Tutorat 201-SNU-MS · Marianopolis

Pour calculer $f_x$, gardez $y$ fixe; pour calculer $f_y$, gardez $x$ fixe. Un vecteur de direction donne une orientation, mais le taux demandé utilise un vecteur unitaire.

1. Trouver le gradient au point indiqué

Les dérivées partielles sont $f_x=2x+y$ et $f_y=x+4y$. Le gradient les regroupe : $\nabla f=(2x+y,x+4y)$, donc $\nabla f(P)=(5,6)$. Ce sont les taux dans les deux directions des axes; aucun ne donne à lui seul le taux dans la direction oblique demandée.

2. Donner une longueur unitaire au vecteur de direction

Puisque $\|\mathbf v\|=\sqrt{4^2+3^2}=5$, utilisez $\mathbf u=\mathbf v/\|\mathbf v\|=(4/5,3/5)$. Le carré de sa longueur vaut $16/25+9/25=1$. Doubler $\mathbf v$ double aussi sa longueur, ce qui laisse $\mathbf u$ inchangé.

3. Combiner les taux dans les directions des axes

Le polynôme est différentiable partout; sa dérivée directionnelle est donc le produit scalaire du gradient par la direction unitaire :

Le résultat positif indique que $f$ augmente initialement dans ce sens, d’environ $(38/5)s$ pour une petite distance positive $s$ à partir de $P$. C’est une estimation linéaire locale, pas la variation exacte pour toute distance.

4. Vérifier le long d’une droite parcourue à vitesse unitaire

Sur $(x,y)=(2+4s/5,1+3s/5)$, un $s$ positif est la distance parcourue depuis $P$. La substitution donne $f=8+(38/5)s+(46/25)s^2$. Sa dérivée en $s=0$ vaut $38/5$, ce qui confirme le résultat sans reprendre le calcul du produit scalaire.

Utiliser directement $\mathbf v$ donnerait $38$. C’est le taux par rapport au paramètre de la droite $P+t\mathbf v$, où chaque unité du paramètre fait parcourir cinq unités de distance du repère. Cela ne répond pas à la question du taux par unité de distance.

Ici, $\nabla g=(6x-2y,-2x+2y)$, donc $\nabla g(Q)=(8,-4)$. Comme $\|\mathbf w\|=5$, sa direction unitaire est $\mathbf u=(-3/5,4/5)$. Ainsi,

La fonction diminue initialement dans ce sens. Doubler $\mathbf w$ ne change ni sa direction unitaire ni cette dérivée. Pour une vérification distincte, utilisez $(x,y)=(1-3s/5,-1+4s/5)$ : $g=6-8s+(67/25)s^2$, dont la dérivée en zéro vaut $-8$.