Tutorat 201-SN3-RE à Dawson : calcul intégral

1. Trouver les bornes et la courbe supérieure. La racine carrée exige $x\ge0$. À une intersection, $\sqrt{x}=x/2$. En élevant au carré, on obtient $x=x^2/4$, soit $x(x-4)=0$; les candidats sont donc $x=0$ et $x=4$. Tous deux vérifient l’équation initiale. Entre eux, $\sqrt{x}>x/2$ : pour $0<x<4$, élever ces expressions positives au carré ramène la comparaison à $x>x^2/4$. 2. Calculer l’aire plane. Notons $A$ cette aire. Une bande verticale a pour hauteur la valeur de la courbe supérieure moins celle de la courbe inférieure, et pour épaisseur $dx$, une largeur horizontale infinitésimale. Ainsi, $A=\int_0^4(\sqrt{x}-x/2)\,dx=\left[\frac23x^{3/2}-\frac{x^2}{4}\right]_0^4$. Les crochets indiquent la valeur à la borne supérieure moins celle à la borne inférieure. En évaluant, on trouve $A=(16/3-4)-0=4/3$ unités carrées. 3. Calculer le volume par rondelles. Notons $V$ le volume, $R(x)=\sqrt{x}$ le rayon extérieur et $r(x)=x/2$ le rayon intérieur, mesurés depuis l’axe de rotation. Une section possède l’aire $\pi R(x)^2-\pi r(x)^2$. Donc $V=\pi\int_0^4(x-x^2/4)\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{12}\right]_0^4=\pi(8-16/3)=8\pi/3$ unités cubes. 4. Expliquer la différence. L’aire plane additionne des hauteurs de bandes multipliées par leurs largeurs; le volume additionne des aires de sections circulaires multipliées par leurs épaisseurs. Une rondelle est un disque extérieur dont on retire un disque intérieur : son aire est $\pi(R^2-r^2)$, et non $\pi(R-r)^2$. Pour vérifier l’effet d’échelle, doubler la hauteur des deux courbes double l’aire plane mais quadruple le volume de rotation, car les rayons sont élevés au carré.