Longueur d’arc : mesurer tout le parcours

1. Additionner des distances, pas des déplacements

La longueur d’un trajet n’est généralement pas la distance en ligne droite entre ses extrémités. Pour mesurer un trajet courbe, on relie des points voisins par de petits segments et on additionne leurs longueurs. Lorsque la subdivision s’affine, ces sommes tendent vers la longueur du parcours.

Écrivons une courbe continûment dérivable sous la forme $\mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ , pour $a\le t\le b$ , avec $a<b$ . Pour un petit accroissement positif $\Delta t>0$ , la variation de position est approximativement le vecteur $\mathbf r'(t)\Delta t$ . Sa longueur vaut environ $\|\mathbf r'(t)\|\Delta t$ . On obtient

L=\int_a^b\|\mathbf r'(t)\|\,dt=\int_a^b\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}\,dt.

Pour une courbe plane, omettez la troisième coordonnée. La formule s’applique aussi à une courbe continue formée d’un nombre fini de morceaux continûment dérivables : calculez chaque longueur, puis additionnez. Des points isolés où la dérivée s’annule n’invalident pas cette formule.

Si $t$ est le temps, la dérivée est le vecteur vitesse et sa norme est la grandeur de la vitesse. Si $t$ n’est qu’un paramètre, cette norme mesure la distance par unité du paramètre. Avec des coordonnées en mètres et un temps en secondes, intégrer une vitesse en m/s donne des mètres. Utilisez la même unité et la même échelle de longueur sur tous les axes.

L’ordre des opérations compte

Dérivez chaque coordonnée, élevez les dérivées au carré, additionnez, puis prenez la racine carrée. Intégrez cette quantité positive ou nulle. En revanche, $\int_a^b\mathbf r'(t)\,dt=\mathbf r(b)-\mathbf r(a)$ est un vecteur déplacement; prendre sa norme ensuite donne généralement seulement la distance entre les extrémités.

2. Un graphique est aussi une courbe paramétrée

Pour $y=f(x)$ , posez $\mathbf r(x)=(x,f(x))$ . La dérivée de la première coordonnée vaut 1; la formule devient donc

L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx.

Ce n’est ni la formule d’aire algébrique $\int_a^b f(x)\,dx$ , ni la variation verticale totale $\int_a^b|f'(x)|\,dx$ . Les mouvements horizontal et vertical contribuent tous deux à la longueur.

Exemple résolu 1 : une intégrale qui se calcule simplement

Trouvez la longueur de $y=\tfrac23x^{3/2}$ sur $0\le x\le3$ .

Dérivez : $f'(x)=\sqrt{x}$ , une fonction continue sur cet intervalle.
Construisez l’intégrande de longueur : $\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+x}$ .
Intégrez et utilisez les deux bornes :

L=\left[\frac23(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\frac23(8-1)=\frac{14}{3}.

La distance entre les extrémités vaut $\sqrt{3^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{21}$ , soit environ 4,58, tandis que la longueur de la courbe vaut environ 4,67. Le trajet courbe est plus long : c’est une vérification utile. Toutes ces valeurs utilisent l’unité de longueur des coordonnées. Un résultat de $2\sqrt3$ mesurerait uniquement la variation verticale.

Si la courbe s’écrit plus naturellement $x=g(y)$ , échangez les rôles des variables : intégrez $\sqrt{1+[g'(y)]^2}$ par rapport à $y$ , avec ses bornes croissantes. Ne mélangez pas une dérivée par rapport à une variable et les bornes d’une autre.

3. Une courbe dans l’espace

Exemple résolu 2 : un demi-tour d’hélice

Soit $\mathbf r(t)=(3\cos t,3\sin t,4t)$ , pour $0\le t\le\pi$ , avec les angles en radians. Trouvez la longueur et comparez-la à la distance entre les extrémités.

\mathbf r'(t)=(-3\sin t,3\cos t,4),\qquad \|\mathbf r'(t)\|=\sqrt{9\sin^2t+9\cos^2t+16}=5.

Le mouvement circulaire dans les deux premières coordonnées et le mouvement vertical se produisent simultanément. Leurs vitesses se combinent par le théorème de Pythagore, pas par une simple addition.

L=\int_0^\pi5\,dt=5\pi.

Les extrémités sont $(3,0,0)$ et $(-3,0,4\pi)$ . Leur distance vaut $\sqrt{36+16\pi^2}$ , soit environ 13,93, moins que la longueur $5\pi$ , environ 15,71. La projection plane est un demi-cercle de longueur $3\pi$ , mais elle omet le mouvement vertical. Employer la circonférence $6\pi$ compterait aussi un tour complet plutôt que le demi-tour demandé.

Une vitesse de grandeur constante simplifie l’intégrale, mais c’est une conclusion à vérifier à partir des dérivées, pas une hypothèse valable pour toute courbe.

