Un projectile lancé et reçu à des hauteurs différentes

1. Définir le modèle et les grandeurs

Une petite balle quitte une plateforme au-dessus d’un sol horizontal. Assimilez-la à une particule : négligez sa taille, sa rotation et la résistance de l’air. La gravité est la seule force pendant le vol, et son accélération vers le bas a le module constant $g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$. Aucun obstacle ne précède le sol. Les équations décrivent le vol jusqu’à l’instant juste avant le contact; elles ne décrivent pas le rebond.

Choisissez $+x$ vers la droite et $+y$ vers le haut. Placez l’origine au sol, directement sous le point de départ. Fixez $t=0$ au lancer.

• $t$ : temps écoulé depuis le lancer, en secondes (s).
• $x,y$ : coordonnées horizontale et verticale, en mètres (m). Le vecteur position est $\vec r=(x;y)$.
• $x_0,y_0$ : coordonnées initiales; l’indice 0 signifie « au lancer ». La hauteur d’arrivée est $y_f$, où l’indice f signifie « final ».
• $v_x,v_y$ : composantes algébriques de la vitesse, en m/s. Le vecteur vitesse est $\vec v=(v_x;v_y)$; son module est $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.
• $a_x,a_y$ : composantes de l’accélération, en m/s². Ici, $\vec a=(0;-g)$. Le nombre positif $g$ est un module; le signe moins vient de l’axe positif vers le haut.
• $t_f$ : temps de vol jusqu’au sol. Ici, la portée horizontale est $R=x_f-x_0$; le mouvement étant vers la droite, ce déplacement est positif.

Notre exemple résolu : la balle part de $(x_0;y_0)=(0;14{,}7\ \mathrm m)$, avec $(v_{0x};v_{0y})=(12{,}0;9{,}8)\ \mathrm{m/s}$. Trouvez son temps de vol, sa portée, la position de son sommet et sa vitesse juste avant l’arrivée. Utilisez les valeurs données comme paramètres du modèle et n’arrondissez que les résultats décimaux finaux.

2. Décomposer une vitesse à partir d’un angle

Si l’énoncé donne le module initial $v_0$ et un angle $\theta$ mesuré à partir de l’horizontale positive, utilisez le triangle rectangle formé par les composantes de la vitesse :

Pour un lancer vers la droite au-dessus de l’horizontale, les deux composantes sont positives. Pour un lancer vers la droite sous l’horizontale, utilisez un angle négatif ou donnez explicitement un signe moins à la composante verticale. Si l’angle est mesuré à partir de la verticale, repérez à nouveau les côtés adjacent et opposé au lieu de réutiliser automatiquement ces formules.

Vérification autonome : une balle est lancée à 20,0 m/s, à 30° au-dessus de l’horizontale. Trouvez ses composantes avant d’ouvrir la réponse. Utilisez le mode degrés.

Revenez aux composantes de l’exemple résolu : 12,0 m/s et 9,8 m/s. Elles correspondent à $v_0=\sqrt{240{,}04}\approx15{,}49\ \mathrm{m/s}$, avec $\theta=\arctan(9{,}8/12)\approx39{,}24^\circ$ au-dessus de l’horizontale. Pour la suite, utilisez les composantes données, sans recalculer celles-ci à partir de ces valeurs arrondies.

3. Utiliser la hauteur d’arrivée pour trouver le temps et la portée

Chaque composante suit une équation à accélération constante. L’accélération horizontale est nulle, donc la composante horizontale de la vitesse reste constante. La composante verticale varie sous l’effet de la gravité :

Les deux composantes décrivent la même balle au même instant. Leurs équations sont distinctes, mais le temps écoulé est commun. On ne peut pas choisir un temps pour le mouvement horizontal et un autre pour le mouvement vertical.

Écrire d’abord la condition physique d’arrivée

Le sol correspond à $y_f=0$. Le déplacement vertical depuis le départ est $y_f-y_0=-14{,}7\ \mathrm m$. Substituez la condition sur la position en conservant la hauteur initiale :

Dans cette équation numérique, le temps s’exprime en secondes et chaque terme représente des mètres. Divisez par 4,9 et réorganisez :

Les racines sont $t=3\ \mathrm s$ et $t=-1\ \mathrm s$. Le modèle décrit le mouvement après le lancer : on conserve donc $t_f=3\ \mathrm s$. La racine négative appartient au prolongement mathématique de la parabole vers le passé; elle ne représente pas un événement antérieur du vol décrit. Si l’équation ne se factorise pas facilement, utilisez la formule quadratique, puis vérifiez chaque racine selon l’événement et l’intervalle étudiés.

Utiliser ce même temps horizontalement

Le point d’arrivée est $(36\ \mathrm m;0)$. La portée est ici le déplacement horizontal, et non la longueur de la trajectoire courbe. La substitution vérifie l’arrivée : $14{,}7+29{,}4-44{,}1=0$.

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4. Situer le sommet et trouver la vitesse à l’arrivée

Au sommet, la composante verticale est nulle

Ici, $t_{\text{sommet}}$ est le temps nécessaire pour atteindre le point le plus haut. Utilisez ce temps dans les deux équations de position :

Au sommet, $\vec v=(12;0)\ \mathrm{m/s}$, donc son module vaut 12 m/s. La balle continue vers la droite. Son accélération reste $(0;-9{,}8)\ \mathrm{m/s^2}$ : la gravité ne cesse pas d’agir lorsque $v_y=0$.

