ENGR 233 Concordia : exercices de calcul vectoriel

Comment utiliser ces questions

Essayez chaque question sans ouvrir sa solution. Écrivez la méthode choisie et une raison qui la justifie.
Après vérification, classez la première erreur : géométrie, dérivée, algèbre, vérification du champ ou orientation. Suivez le lien de révision pertinent, puis recommencez sans notes.
Les questions 2 et 3 utilisent le même mouvement; la question 3 rappelle les valeurs nécessaires. Cette sélection est progressive, sans barème ni durée d’examen proposés.

Toutes les variables et tous les paramètres sont réels. Les coordonnées sont cartésiennes; les composantes vectorielles suivent l’ordre x, y, z. Les symboles de produit scalaire et de produit vectoriel ont leur sens habituel, avec la convention de la main droite pour le produit vectoriel. Le symbole prime indique une dérivation par rapport au paramètre affiché. Toutes les grandeurs sont sans dimension, sauf celles du mouvement aux questions 2–3, dont les unités sont précisées. Les symboles e, ∇ et ‖ · ‖ désignent la base de l’exponentielle naturelle, l’opérateur gradient et la norme euclidienne.

1. Construire un plan à partir de deux directions

Trois points de l’espace sont $A=(1,-1,0)$ , $B=(3,0,0)$ et $C=(1,-1,2)$ . Trouvez un vecteur normal et une équation cartésienne de leur plan. Trouvez ensuite le point où la droite

\begin{gathered}x=s,\qquad y=-2s,\\z=1,\qquad s\in\mathbb R\end{gathered}

rencontre ce plan. Expliquez pourquoi l’intersection est unique.

Indice

Formez deux directions contenues dans le plan, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ . Leur produit vectoriel est perpendiculaire aux deux. Trouvez l’équation du plan avant d’y substituer les coordonnées de la droite.

Solution expliquée et vérifications

Les directions du plan sont $\mathbf u=(2,1,0)$ et $\mathbf v=(0,0,2)$ . Leur produit vectoriel vaut $\mathbf u\times\mathbf v=(2,-4,0).$ Il est non nul : les directions sont donc indépendantes et les trois points définissent un plan. En divisant par 2, on obtient la normale plus simple $\mathbf n=(1,-2,0)$ .

Un point $(x,y,z)$ appartient au plan exactement lorsque son déplacement depuis A est perpendiculaire à cette normale :

\begin{gathered}\mathbf n\cdot(x-1,y+1,z)=0,\\(x-1)-2(y+1)=0,\\x-2y=3.\end{gathered}

Substituez les coordonnées de la droite : $s-2(-2s)=3$ , donc $s=3/5$ . Le point d’intersection a pour coordonnées

x=\frac35,\qquad y=-\frac65,\qquad z=1.

La direction de la droite est $\mathbf d=(1,-2,0)$ . Comme $\mathbf n\cdot\mathbf d=5\ne0$ , la droite traverse le plan une seule fois; elle n’est ni parallèle au plan ni contenue dans celui-ci.

Vérifier le résultat

Les trois points de départ vérifient $x-2y=3$ . Au point d’intersection, $3/5-2(-6/5)=3$ . Inverser l’ordre du produit vectoriel donne la normale opposée et une équation équivalente du plan.

Erreurs fréquentes

Utiliser les vecteurs position de B et C au lieu de déplacements depuis un même point.
Prendre une direction contenue dans le plan pour sa normale.
Perdre le +1 dans la composante y du déplacement.

Choisir la prochaine étape

Si l’équation du plan semble arbitraire, revoyez le rôle du vecteur normal dans l’intersection de plans et la géométrie. Si les composantes ou les produits scalaires ont causé l’erreur, commencez par les bases sur les matrices et les vecteurs.

2. Retrouver la position et interpréter la vitesse

Une particule se déplace dans l’espace à trois dimensions. Dans les formules ci-dessous, t est la valeur numérique du temps en secondes; les composantes de position sont en mètres, celles de vitesse en mètres par seconde et celles d’accélération en mètres par seconde carrée. Pour $0\le t\le2$ ,

\begin{gathered}\mathbf a(t)=(0,2,-2),\\\mathbf v(0)=(1,-1,2),\\\mathbf r(0)=(0,1,0).\end{gathered}

Trouvez $\mathbf v(t)$ et $\mathbf r(t)$ . À $t=1$ , trouvez la position, le vecteur vitesse, sa norme et le vecteur tangent unitaire dans le sens du mouvement. Expliquez pourquoi la particule bouge encore lorsque la composante z de sa vitesse est nulle.

