Dawson 201-SNC-DW | Tutorat et préparation aux examens

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Matières connexes

Repérez la matière qui correspond au chapitre étudié.

DifférentielIntégralPlusieurs variables

Difficultés fréquentes

Visualiser les surfaces et régions
Choisir les coordonnées et les bornes
Reconnaître quand un théorème ou une méthode s’applique

Garder une coordonnée fixe

Cet exemple original porte sur les dérivées partielles. Utilisez le plan de votre section pour choisir les notions à revoir.

Sur une petite plaque, $x$ et $y$ sont les valeurs numériques de coordonnées mesurées en mètres, avec $0\le x\le3$ et $0\le y\le3$ . La température numérique en degrés Celsius est $T(x,y)=18+x^2+3xy-2y^2$ . Au point $P=(1,2)$ , trouvez $T_x(P)$ , le taux local de variation de température par mètre quand $x$ augmente à $y$ constant, puis $T_y(P)$ , le taux correspondant quand $y$ augmente à $x$ constant. Prévoyez si la température augmente ou diminue initialement le long de chaque déplacement. Vérifiez le premier taux avec une fonction d’une seule variable.

Voir un indice

Pour la dérivée par rapport à x, traitez chaque occurrence de y comme une constante. Pour vérifier, remplacez y par 2 avant de dériver la fonction d’une seule variable obtenue.

Voir le raisonnement

1. Garder la coordonnée fixe dans la formule. À $y$ constant, $T_x=2x+3y$ : le terme $-2y^2$ est constant par rapport à $x$ . À $x$ constant, on obtient plutôt $T_y=3x-4y$ . Les indices désignent la coordonnée que l’on fait varier.

2. Évaluer au point. Ainsi, $T_x(1,2)=8$ et $T_y(1,2)=-5$ , en degrés Celsius par mètre. Augmenter $x$ à $y=2$ fait initialement monter la température; augmenter $y$ à $x=1$ la fait initialement baisser. Ce sont des taux locaux, et non des températures.

3. Vérifier la coupe. À $y=2$ , définissons $g(x)=T(x,2)=10+x^2+6x$ . Une apostrophe désigne une dérivée d’une seule variable, donc $g^\prime(1)=2(1)+6=8$ . De plus, $T(1,2)=17$ . Pour une variation non nulle $h$ de la coordonnée numérique x, avec $1+h$ encore dans la plaque, le développement donne

$\frac{T(1+h,2)-T(1,2)}{h}=8+h.$

Quand $h$ tend vers zéro, on retrouve 8. Faire varier les deux coordonnées décrirait un autre trajet; cela ne calculerait pas cette dérivée partielle.

À vous : changer le point et la coordonnée

Gardez la même plaque et le même modèle de température, mais partez de $Q=(2,1)$ . Gardez $x=2$ et déplacez-vous jusqu’à $y=0{,}9$ . Prévoyez si la température monte ou baisse initialement. Trouvez $T_y(Q)$ , utilisez ce taux pour estimer la variation de température, puis calculez la variation exacte. Ici, $\Delta y=0{,}9-1=-0{,}1$ est la variation signée de coordonnée en mètres. Expliquez pourquoi l’estimation diffère du résultat exact.

Vérifier votre raisonnement

Au point $Q$ , $T_y=3(2)-4(1)=2\,{}^\circ\mathrm{C/m}$ . Comme $\Delta y$ est négatif, l’estimation locale vaut $2(-0{,}1)=-0{,}20\,{}^\circ\mathrm C$ : la température diminue le long de ce déplacement. La dérivée partielle positive décrit une augmentation de $y$ ; elle ne signifie pas que la température augmente le long de tout déplacement.

Sur la coupe $x=2$ , $T(2,y)=22+6y-2y^2$ . Ainsi, $T(2,1)=26$ et $T(2,0{,}9)=25{,}78$ , d’où une variation exacte de $-0{,}22\,{}^\circ\mathrm C$ .

Pour une variation $h$ depuis $y=1$ , le développement donne $T(2,1+h)-T(2,1)=2h-2h^2$ . L’estimation par la dérivée garde le terme linéaire $2h$ . À $h=-0{,}1$ , le terme omis vaut $-0{,}02\,{}^\circ\mathrm C$ , ce qui explique l’écart. Les deux points restent dans le domaine du modèle.

Un tuteur peut vous demander quelle coordonnée reste fixe, comparer votre dérivée partielle avec la fonction d’une seule variable et vous aider à distinguer un taux local d’une variation finie de température. Essayez ensuite la question avec le nouveau point sans consulter la solution.

Travailler les domaines des intégrales doubles Pour un chapitre distinct sur les intégrales multiples, lisez le guide des tranches et choisissez une question de domaine qui correspond à votre plan de cours.
Descriptions des cours de mathématiques de Dawson La description de 201-SNC-DW mentionne les dérivées partielles et les intégrales multiples. Elle ne confirme pas une session ou une section particulière.

Comment le tutorat aide

Nous confirmons le soutien possible pour votre chapitre et les disponibilités avant la réservation. Un tuteur peut comparer une dérivée partielle à sa vérification avec une fonction d’une seule variable, repérer une éventuelle erreur dans votre calcul et distinguer un taux local de variation de température d’une variation de température. Vous pouvez travailler ensemble à partir de l’exemple ci-dessus ou d’une question de votre choix.

Préparation aux examens de 201-SNC-DW

Si les dérivées partielles font partie de votre révision, refaites la question où le point change sans consulter la solution. Précisez quelle coordonnée reste fixe, prévoyez le signe de la variation de température, puis comparez l’estimation par la dérivée à la variation exacte. Expliquez la différence et vérifiez les unités des deux résultats.

Utilisez le plan de votre section pour choisir les chapitres à réviser. Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Liens utiles pour la préparation ou la suite des études; ce ne sont pas des équivalences ni une séquence d’inscription obligatoire.

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Envoyez votre sujet et vos disponibilités. Nous confirmerons les notions couvertes et l’horaire par texto ou courriel avant le paiement.

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Questions sur les séances

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Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

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