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Marianopolis · Arts et sciences · 201-AS2-MS

Tutorat en calcul différentiel 201-AS2-MS

Reliez les limites et les dérivées aux grandeurs qu’elles décrivent. Travaillez un court exemple de mouvement, vérifiez votre algèbre et choisissez la prochaine notion à pratiquer en calcul, dans le programme Arts et sciences de Marianopolis.

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Votre cours de calcul en Arts et sciences

201-AS2-MS est le cours de calcul différentiel du programme Arts et sciences. La grille indicative de Marianopolis place le calcul différentiel et la mécanique ensemble en première session. Distinguer position, vitesse moyenne et vitesse instantanée constitue donc un lien utile à travailler.

Pour le programme Sciences de la nature, consultez l’entrée distincte 201-SN2-RE. Conservez le code complet de votre plan de cours dans votre demande de séance.

Notions à travailler

  • Limites, continuité et dérivées à partir de la définition
  • Techniques de dérivation, formes indéterminées et règle de L’Hôpital
  • Analyse de courbes, optimisation et taux de variation
  • Approximations linéaires et d’ordre supérieur

Si la règle de l’Hôpital fait partie des notions que vous étudiez, essayez cet approfondissement facultatif sur le choix de la méthode.

Avant de commencer

Révisez la substitution dans une fonction, le développement d’un carré et la simplification d’un facteur non nul. Dans l’exercice ci-dessous, gardez une variation de temps non nulle jusqu’à ce que le quotient de différences soit simplifié.

La vitesse est un taux, pas une position

Un objet se déplace sur une droite. Le temps tt est mesuré en secondes et sa position s(t)s(t) en mètres. Pour 0≤t≤30\le t\le3, on pose s(t)=1+4t−t2s(t)=1+4t-t^2. Utilisez la définition de la dérivée pour trouver sa vitesse instantanée à t=1t=1. Utilisez ensuite cette vitesse pour estimer sa position à t=1.1t=1.1, puis comparez avec la position exacte.

Voir un indice

Soit hh une variation de temps non nulle à partir de t=1t=1. Formez [s(1+h)−s(1)]/h[s(1+h)-s(1)]/h avant de passer à la limite.

Voir le raisonnement

  1. 1. Repérer la position de départ

    s(1)=1+4−1=4s(1)=1+4-1=4. L’objet se trouve à la position 4 m lorsque t=1t=1 s. La position se mesure en mètres; la vitesse se mesurera en mètres par seconde.

  2. 2. Construire le taux de variation moyen

    Pour une variation de temps non nulle hh, avec 1+h1+h dans l’intervalle du modèle, s(1+h)=1+4(1+h)−(1+h)2=4+2h−h2.\begin{aligned}s(1+h)&=1+4(1+h)\\&\quad-(1+h)^2\\&=4+2h-h^2.\end{aligned}

    La variation de position vaut donc 2h−h22h-h^2. La diviser par la variation de temps donne s(1+h)−s(1)h=2h−h2h=2−h.\begin{aligned}\frac{s(1+h)-s(1)}{h}&=\frac{2h-h^2}{h}\\&=2-h.\end{aligned} La simplification est valide puisque h≠0h\ne0.

  3. 3. Passer à la limite

    s′(1)=lim⁡h→0(2−h)=2.s^\prime(1)=\lim_{h\to0}(2-h)=2.

    La vitesse instantanée est de 2 m/s dans le sens positif. La limite décrit le taux à cet instant; elle n’indique pas que la vitesse reste constante par la suite.

  4. 4. Estimer à l’aide de la tangente

    La variation de temps jusqu’à t=1.1t=1.1 est de 0,1 s. À un taux de 2 m/s, la variation de position estimée vaut 2(0.1)=0.22(0.1)=0.2 m. Ainsi, s(1.1)≈s(1)+s′(1)(0.1)=4.2.\begin{aligned}s(1.1)&\approx s(1)\\&\quad+s^\prime(1)(0.1)\\&=4.2.\end{aligned} La position estimée est de 4,2 m.

  5. 5. Vérifier l’estimation

    La substitution directe donne s(1.1)=1+4(1.1)−(1.1)2=4.19.\begin{aligned}s(1.1)&=1+4(1.1)\\&\quad-(1.1)^2\\&=4.19.\end{aligned} L’estimation par la tangente dépasse la position exacte de 0,01 m. Le terme −h2-h^2 explique cet écart : l’estimation linéaire a conservé 4+2h4+2h et omis cette correction quadratique.

À vous

Le même modèle donne s′(t)=4−2ts^\prime(t)=4-2t. À t=2t=2, la vitesse instantanée est nulle. La position reste-t-elle donc inchangée jusqu’à t=2.1t=2.1? Vérifiez à l’aide de la formule de position.

Vérifier votre réponse

Non. s(2)=5s(2)=5 m et s(2.1)=4.99s(2.1)=4.99 m : la variation de position vaut donc −0.01-0.01 m. Une vitesse instantanée nulle à un instant ne signifie pas que l’objet reste au repos pendant un intervalle.

Si le développement vous a posé problème, reprenez la leçon d’algèbre. Si le quotient était correct mais son sens restait flou, expliquez à voix haute les unités de position, de déplacement et de vitesse avant d’essayer une autre fonction.

Ce que vous pouvez travailler avec un tuteur

Votre tuteur peut vous aider à choisir une première étape pour une limite ou une dérivée, ou reprendre un calcul déjà commencé. Vous pouvez travailler ensemble l’algèbre ou la règle de dérivation, puis essayer une nouvelle fonction pour vérifier votre compréhension.

En traçant un graphique et en reprenant le calcul avec vous, votre tuteur peut relier la pente de la tangente au taux de variation et vous aider à expliquer les unités.

Pour votre question d’optimisation ou d’approximation, votre tuteur peut vous aider à définir les grandeurs, construire le modèle avec vous et vérifier le sens de la réponse.

Préparer votre prochaine série d’exercices

Choisissez une limite, une dérivée à partir de la définition et une application parmi les notions que vous étudiez. Justifiez chaque étape. Après correction, reprenez l’exercice manqué sans regarder la solution.

Pratique autonome

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Apportez votre plan de cours actuel et une question que vous avez le droit de partager, si vous les avez. Vous pouvez montrer ce que vous avez commencé ou demander de l’aide dès la première étape. Votre plan de cours nous aide à choisir les notions de votre groupe et à respecter ses consignes d’évaluation.

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