Volumes de révolution : construire la section avant d’intégrer

La contribution d’une section transversale

Un solide de révolution s’obtient en faisant tourner une région plane d’un tour complet autour d’une droite de son plan. Pour utiliser les disques ou les rondelles, on découpe le solide perpendiculairement à cet axe de rotation. La tranche de la région plane engendre alors une section circulaire.

Notons $R$ le rayon extérieur et $r$ le rayon intérieur de cette section. Ce sont des distances positives ou nulles depuis l’axe de rotation, avec $0\le r\le R$. Notons $A$ l’aire de la section et $V$ le volume du solide. Le symbole $\pi$ désigne la constante habituelle du cercle.

Si la tranche atteint l’axe, la section n’a pas de trou central : c’est un disque, donc $r=0$ et $A=\pi R^2$. Si la tranche reste d’un seul côté de l’axe sans le toucher, la section est une rondelle, soit un disque extérieur dont on retire un disque intérieur :

La différence $R-r$ mesure l’épaisseur radiale de la rondelle. Ce n’est pas le rayon de la section entière. Par exemple, un rayon extérieur de 3 et un rayon intérieur de 2 donnent l’aire $\pi(9-4)=5\pi$, tandis que $\pi(3-2)^2=\pi$ décrit un autre disque.

Un morceau mince du solide a approximativement pour volume l’aire de sa section multipliée par son épaisseur. Pour une position $x$ et une petite largeur $\Delta x$, cette contribution vaut environ $A(x)\Delta x$. On additionne ces contributions, puis on prend la limite lorsque leurs largeurs tendent vers zéro :

Ici, $a$ et $b$ sont les première et dernière coordonnées $x$ des tranches. La notation $dx$ indique que l’intégration se fait dans la direction des $x$. Une aire multipliée par une longueur donne un volume : des unités carrées multipliées par des unités donnent des unités cubes.

Ces formules s’appliquent lorsque chaque tranche perpendiculaire engendre un seul disque ou une seule rondelle. Si une tranche contient des morceaux séparés, leurs rotations peuvent se chevaucher. Dessinez la section obtenue avant d’additionner les aires.

Choisir la tranche et sa variable

1. Indiquer la région et l’axe. Trouvez les intersections des frontières et vérifiez quelle courbe se situe au-dessus, au-dessous, à gauche ou à droite dans la région.
2. Tracer une tranche perpendiculaire à l’axe. Pour un axe horizontal comme $y=0$ ou $y=-1$, utilisez une tranche verticale et $dx$. Pour un axe vertical comme $x=0$ ou $x=3$, utilisez une tranche horizontale et $dy$.
3. Mesurer les distances depuis l’axe. Repérez les points le plus éloigné et le plus proche dans la tranche. La valeur d’une coordonnée ne suffit pas à déterminer le rayon extérieur.
4. Conserver une seule variable. Les rayons, les bornes et la différentielle doivent tous utiliser la variable des tranches. Une tranche horizontale exige souvent d’exprimer $x$ en fonction de $y$.
5. Repérer les changements de description. Séparez l’intégrale si la frontière extérieure, la frontière intérieure ou le type de section change.

La méthode des coquilles cylindriques utilise des tranches parallèles à l’axe. Le complément sur le choix entre rondelles et coquilles explique cette autre mise en équation. Les trois exemples et les six exercices qui suivent portent sur les disques et les rondelles.

Exemple résolu 1 Tourner autour de l’axe horizontal

Notons $x$ et $y$ les valeurs numériques des coordonnées, mesurées avec une même unité de longueur fixe. Notons $D$ la région délimitée par $y=x^2$ et $y=2x$. Les aires seront exprimées en unités carrées et les volumes en unités cubes. Faites tourner $D$ autour de l’axe des $x$, soit la droite $y=0$, et trouvez son volume $V_x$.

Trouver et décrire la région

Les courbes se rencontrent lorsque $x^2=2x$, donc $x(x-2)=0$. Les intersections sont $(0,0)$ et $(2,4)$. Pour $0\le x\le2$, la différence $2x-x^2=x(2-x)$ est positive ou nulle. La droite est donc la frontière supérieure et la parabole est la frontière inférieure :

Construire l’aire de la section

La tranche verticale engendre une rondelle. Son rayon extérieur est la distance jusqu’à la droite, $R(x)=2x$, et son rayon intérieur est la distance jusqu’à la parabole, $r(x)=x^2$. Les deux sont positifs ou nuls sur l’intervalle, avec $R(x)\ge r(x)$. Aux deux intersections, l’aire de la rondelle devient nulle, ce qui est permis.

Intégrer et vérifier

Les crochets indiquent la valeur à la borne supérieure moins la valeur à la borne inférieure. Le résultat est $64\pi/15$ unités cubes. L’intégrande est positif ou nul sur tout l’intervalle. Le solide tient aussi dans un cylindre de rayon 4 et de longueur 2, dont le volume vaut $32\pi$; l’ordre de grandeur est donc plausible. Ces vérifications peuvent révéler une erreur, mais ne remplacent pas une mise en équation correcte.

