérifiez les extrémités, trouvez $\mathbf q^{\prime}(s)$ et calculez directement l’intégrale curviligne du champ. Doit-elle encore valoir $3$ ?

Voir la réponse et le raisonnement

Vérifier le même trajet orienté
On a $\mathbf q(0)=A$ , $\mathbf q(2)=B$ et $y=2x$ ; le trajet et l’orientation sont donc les mêmes. La dérivée est $\mathbf q^{\prime}(s)=(1/2,1)$ .
Garder ensemble la nouvelle dérivée et les bornes
Le champ le long du trajet vaut $\mathbf F(\mathbf q(s))=(s,s)$ . Ainsi,
$\begin{aligned} &\int_0^2(s,s)\cdot(1/2,1)\,ds\\ &=\int_0^2\frac{3s}{2}\,ds\\ &=3. \end{aligned}$
La norme plus faible de la dérivée est compensée par l’intervalle de paramètre plus long. Un changement de paramètre continûment dérivable, bijectif et conservant l’orientation ne modifie pas l’intégrale curviligne du champ.

Diagnostic : parcourir le trajet en sens inverse

Un étudiant revient de $B$ vers $A$ avec $\mathbf p(t)=(1-t,2-2t)$ , pour $0\leq t\leq1$ , et écrit $\mathbf p^{\prime}(t)=(1,2)$ . Repérez l’erreur et calculez l’intégrale de $\mathbf F$ sur ce trajet inversé. Vérifiez avec le potentiel.

Voir la réponse et le raisonnement

Dériver le trajet réellement donné
Les deux coordonnées diminuent avec $t$ , donc $\mathbf p^{\prime}(t)=(-1,-2)$ . Réutiliser $(1,2)$ conserverait l’ancien sens. Le champ sur ce trajet inversé est $(2-2t,2-2t)$ .
Vérifier le signe de deux façons
$\begin{aligned} &\int_0^1\begin{pmatrix}2-2t\\2-2t\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}\,dt\\ &=\int_0^1(-6+6t)\,dt\\ &=-3. \end{aligned}$
Le potentiel donne $\phi(A)-\phi(B)=0-3=-3$ . Parcourir le même segment géométrique dans l’autre sens inverse le signe de cette intégrale curviligne du champ.

Autonome : deux chemins donnent-ils toujours le même résultat?

Remplacez le champ par $\mathbf G(x,y)=(-y,x)$ , défini sur $\mathbb R^2$ , et utilisez les nouvelles extrémités $O=(0,0)$ et $E=(1,1)$ . Comparez le trajet direct $\mathbf a(t)=(t,t)$ , $0\leq t\leq1$ , au trajet qui va à droite jusqu’à $D=(1,0)$ , puis monte vers $E$ . Paramétrez les deux morceaux du second trajet et calculez les deux intégrales. Que montrent leurs valeurs?

Des axes de même échelle montrent O en (0,0), E en (1,1), un trajet direct de O à E et un trajet allant à droite par D en (1,0), puis vers le haut jusqu’à E. Des flèches indiquent le même départ et la même arrivée. — Gardez les mêmes extrémités et la même orientation pour comparer les chemins. Le champ est maintenant $\mathbf G=(-y,x)$ ; on ne peut pas réutiliser le potentiel trouvé pour $\mathbf F$ .

Voir la réponse et le raisonnement

Calculer sur le trajet direct
On a $\mathbf a^{\prime}(t)=(1,1)$ et $\mathbf G(\mathbf a(t))=(-t,t)$ . Leur produit scalaire vaut $-t+t=0$ ; le trajet direct donne donc $0$ . Le champ est perpendiculaire au déplacement sur ce trajet.
Additionner les deux autres morceaux
Sur chaque morceau, prenons $0\leq u\leq1$ . Sur $\mathbf b(u)=(u,0)$ , le produit scalaire est $(0,u)\cdot(1,0)=0$ , ce qui donne $0$ . Sur $\mathbf c(u)=(1,u)$ , il vaut $(-u,1)\cdot(0,1)=1$ , ce qui donne $1$ . Le total du trajet en deux morceaux vaut $1$ .
Préciser ce que la comparaison démontre
Les mêmes extrémités, dans le même ordre, donnent des valeurs différentes : $0$ et $1$ . L’intégrale de ce champ dépend donc du chemin. Le champ ne peut pas avoir de potentiel sur tout le plan. Le critère des dérivées partielles le confirme : pour $P=-y$ et $Q=x$ , on a $P_y=-1\ne1=Q_x$ . Une paire de chemins donnant le même résultat ne prouverait pas l’indépendance; une paire donnant des résultats différents la réfute.

Appliquer la méthode au prochain problème

Marquez le départ et l’arrivée, choisissez l’intervalle du paramètre et vérifiez l’orientation.
Évaluez le champ sur le trajet et dérivez le trajet par rapport au même paramètre.
Calculez le produit scalaire avant d’intégrer. Séparez le trajet aux coins.
Si vous utilisez un potentiel, vérifiez son gradient et son domaine; soustrayez la valeur au départ de celle à l’arrivée.

Pour revoir le gradient, consultez la leçon sur le gradient et les dérivées directionnelles. Pour situer cette notion dans l’ensemble du cours, utilisez le guide d’ENGR 233 à Concordia.

Contexte du cours et lectures complémentaires

Cette leçon originale de Nablio accompagne la partie d’ENGR 233 sur les intégrales curvilignes. Elle ne couvre pas les intégrales de surface ni les théorèmes de Green, de Stokes et de la divergence, ne reproduit pas d’examen officiel et ne prédit pas les questions évaluées.

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Guidé : même trajet, nouveau paramètre

Vérifier le même trajet orienté

Garder ensemble la nouvelle dérivée et les bornes

Diagnostic : parcourir le trajet en sens inverse

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