Indice

Intégrez chaque composante de l’accélération, puis utilisez la vitesse initiale. Intégrez de nouveau et utilisez la position initiale. La vitesse scalaire est la norme du vecteur vitesse complet.

Solution expliquée et vérifications

Comme $\mathbf v^{\prime}=\mathbf a$ , l’intégration composante par composante, avec la vitesse à t=0, donne

\begin{aligned}v_x(t)&=1,\\v_y(t)&=2t-1,\\v_z(t)&=2-2t.\end{aligned}

Utilisez ensuite $\mathbf r^{\prime}=\mathbf v$ et la position initiale :

\begin{aligned}x(t)&=t,\\y(t)&=t^2-t+1,\\z(t)&=2t-t^2.\end{aligned}

Chaque intégration possède sa propre constante dans chaque composante. Les deux ensembles de conditions initiales servent à deux intégrations différentes.

À t=1, la position est $(1,1,1)$ mètres et la vitesse est $(1,1,0)$ mètres par seconde. Ainsi,

\begin{gathered}\|\mathbf v(1)\|=\sqrt2\ \mathrm{m/s},\\\mathbf T(1)=\frac1{\sqrt2}(1,1,0).\end{gathered}

Le vecteur tangent unitaire T est sans unité. Une composante z nulle signifie qu’il n’y a aucun mouvement instantané dans la direction z; les composantes x et y donnent encore une vitesse scalaire non nulle. En fait, $v_x=1$ sur tout l’intervalle : le vecteur vitesse ne s’annule jamais.

Vérifier le résultat

Dérivez les trois composantes de position pour retrouver la vitesse, puis dérivez la vitesse pour retrouver l’accélération. Substituez aussi t=0 dans la position et la vitesse. Enfin, $\|\mathbf T(1)\|=1$ .

Erreurs fréquentes

Utiliser la position initiale pour déterminer les constantes de la vitesse.
Additionner les composantes de vitesse pour obtenir sa norme.
Confondre une composante nulle avec un vecteur nul.

Choisir la prochaine étape

Si la dérivation ou la recherche de primitives pose problème, vérifiez chaque composante avant d’interpréter le mouvement. Utilisez le diagnostic sur les règles de dérivation pour revoir une dérivée, ou les méthodes d’intégration pour choisir une primitive. Reprenez ensuite les deux étapes sur les conditions initiales.

3. Distinguer le changement de direction de l’augmentation de vitesse

Pour la particule de la question 2, à t=1, la vitesse est $\mathbf v=(1,1,0)$ m/s et l’accélération est $\mathbf a=(0,2,-2)$ m/s². Trouvez la courbure κ, l’accélération tangentielle signée $a_T$ et la norme non négative de l’accélération normale $a_N$ . La norme de la vitesse augmente-t-elle à cet instant? Une courbure positive détermine-t-elle le signe de $a_T$ ?

Indice

En un point où le vecteur vitesse est non nul, utilisez

\begin{gathered}\kappa=\frac{\|\mathbf v\times\mathbf a\|}{\|\mathbf v\|^3},\\a_T=\frac{\mathbf v\cdot\mathbf a}{\|\mathbf v\|},\\a_N=\frac{\|\mathbf v\times\mathbf a\|}{\|\mathbf v\|}.\end{gathered}

La composante tangentielle change la norme de la vitesse; la composante normale change la direction du mouvement.

Solution expliquée et vérifications

Calculez d’abord les valeurs numériques dans les unités SI précisées à la question 2 :

\begin{gathered}\|\mathbf v\|=\sqrt2,\qquad\mathbf v\cdot\mathbf a=2,\\\mathbf v\times\mathbf a=(-2,2,2),\\\|\mathbf v\times\mathbf a\|=2\sqrt3.\end{gathered}

En tenant compte de leurs unités physiques, on obtient

\begin{aligned}\kappa&=\frac{2\sqrt3}{(\sqrt2)^3}=\frac{\sqrt6}{2}\ \mathrm{m}^{-1},\\a_T&=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2\ \mathrm{m/s^2},\\a_N&=\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}=\sqrt6\ \mathrm{m/s^2}.\end{aligned}

Comme $a_T=d\|\mathbf v\|/dt>0$ , la norme de la vitesse augmente. La courbure positive décrit le changement de direction par unité de distance parcourue. Sa valeur non négative ne permet pas, à elle seule, de savoir si la vitesse scalaire augmente, reste constante ou diminue.