L’arrivée correspond au temps ultérieur de 3 s

Le vecteur vitesse est $(12;-19{,}6)\ \mathrm{m/s}$; son module vaut environ 23,0 m/s. Une réponse vectorielle comprend la direction et le sens. Comme $v_{xf}>0$ et $v_{yf}<0$, la balle arrive vers la droite et vers le bas, à environ $\arctan(19{,}6/12)=58{,}52^\circ$ sous l’horizontale.

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5. Vérifier le module de la vitesse par l’énergie

Pour le système balle–Terre, sans résistance de l’air, la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle gravitationnelle se conserve. Soit $m$ la masse de la balle en kilogrammes; choisissez le sol comme niveau zéro de l’énergie potentielle :

Simplifiez par la même masse non nulle et réorganisez :

Le résultat concorde avec celui des composantes. La balle arrive avec un module de vitesse plus grand qu’au départ, car elle termine plus bas. Ce bilan vérifie le module, mais ne donne pas à lui seul le temps de vol, la portée ni la direction de la vitesse. Une vérification énergétique correcte peut donc accompagner une portée erronée. Avec une résistance de l’air appréciable, il faudrait tenir compte de l’énergie transférée hors de la forme mécanique. Révisez le choix d’un bilan en mécanique si le système ou l’intervalle reste flou.

6. Repérer le raccourci réservé aux hauteurs égales

Solution erronée plausible : « Le temps de vol vaut $2v_{0y}/g=2\ \mathrm s$, donc la portée vaut 24 m. » Le temps de 2 s correspond bien à un événement, mais la balle revient alors à sa hauteur de départ :

Elle n’a pas atteint le sol. Pour un lancer vers le haut, le raccourci $2v_{0y}/g$ et la formule de portée associée $v_0^2\sin(2\theta)/g$ exigent des hauteurs initiale et finale égales dans ce modèle. Si les hauteurs diffèrent, écrivez la condition d’arrivée réelle.

Autre erreur : « La vitesse est nulle au sommet. » Seule $v_y$ est nulle. Annuler le vecteur entier effacerait aussi la composante horizontale, qui reste constante.

Vérification des axes : gardez la droite positive, mais placez l’origine verticale au départ et définissez une nouvelle coordonnée $z$, positive vers le bas. Quelles sont la coordonnée du sol, la composante verticale initiale de la vitesse et celle de l’accélération? Écrivez l’équation d’arrivée avant d’ouvrir la réponse.

7. Essayer seul un lancer vers le bas

Conservez la hauteur de 14,7 m, la composante vers la droite de 12,0 m/s et toutes les hypothèses du modèle. Inversez seulement la composante verticale initiale : $v_{0y}=-9{,}8\ \mathrm{m/s}$. Reprenez les axes initiaux, avec l’origine au sol et le haut positif.

1. Avant de calculer, prévoyez si le temps de vol, la portée et le module de la vitesse à l’arrivée augmentent, diminuent ou restent les mêmes.
2. Trouvez le temps de vol et la portée.
3. Trouvez les deux composantes de la vitesse à l’arrivée et son module. Expliquez la comparaison des modules par l’énergie.
4. La balle atteint-elle un sommet après le lancer?

8. Décider quand deux racines positives sont valides

Reprenez le lancer initial vers le haut. Une ligne de référence horizontale se trouve à 18,0 m au-dessus du sol; ce n’est ni une plateforme ni un obstacle. À quels instants la balle la traverse-t-elle? Trouvez chaque coordonnée horizontale et précisez si la balle monte ou descend. Essayez sans consulter les réponses de l’exemple.

9. Vérifier sa méthode et choisir la suite

• Avez-vous défini l’origine, les sens positifs et l’instant du lancer?
• L’angle donné et les signes des composantes sont-ils cohérents?
• Avez-vous utilisé la hauteur finale réelle dans l’équation verticale?
• Chaque racine conservée correspond-elle à l’événement et à l’intervalle étudiés?
• Avez-vous utilisé le même temps en x et en y?
• Pouvez-vous distinguer la position, le vecteur vitesse, son module et l’accélération au sommet?
• La vérification énergétique concorde-t-elle avec le module sans servir à déduire un temps ou une portée?

Pour une aide ciblée, consultez la page de tutorat en mécanique de Nablio et apportez votre schéma ainsi que votre premier essai du lancer vers le bas. Un tuteur peut vérifier vos axes, observer votre décomposition de la vitesse initiale et vous aider à justifier la condition d’arrivée et le choix des racines. Essayez ensuite seul une autre hauteur ou un autre sens de lancement. Votre plan de cours actuel détermine les sujets à préparer.

Références et portée de la leçon

Les exemples, questions et diagrammes sont originaux. Pour le modèle physique, consultez OpenStax College Physics 2e, section 3.4, Projectile Motion (en anglais). Pour le bilan énergétique, consultez la section 7.3, Gravitational Potential Energy (en anglais).

Cette leçon porte sur la cinématique d’introduction à deux dimensions. Elle peut prolonger les exercices de lancer horizontal des guides de mécanique de John Abbott et de Marianopolis lorsque le mouvement des projectiles figure au plan de votre section. Ce n’est ni un examen d’établissement ni une prévision des questions d’évaluation; les guides de cours conservent leurs propres précisions sur les sources et les sessions.