4. Changer de paramètre ou repasser au même endroit

Un changement de paramètre peut modifier la vitesse sans modifier le trajet. Si $\mathbf q(u)=\mathbf r(\phi(u))$ , la règle de la chaîne donne $\|\mathbf q'(u)\|=\|\mathbf r'(\phi(u))\|\,|\phi'(u)|$ . Pour un changement continûment dérivable et strictement monotone qui parcourt une seule fois l’intervalle initial, la longueur reste inchangée. Un changement décroissant inverse le sens du parcours, pas le signe de la longueur. La valeur absolue est essentielle.

Un intervalle de paramètre peut toutefois faire parcourir plusieurs fois une même portion de courbe. L’intégrale de la grandeur de la vitesse compte alors chaque passage. Elle n’est pas nécessairement égale à la longueur de l’image géométrique, où les portions répétées ne sont comptées qu’une fois.

Exemple résolu 3 : un segment, deux sens

Soit $\mathbf r(t)=(t^2,0)$ , pour $-1\le t\le2$ . Le mouvement part de la coordonnée 1, va vers la gauche jusqu’à 0, puis vers la droite jusqu’à 4.

Deux étapes sur un même axe : de 1 à 0, puis de 0 à 4. Le segment de 0 à 1 est parcouru deux fois. — Les deux rangées séparent les étapes pour la lisibilité. Les deux étapes se trouvent sur le même axe horizontal; le trajet ne comporte aucun mouvement vertical.

\|\mathbf r'(t)\|=\sqrt{(2t)^2}=2|t|.

L=\int_{-1}^0(-2t)\,dt+\int_0^2 2t\,dt=1+4=5.

La distance entre les extrémités est 3, l’image géométrique est le segment de 0 à 4 de longueur 4, et la longueur du parcours est 5. Ce sont trois questions distinctes. Intégrer $2t$ sur tout l’intervalle donne 3, car les déplacements vers la gauche et vers la droite se compensent en partie. La dérivée nulle à $t=0$ ne pose pas de problème; elle marque ici le changement de sens.

Avant d’intégrer, repérez les extrémités et vérifiez si la courbe paramétrée change de sens ou répète une portion. Simplifiez $\sqrt{h(t)^2}$ en $|h(t)|$ , puis scindez l’intégrale aux changements de signe pertinents.

5. Six exercices progressifs

Essayez chaque mise en équation avant d’ouvrir l’indice. Sauf indication contraire, les coordonnées utilisent la même unité de longueur arbitraire et les angles sont en radians.

1. Débuter : une droite

Trouvez la longueur de $\mathbf r(t)=(-2+6t,1+8t)$ pour $0\le t\le\tfrac12$ . Vérifiez à l’aide des extrémités.

Indice 1

La norme de la dérivée constante donne la grandeur de la vitesse; multipliez-la par la largeur de l’intervalle du paramètre.

Corrigé expliqué 1

La dérivée est $(6,8)$ , donc sa norme vaut 10. Ainsi, $L=10(1/2)=5$ . Les extrémités sont $(-2,1)$ et $(1,5)$ ; leur distance vaut $\sqrt{3^2+4^2}=5$ . Il y a égalité parce que le trajet est un segment de droite parcouru une seule fois, sans changement de sens.

2. Simplifier avant d’intégrer

Trouvez la longueur de $y=\tfrac13(x^2+2)^{3/2}$ sur $0\le x\le2$ .

Indice 2

Après avoir dérivé, cherchez un carré parfait dans $1+[f'(x)]^2$ .

Corrigé expliqué 2

La règle de la chaîne donne $f'(x)=x\sqrt{x^2+2}$ . Ainsi, $1+[f'(x)]^2=x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2$ . Sa racine carrée est $|x^2+1|=x^2+1$ , puisque cette expression est positive. Donc

L=\int_0^2(x^2+1)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^2=\frac{14}{3}.

Ne remplacez pas la racine carrée d’une somme par la somme des racines carrées. C’est l’identité du carré parfait qui permet cette simplification.

3. Compter les tours

Pour $\mathbf r(t)=(2\cos(3t),2\sin(3t))$ , trouvez la longueur sur $0\le t\le\pi/3$ , puis sur $0\le t\le4\pi/3$ . Comparez le deuxième résultat à la circonférence du cercle.

Indice 3

L’angle est $3t$ , pas $t$ . Suivez sa variation totale et conservez le facteur 3 en dérivant.

Corrigé expliqué 3

La dérivée est $(-6\sin(3t),6\cos(3t))$ , donc la grandeur de la vitesse vaut 6. Le premier intervalle balaie un angle $\pi$ : $L=6(\pi/3)=2\pi$ , soit un demi-cercle. Le deuxième balaie un angle $4\pi$ , soit deux tours : $L=6(4\pi/3)=8\pi$ . Le cercle géométrique a une circonférence de $4\pi$ ; le parcours la compte deux fois. Dans les deux cas, la longueur est positive ou nulle.