Vérifier le résultat

Les composantes de l’accélération sont perpendiculaires; la somme de leurs carrés doit donc donner le carré de sa norme :

\begin{gathered}a_T^2+a_N^2=2+6=8,\\\|\mathbf a\|^2=0^2+2^2+(-2)^2=8.\end{gathered}

La seconde vérification, $a_N=\kappa\|\mathbf v\|^2$ , donne $(\sqrt6/2)(2)=\sqrt6$ .

Erreurs fréquentes

Utiliser $\|\mathbf v\|^2$ au lieu du cube de la norme dans la formule de courbure.
Remplacer la composante signée $a_T$ par $\|\mathbf a\|$ .
Traiter la courbure comme une accélération; son unité est l’inverse d’une longueur.

Choisir la prochaine étape

Si seul le produit vectoriel est incorrect, reprenez le calcul du vecteur perpendiculaire de la question 1. Si la distinction entre direction et vitesse n’est pas claire, refaites le calcul du vecteur tangent unitaire de la question 2, puis expliquez les deux composantes de l’accélération avant de les recalculer.

4. Distinguer les dérivées partielles de la dérivée le long d’un trajet

On définit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ par

f(x,y)=x^2y+e^{xy}.

Trouvez $f_x$ , $f_y$ et $f_{xy}$ , où $f_{xy}$ signifie qu’on dérive d’abord par rapport à x, puis par rapport à y. Un trajet est donné par $x(t)=1+t$ , $y(t)=2t$ , pour t réel. Trouvez la dérivée de $h(t)=f(x(t),y(t))$ à t=0. Expliquez pourquoi elle ne se réduit généralement pas à $f_x$ évaluée sur le trajet.

Indice

Pour une dérivée partielle, gardez l’autre variable indépendante fixe. Le long du trajet, les deux coordonnées changent :

h^{\prime}(t)=f_x\,x^{\prime}(t)+f_y\,y^{\prime}(t),

où les deux dérivées partielles sont évaluées en $(x(t),y(t))$ .

Solution expliquée et vérifications

En dérivant par rapport à une seule coordonnée à la fois, on obtient

\begin{aligned}f_x&=2xy+ye^{xy},\\f_y&=x^2+xe^{xy}.\end{aligned}

L’exponentielle exige la règle de la chaîne : la dérivée de son exposant par rapport à x vaut y, et celle par rapport à y vaut x. Dérivez $f_x$ par rapport à y, en appliquant la règle du produit à $ye^{xy}$ :

f_{xy}=2x+e^{xy}+xy e^{xy}.

À t=0, le trajet passe par $(1,0)$ , où $f_x=0$ et $f_y=2$ . Les taux de variation des coordonnées sont $x^{\prime}=1$ et $y^{\prime}=2$ . Donc

h^{\prime}(0)=0(1)+2(2)=4.

Une dérivée partielle fait varier x en gardant y fixe. Ici, y varie aussi : sa contribution est essentielle.

Vérifier le résultat

En substituant d’abord le trajet, on trouve

h(t)=2t(1+t)^2+e^{2t(1+t)}.

À t=0, les dérivées des deux termes valent 2 et 2, soit 4 au total. De plus, dériver $f_y$ par rapport à x donne la même dérivée mixte; toutes ces dérivées sont continues sur le plan.

Erreurs fréquentes

Dériver y par rapport à x lors du calcul d’une dérivée partielle de la fonction de deux variables donnée.
Omettre le facteur y ou x dans la dérivation de l’exponentielle.
Employer les coordonnées de position du trajet comme composantes de sa vitesse.

Choisir la prochaine étape

Si l’exponentielle ou le produit pose problème, revoyez les choix liés à la règle de la chaîne. Si les deux contributions du trajet sont la difficulté, écrivez $x^{\prime}$ et $y^{\prime}$ séparément avant de les substituer dans la règle de la chaîne à plusieurs variables.

