Isoler une variable dans une formule sans perdre les conditions
Une formule décrit une relation. La réorganiser permet d’isoler la quantité choisie sans modifier cette relation sur son domaine de validité. Les autres lettres représentent des quantités tenues fixes pour ce calcul; une lettre n’est pas automatiquement l’inconnue. Cet atelier original fait le lien entre l’algèbre du secondaire et les formules utilisées en géométrie et dans les cours d’initiation aux sciences. Il s’agit d’exercices de pratique, pas d’une évaluation officielle.
Cet atelier prolonge les premiers exemples pour isoler une variable en ajoutant les variables répétées, les coefficients nuls et les restrictions physiques. Revoyez les restrictions des dénominateurs au besoin. Travaillez d’abord avec les lettres, puis remplacez-les par des nombres dans des unités cohérentes. Les deux exemples montrent la méthode; les six exercices retirent progressivement les indications.
Une méthode, avec une vérification avant chaque division
- Nommez la quantité à isoler et notez les restrictions de la formule initiale.
- Annulez les additions et les soustractions autour de la variable visée. Éliminez les fractions en multipliant tous les termes des deux membres par un dénominateur commun permis.
- Si la variable apparaît dans plusieurs termes, regroupez ces termes et mettez-la en évidence.
- Divisez seulement après avoir vérifié que le diviseur complet est non nul. S’il peut être nul, revenez à l’équation avant la division et examinez ce cas.
- Remplacez la variable isolée dans la relation initiale. Vérifiez les unités et, séparément, les conditions de longueur ou de temps positif.
Pourquoi mettre en évidence? À partir de px + q = rx + s, soustrayez rx et q pour obtenir (p − r)x = s − q. Pour p ≠ r, cela donne x = (s − q)/(p − r). Si p = r, l’équation se réduit plutôt à q = s : tout réel x convient si cette égalité est vraie, et aucun ne convient si elle est fausse. Diviser par p − r ferait disparaître ces cas.
Exemple résolu 1 : retrouver la seconde base d’un trapèze
Un trapèze possède des bases parallèles de longueurs positives a,b, une hauteur perpendiculaire h > 0 et une aire A. Sa formule est A = (a + b)h/2. Isolez b, puis calculez sa valeur lorsque A = 54 cm², a = 5 cm et h = 6 cm.
Multipliez les deux membres par 2, divisez par la hauteur non nulle, puis soustrayez la longueur de la première base :
On obtient b = 2(54)/6 − 5 = 13 cm. La substitution dans la formule initiale donne (5 + 13)(6)/2 = 54 cm². De plus, une aire divisée par une hauteur a les unités d’une longueur : la soustraction est donc cohérente.
Vérifiez le modèle : une seconde base positive exige 2A > ah. Si le calcul donne zéro ou une valeur négative, les mesures fournies ne décrivent pas un trapèze dont les deux bases sont positives. La réorganisation algébrique ne supprime pas cette condition géométrique.
À éviter : (2A − a)/h n’est pas la même formule. Soustrayez a seulement après avoir divisé 2A par h. Pour écrire une seule fraction, le bon numérateur est 2A − ah.
Exemple résolu 2 : isoler l’accélération, puis examiner un temps nul
Pour un mouvement rectiligne à accélération constante, le déplacement s, la vitesse initiale u, le temps écoulé t et l’accélération a vérifient s = ut + at²/2. Ici, s,u,a sont des grandeurs algébriques dont le signe dépend de l’axe choisi. Isolez a.
Si s = 42 m, u = 3 m/s et t = 4 s, alors a = 2(42 − 12)/16 = 3,75 m/s². L’équation initiale confirme le résultat : 3(4) + 3,75(4²)/2 = 12 + 30 = 42 m. Les grandeurs s et ut sont des longueurs; diviser leur différence par un temps au carré donne les unités d’une accélération.
Et si t = 0? N’utilisez pas la formule obtenue par division. L’équation initiale devient s = 0. Si s = 0, toute accélération réelle satisfait cette seule équation : elle ne permet donc pas de la déterminer. Si s ≠ 0, aucune accélération ne peut la satisfaire. Dans une application avec un temps écoulé, un temps non nul est positif; la condition algébrique seule est simplement t ≠ 0.
Six exercices : isoler, vérifier, puis interpréter
Écrivez la restriction à côté de chaque formule réorganisée. Ouvrez un indice si vous avez besoin d’une première étape, puis comparez votre raisonnement au corrigé complet.
1. Une largeur manquante
Un rectangle a pour périmètre P = 2L + 2W, avec une longueur L et une largeur W positives. Isolez W. Calculez-la pour P = 46 cm, L = 15 cm, et précisez la condition pour obtenir une largeur positive.
Indice 1
Soustrayez les deux contributions de la longueur avant de diviser par 2.
Corrigé expliqué 1
Soustraire 2L donne 2W = P − 2L, donc W = (P − 2L)/2 = P/2 − L. Ici, W = 23 − 15 = 8 cm; la vérification donne 2(15) + 2(8) = 46 cm. La division par 2 n’impose aucune restriction sur une variable. Pour le modèle géométrique, W > 0 exige P > 2L, en plus de L > 0.