4. Changer la vitesse, puis inverser le trajet

Comparez les longueurs de $\mathbf r(t)=(3t,4t)$ , $\mathbf q(u)=(3u^2,4u^2)$ et $\mathbf p(v)=(3(1-v),4(1-v))$ , avec chaque paramètre allant de 0 à 1. Leurs vecteurs dérivés sont-ils égaux?

Indice 4

Calculez les trois vecteurs dérivés. Des longueurs égales n’impliquent pas des dérivées égales.

Corrigé expliqué 4

Les dérivées sont $(3,4)$ , $(6u,8u)$ et $(-3,-4)$ . Leurs normes valent 5, $10u$ et 5 sur ces intervalles, d’où les longueurs 5, $\int_0^1 10u\,du=5$ et 5. La deuxième courbe accélère sur le même segment; la dernière le parcourt en sens inverse. Les dérivées ne sont généralement pas égales. La dérivée initiale nulle de $\mathbf q$ ne modifie pas sa longueur et ne provoque pas de changement de sens.

5. Transférer : prendre la distance comme paramètre

Pour l’hélice de l’exemple 2, définissez $s(t)$ comme la distance parcourue depuis $t=0$ . Trouvez $s(t)$ , inversez cette relation et écrivez la courbe en fonction de $s$ . Vérifiez que la nouvelle dérivée a une norme de 1 et précisez le nouvel intervalle.

Indice 5

La grandeur de la vitesse vaut 5; intégrez-la de 0 à $t$ , et non sur le trajet complet.

Corrigé expliqué 5

On a $s(t)=5t$ , donc $t=s/5$ . La nouvelle paramétrisation est

\mathbf q(s)=(3\cos(s/5),3\sin(s/5),4s/5),\qquad 0\le s\le5\pi.

Sa dérivée a pour composantes $-\tfrac35\sin(s/5)$ , $\tfrac35\cos(s/5)$ et $\tfrac45$ . Sa norme vaut $\sqrt{9/25+16/25}=1$ . Chaque unité de $s$ correspond maintenant à une unité de longueur parcourue. Conserver l’ancienne borne supérieure $\pi$ arrêterait le trajet avant son extrémité initialement prévue.

6. Défi : critiquer une réponse sans chercher de primitive

Un étudiant affirme que la longueur de $y=x^2$ sur $0\le x\le1$ vaut 1, car $\int_0^1 2x\,dx=1$ . Expliquez l’erreur, construisez la bonne intégrale et encadrez sa valeur à l’aide de la distance entre les extrémités et d’une borne sur la grandeur de la vitesse. Une primitive exacte n’est pas requise.

Indice 6

L’intégrale de $f'$ donne la variation verticale. La grandeur de la vitesse, avec $x$ comme paramètre, vaut $\sqrt{1+4x^2}$ .

Corrigé expliqué 6

L’étudiant a omis le mouvement horizontal. La bonne longueur est $L=\int_0^1\sqrt{1+4x^2}\,dx$ . Les extrémités sont $(0,0)$ et $(1,1)$ , donc la longueur vaut au moins $\sqrt2$ , ce qui exclut déjà 1. Sur l’intervalle, l’intégrande ne dépasse pas $\sqrt5$ , d’où

\sqrt2\le L\le\sqrt5.

Une évaluation numérique donne environ 1,479, ce qui respecte cet encadrement. La mise en équation et les vérifications peuvent être correctes avant même de choisir une méthode d’intégration numérique ou symbolique. L’encadrement seul ne démontre pas cette approximation décimale.

6. Vérifier et choisir la suite

Dérivez les coordonnées avant de prendre la norme.
Utilisez le véritable intervalle du paramètre et vérifiez le nombre de passages.
Conservez les valeurs absolues lorsqu’une racine carrée élimine un carré.
La longueur est positive ou nulle et au moins égale à la distance en ligne droite entre les extrémités.
Distinguez longueur du parcours, longueur de l’image, déplacement et aire.
Lors d’un changement de paramètre, modifiez ensemble la dérivée et les bornes.

Pour les techniques, révisez le choix d’une méthode d’intégration. Pour comparer déplacement signé et distance totale en une dimension, consultez les graphiques du mouvement et la cinématique.

La description départementale de MATH 222 à McGill comprend les courbes paramétriques et la longueur d’arc. Cette leçon propose des exercices complémentaires ciblés, pas un guide complet du cours ni une déclaration de la matière évaluée dans votre section. Suivez votre plan de cours actuel et revenez au guide MATH 222 pour le contexte. Les exemples et exercices sont du contenu pédagogique original de Nablio, pas des questions d’examen officielles. Le tutorat est actuellement offert en anglais.