5. Utiliser un gradient pour une direction et un plan tangent

Soit $f(x,y)=x^2+y^2$ sur $\mathbb R^2$ , et soit $P=(1,2)$ . Trouvez la dérivée directionnelle en P dans le sens du vecteur $\mathbf w=(3,-4)$ . Trouvez la plus grande dérivée directionnelle possible en P et une direction unitaire qui l’atteint. Trouvez ensuite le plan tangent et une droite normale au graphe $z=f(x,y)$ au point $(1,2,5)$ .

Indice

Une dérivée directionnelle utilise un vecteur unitaire. Le gradient de f est dans le plan xy; on peut obtenir une normale à son graphe dans l’espace à partir de $G(x,y,z)=f(x,y)-z$ .

Solution expliquée et vérifications

Le gradient est $\nabla f=(2x,2y)$ , donc $\nabla f(P)=(2,4)$ . Normalisez la direction donnée :

\mathbf u=\frac{\mathbf w}{\|\mathbf w\|}=\left(\frac35,-\frac45\right).

Ainsi,

D_{\mathbf u}f(P)=2\frac35+4\left(-\frac45\right)=-2.

Parmi les directions unitaires, le plus grand produit scalaire avec le gradient est sa norme. Le maximum vaut donc $2\sqrt5$ , atteint dans la direction $(1,2)/\sqrt5$ . La dérivée négative dans la direction demandée signifie que f diminue initialement dans ce sens.

Le plan tangent utilise la valeur et les deux dérivées partielles en P :

z-5=2(x-1)+4(y-2).

Pour la droite normale, $\nabla G(1,2,5)=(2,4,-1)$ . Une paramétrisation possible est

\begin{gathered}x=1+2s,\\y=2+4s,\\z=5-s,\qquad s\in\mathbb R.\end{gathered}

Le vecteur plan $\nabla f$ fournit deux pentes. Le vecteur à trois composantes $\nabla G$ est normal au graphe. Inverser cette normale donne la même droite.

Vérifier le résultat

Le point de base appartient au plan. Les vecteurs tangents au graphe $(1,0,2)$ et $(0,1,4)$ ont chacun un produit scalaire nul avec $(2,4,-1)$ . De plus, $|-2|\le2\sqrt5$ , conformément à la borne imposée par la norme du gradient pour toute direction unitaire.

Erreurs fréquentes

Utiliser w directement et obtenir −10 au lieu du taux par unité de distance −2.
Présenter $(2,4,0)$ comme une normale au graphe.
Faire passer le plan tangent par l’origine au lieu de $(1,2,5)$ .

Choisir la prochaine étape

Pour revoir la normalisation, utilisez les gradients et les dérivées directionnelles. Pour distinguer un plan de sa normale, comparez le rôle du vecteur normal dans la question 1.

6. Calculer le rotationnel et la divergence, puis juger une affirmation

Sur tout $\mathbb R^3$ , soit

\mathbf F(x,y,z)=(xy,yz,zx).

Calculez sa divergence et son rotationnel. Un étudiant évalue le rotationnel à l’origine, obtient zéro, puis conclut que F est conservatif sur $\mathbb R^3$ . Cette conclusion est-elle justifiée? Donnez une vérification décisive. Ici, conservatif signifie que F est le gradient d’un potentiel scalaire sur le domaine indiqué.

Indice

Pour $\mathbf F=(P,Q,R)$ , la divergence est $P_x+Q_y+R_z$ . Les trois composantes du rotationnel sont $R_y-Q_z$ , $P_z-R_x$ et $Q_x-P_y$ . Une condition vérifiée en un seul point n’est pas une condition vérifiée dans tout un domaine.

Solution expliquée et vérifications

La divergence est un scalaire :

\nabla\cdot\mathbf F=y+z+x.

Le rotationnel est un vecteur. Calculez une composante à la fois :

\begin{aligned}(\nabla\times\mathbf F)_x&=0-y=-y,\\(\nabla\times\mathbf F)_y&=0-z=-z,\\(\nabla\times\mathbf F)_z&=0-x=-x.\end{aligned}

Le rotationnel est donc nul à l’origine, mais il vaut $(0,0,-1)$ au point $(1,0,0)$ . Les composantes de F sont continûment différentiables partout. Si F était un gradient sur $\mathbb R^3$ , son rotationnel s’annulerait partout dans ce domaine, par égalité des dérivées partielles mixtes du potentiel. Cette seule valeur non nulle exclut un potentiel sur tout le domaine.