Exemple résolu 2 Tourner autour de l’axe vertical

Conservons exactement la même région $D$, mais faisons-la tourner autour de l’axe des $y$, soit la droite $x=0$. Notons $V_y$ le nouveau volume. Changer l’axe change le solide; le résultat n’a donc aucune raison d’égaler $V_x$.

Décrire une tranche horizontale avant de choisir les rayons

Les disques et les rondelles sont perpendiculaires à l’axe. Il faut maintenant des tranches horizontales et une intégration par rapport à $y$. Les points le plus bas et le plus haut de $D$ ont pour coordonnées $y=0$ et $y=4$. Réécrivons la droite comme $x=y/2$ et la branche non négative de la parabole comme $x=\sqrt y$. Pour $0\le y\le4$, on a $y/2\le\sqrt y$. Ainsi,

Seule la branche positive ou nulle de la racine carrée appartient à la région : la description initiale impose $0\le x\le2$. Pour une vérification rapide, à $y=1$, la tranche va de $x=1/2$ à $x=1$.

Utiliser les distances jusqu’à l’axe vertical

L’extrémité droite est la plus éloignée de $x=0$. On a donc $R(y)=\sqrt y$, $r(y)=y/2$, puis

Le volume est $8\pi/3$ unités cubes. Utiliser les bornes 0 et 2 ici omettrait la partie de la région au-dessus de $y=2$. Remplacer seulement $dx$ par $dy$ dans le premier exemple ne fonctionnerait pas non plus : il faut reconstruire la tranche, les formules des rayons et les bornes.

Exemple résolu 3 Déplacer l’axe vers la droite

Faisons tourner $D$ autour de la droite verticale $x=3$, et notons $V_3$ le volume. La région se trouve entièrement à gauche de cet axe. Les tranches horizontales et les bornes $0\le y\le4$ conviennent toujours, mais les rayons ne sont plus donnés directement par les coordonnées $x$ des extrémités.

L’extrémité gauche, $x=y/2$, est maintenant la plus éloignée; elle détermine donc le rayon extérieur. L’extrémité droite, $x=\sqrt y$, est la plus proche et détermine le rayon intérieur :

Vérifions une tranche : à $y=1$, les distances sont $3-1/2=5/2$ et $3-1=2$. Leurs carrés donnent l’aire $\pi(25/4-4)=9\pi/4$. Sur tout l’intervalle, $r(y)\ge1$; chaque section d’aire strictement positive possède donc un trou central.

Le volume est $16\pi/3$ unités cubes. La même région plane a produit trois solides différents. Indiquez toujours l’axe à côté du dessin avant d’utiliser une formule mémorisée.

Une région qui traverse l’axe

Si une tranche continue traverse l’axe de rotation, elle engendre un disque. Les deux côtés ne produisent pas des volumes distincts à additionner : leurs rotations se chevauchent. Le rayon intérieur est nul, et le rayon extérieur est la plus grande des distances entre l’axe et les deux extrémités.

Par exemple, un segment vertical allant de $y=-1$ à $y=2$, en rotation autour de $y=0$, remplit un disque de rayon 2. Son aire vaut $4\pi$, et non $\pi(2^2-1^2)=3\pi$ ni $\pi(2^2+1^2)=5\pi$. Il n’y a pas de trou, puisque le segment passe par l’axe. Dans le dernier exercice, l’extrémité la plus éloignée change à l’intérieur de la région.

Six niveaux de pratique

Pour chaque exercice, indiquez l’axe de rotation, l’orientation des tranches, la variable, les bornes et les rayons avant de calculer. Les coordonnées utilisent la même unité de longueur fixe que précédemment. Des réponses exactes suffisent; une calculatrice n’est pas nécessaire. Si vous bloquez, ouvrez d’abord l’indice, puis comparez votre raisonnement à la solution.

Vérifier la mise en équation avant d’intégrer

• Pouvez-vous montrer l’axe et une tranche perpendiculaire sur votre dessin?
• Les rayons $R$ et $r$ sont-ils des distances depuis cet axe, avec $0\le r\le R$?
• Si la tranche traverse l’axe, avez-vous utilisé un disque sans trou?
• Les formules des rayons, les bornes et la différentielle utilisent-elles la même variable?
• La géométrie exige-t-elle plusieurs intervalles?
• L’aire de la section est-elle positive ou nulle, et le résultat final est-il en unités cubes?

Essayez d’expliquer un rayon en une phrase : « Cette distance part de l’axe et rejoint cette frontière. » Si vous ne pouvez pas montrer ses deux extrémités, revenez au dessin avant de calculer.

Quand utiliser les rondelles ou les coquilles cylindriques?