2. Inverser une formule affine
Les valeurs numériques des températures C en degrés Celsius et F en degrés Fahrenheit vérifient C = 5(F − 32)/9. Isolez F, calculez-la lorsque C = 20, puis expliquez pourquoi 9C/5 − 32 est incorrect.
Indice 2
Annulez d’abord la multiplication par 5/9. Annulez ensuite la soustraction de 32.
Corrigé expliqué 2
Multipliez par 9/5 pour obtenir 9C/5 = F − 32, puis ajoutez 32 : F = 9C/5 + 32. Pour C = 20, F = 68; la vérification est 5(68 − 32)/9 = 20. Soustraire de nouveau 32 n’annule pas la soustraction initiale. Aucun dénominateur variable ni aucune racine carrée n’introduit de restriction dans cette conversion algébrique.
3. Choisir une racine qui convient à un rayon
Un cylindre a pour volume V = π r²h, avec V > 0, h > 0 et un rayon r > 0. Isolez r. Utilisez V = 200π cm³ et h = 8 cm. Expliquez ce que devient la racine négative.
Indice 3
Divisez par π h avant de prendre les racines carrées. Distinguez les racines d’une équation réelle des valeurs géométriques permises.
Corrigé expliqué 3
Puisque h > 0, la division est permise : r² = V/(π h). Sans restriction géométrique, l’équation réelle a les deux racines , mais un rayon positif impose . Ici, , et π(5)²(8) = 200π cm³. Le radicande a les unités d’une aire, et sa racine carrée positive celles d’une longueur.
4. La variable apparaît deux fois
Soit y = (3x + 2)/(x − 1), avec x ≠ 1 réel. Isolez x en fonction de y. Déterminez si y = 3 est possible et trouvez x lorsque y = − 2.
Indice 4
Multipliez par x − 1, regroupez les deux termes contenant x, puis mettez x en évidence. Conservez la valeur initialement exclue.
Corrigé expliqué 4
La restriction initiale permet d’écrire y(x − 1) = 3x + 2. Ainsi, yx − 3x = y + 2, soit (y − 3)x = y + 2. Pour y ≠ 3,
La valeur obtenue respecte donc la restriction initiale. Si y = 3, l’équation avant la division serait 0x = 5, ce qui est impossible. Lorsque y = − 2, x = 0; la substitution donne (3(0) + 2)/(0 − 1) = − 2. La valeur manquante 3 concerne la sortie, tandis que la valeur initialement exclue 1 concerne l’entrée.
5. Interpréter un coefficient nul
Ici, a est un paramètre réel fixé. Résolvez ax + 6 = 2x + 14 pour toutes les valeurs de a. Recommencez ensuite avec ax + 6 = 2x + 6. Expliquez pourquoi le cas a = 2 produit des résultats différents.
Indice 5
Regroupez les termes en x sous la forme (a − 2)x. Examinez l’égalité restante pour a = 2 avant de diviser.
Corrigé expliqué 5
La première équation donne (a − 2)x = 8. Si a ≠ 2, son unique solution est x = 8/(a − 2). Si a = 2, elle donne 0 = 8 : il n’y a aucune solution. La seconde donne (a − 2)x = 0. Pour a ≠ 2, son unique solution est x = 0. Pour a = 2, elle donne 0 = 0 : tout réel x est solution. Un coefficient nul exige de revenir à l’équation; il ne signifie pas automatiquement que la réponse vaut zéro.
6. Transférer la méthode à un cylindre
Un cylindre fermé avec r > 0 et h > 0 a pour aire totale S = 2π r² + 2π rh. Isolez h, précisez quelles valeurs de S donnent une hauteur positive pour un rayon fixé, puis calculez h lorsque r = 3 cm et S = 66π cm². Une personne propose h = S/(2π r) − r². Expliquez l’erreur.
Indice 6
Retirez les deux bases circulaires avant de diviser par la circonférence. Pour séparer une fraction, divisez chaque terme du numérateur par le dénominateur complet.
Corrigé expliqué 6
Une hauteur positive exige S > 2π r². Avec les valeurs fournies, h = (66π − 18π)/(6π) = 8 cm. La vérification donne 2π(3)² + 2π(3)(8) = 18π + 48π = 66π cm². L’erreur vient de la simplification manquée : 2π r²/(2π r) = r. La formule proposée soustrait aussi une aire d’une longueur, ce qui révèle l’erreur sans substitution numérique.
Recommencez sans notes : nommez la variable visée, repérez une division interdite et vérifiez le résultat dans la formule initiale. Pour approfondir l’interprétation géométrique, poursuivez avec l’aire totale et les développements. Pour travailler davantage les dénominateurs variables, revenez aux équations rationnelles. Utilisez votre propre plan de cours pour choisir le niveau approprié.
Utile pour
Travaillez l’étape qui vous manque.
Indiquez simplement la matière et votre disponibilité. Nablio confirme les détails par texto ou courriel.
Demander une séance