Utilisez ce complément facultatif si les coquilles cylindriques font partie de votre cours ou si vous voulez explorer une deuxième façon de calculer un volume. Gardez la même région et le même axe de rotation, puis comparez les deux orientations de tranches.

Choisir la tranche avant la formule

• Perpendiculairement à l’axe de rotation : disques ou rondelles. Mesurez les distances extérieure et intérieure $R$ et $r$ depuis l’axe. La contribution vaut $\pi(R^2-r^2)\,dt$, avec $r=0$ pour un disque.
• Parallèlement à l’axe de rotation : coquilles cylindriques. Notons $\rho$ la distance entre la tranche et l’axe, et $h$ la longueur de la tranche parallèlement à cet axe. Le volume d’une coquille mince vaut approximativement circonférence fois longueur fois épaisseur, soit $2\pi\rho h\,\Delta t$. Le passage à la limite donne $V=2\pi\int_a^b\rho(t)h(t)\,dt$.

Ici, $t$ désigne la coordonnée qui situe les tranches, soit $x$ ou $y$, et $a,b$ sont les première et dernière valeurs de cette coordonnée dans la région. Pour un axe vertical, les rondelles utilisent des tranches horizontales et $dy$, tandis que les coquilles utilisent des tranches verticales et $dx$. Pour un axe horizontal, les rondelles utilisent $dx$ et les coquilles utilisent $dy$.

Notons $c$ la coordonnée fixe de l’axe de rotation. Pour les coquilles autour de $x=c$, le rayon vaut $\rho(x)=|x-c|$ et la longueur est la frontière supérieure moins la frontière inférieure. Autour de $y=c$, le rayon vaut $\rho(y)=|y-c|$ et la longueur est la frontière droite moins la frontière gauche. La « hauteur » $h$ d’une coquille peut donc être horizontale. Toutes les longueurs sont positives ou nulles. Avant d’additionner les contributions des coquilles, vérifiez que leurs rotations ne se chevauchent pas. En particulier, des tranches de part et d’autre de l’axe peuvent engendrer le même espace; utiliser des distances en valeur absolue n’empêche pas un double comptage.

Choisissez l’intégrale valide la plus simple : comparez les expressions des frontières, le nombre d’intervalles et les primitives. Les coquilles évitent souvent d’isoler l’autre variable dans l’équation d’une frontière. Les rondelles peuvent être plus simples lorsque les rayons sont faciles à décrire. Déterminez les bornes à partir de la région dans la variable choisie, et séparez l’intégrale lorsqu’une expression de frontière change. Si l’énoncé impose une méthode, respectez-la.

Un solide, deux calculs exacts

Faites tourner autour de l’axe des $y$ la région $E$ du premier quadrant, définie par $0\le x\le1$ et $x^3\le y\le x$. Les coordonnées utilisent la même unité de longueur que précédemment. Dans le premier quadrant, les courbes se rencontrent en $(0,0)$ et $(1,1)$, et $x-x^3=x(1-x^2)\ge0$ sur cet intervalle.

Coquilles : une tranche verticale est parallèle à l’axe. Son rayon vaut $\rho(x)=x$, sa hauteur vaut $h(x)=x-x^3$, et sa position va de $x=0$ à $x=1$. Ainsi,

Rondelles : une tranche horizontale est perpendiculaire à l’axe. Réécrivons la même région comme $0\le y\le1$, $y\le x\le y^{1/3}$. L’extrémité la plus éloignée donne $R(y)=y^{1/3}$, et la plus proche donne $r(y)=y$. Donc,

Les deux méthodes donnent $4\pi/15$ unités cubes, car la région et l’axe sont restés fixes. Les coquilles conservent les fonctions initiales; les rondelles demandent d’exprimer leurs frontières dans l’autre sens. Ici, les deux intégrales se calculent directement. La hauteur $x-x^3$ appartient à la formule $2\pi\rho h$, tandis que les rondelles utilisent la différence des carrés des rayons. Échanger ces mesures change le solide que l’on compte.

Trois courts exercices de choix de méthode

Quoi travailler avec un tuteur

Un tuteur peut vous aider à partir de l’énoncé, à dessiner la région et à construire une mise en équation. Si vous avez déjà un dessin ou une tentative, vous pouvez les revoir ensemble. Un tuteur peut vous demander de repérer une tranche, d’indiquer les extrémités des deux rayons et d’expliquer vos bornes avant de revoir la primitive. Vous pouvez ensuite modifier seulement l’axe ou une frontière et reconstruire le modèle ensemble. Cela permet de distinguer les difficultés de géométrie des difficultés d’intégration et vous donne une démarche à pratiquer de façon autonome.

Plans et descriptions des cours

• Plan de MATH 205 de Concordia pour l’automne 2026
• Descriptions actuelles des cours du Département de mathématiques et de statistique de McGill

Consultez les documents actuels de votre section pour la matière évaluée et les méthodes permises. Pour travailler le calcul une fois le modèle construit, poursuivez avec Choisir une méthode d’intégration.