Vérifier le raisonnement

La divergence ne permet pas de décider si un champ est conservatif. Un champ continûment différentiable dont le rotationnel est nul partout sur un domaine ouvert et simplement connexe possède un potentiel sur ce domaine. Simplement connexe signifie que toute boucle fermée peut se rétrécir continûment en un point sans sortir du domaine. Ici, une valeur non nulle du rotationnel suffit déjà à exclure un potentiel. La question 7 établit directement un potentiel en le construisant et en le vérifiant.

Erreurs fréquentes

Additionner les trois composantes du rotationnel pour donner un seul nombre.
Inverser la soustraction de la composante centrale du rotationnel.
Transformer une vérification en un point en une affirmation portant sur tous les points.

Choisir la prochaine étape

Si les dérivées sont incorrectes, refaites-les en gardant explicitement les deux autres coordonnées fixes. Si le problème vient de la conclusion, revoyez la vérification du potentiel et du domaine, puis identifiez l’étape incorrecte de l’affirmation.

7. Construire et vérifier un potentiel

Sur $\mathbb R^3$ , on définit F par ses composantes :

\begin{aligned}F_x&=2xy+z,\\F_y&=x^2+2y,\\F_z&=x+2z.\end{aligned}

Trouvez un potentiel scalaire φ tel que $\nabla\varphi=\mathbf F$ , puis vérifiez les trois dérivées partielles. Utilisez-le pour évaluer $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ sur tout chemin C continûment différentiable par morceaux allant de $A=(0,1,0)$ à $B=(1,0,2)$ . Que vaut l’intégrale le long du même chemin parcouru en sens inverse?

Indice

Intégrez $\varphi_x=2xy+z$ par rapport à x. La « constante » d’intégration peut dépendre de y et de z. Déterminez cette fonction en comparant les deux autres dérivées partielles.

Solution expliquée et vérifications

Commencez par

\varphi=x^2y+xz+g(y,z).

La comparaison de la dérivée par rapport à y avec $F_y$ donne $g_y=2y$ , donc $g=y^2+h(z)$ . La comparaison de la dérivée par rapport à z avec $F_z$ donne ensuite $h^{\prime}(z)=2z$ . Un potentiel est donc

\varphi=x^2y+xz+y^2+z^2.

On peut aussi ajouter une constante réelle arbitraire; elle s’annule dans les différences entre valeurs aux extrémités. Vérifiez les trois égalités :

\begin{aligned}\varphi_x&=2xy+z=F_x,\\\varphi_y&=x^2+2y=F_y,\\\varphi_z&=x+2z=F_z.\end{aligned}

Le potentiel est continûment différentiable sur tout le domaine. L’intégrale curviligne ne dépend donc que de ses valeurs aux extrémités :

\begin{gathered}\varphi(A)=1,\qquad\varphi(B)=6,\\\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=6-1=5.\end{gathered}

Inverser C échange ses extrémités et donne −5. Une fois le potentiel établi, aucune paramétrisation n’est nécessaire.

Vérifier le résultat

Pour un calcul indépendant, prenez le chemin brisé de $(0,1,0)$ à $(0,0,0)$ , puis à $(1,0,0)$ , puis à $(1,0,2)$ . Une seule coordonnée change sur chaque segment :

\begin{gathered}\int_1^0 2y\,dy=-1,\qquad\int_0^1 0\,dx=0,\\\int_0^2(1+2z)\,dz=6.\end{gathered}

Les contributions donnent 5 au total, comme le calcul à partir des extrémités.

Erreurs fréquentes

Écrire une constante numérique après la première intégration par rapport à x et perdre les termes dépendant de y et de z.
Vérifier seulement $\varphi_x$ .
Soustraire le potentiel final du potentiel initial.

Choisir la prochaine étape

Si la soustraction aux extrémités était correcte, mais le potentiel incomplet, suivez la méthode du potentiel vérifié. Reconstituez ensuite g et h sans ouvrir cette solution.

8. Comparer deux chemins et vérifier leur orientation

Soit $\mathbf H(x,y)=(-y,x)$ sur $\mathbb R^2$ . Le quart d’ellipse orienté C est donné par

\begin{gathered}x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\\0\le t\le\frac\pi2,\end{gathered}

où t est mesuré en radians. Calculez $\int_C\mathbf H\cdot d\mathbf r$ . Comparez ce résultat à l’intégrale le long du segment L reliant le même départ à la même arrivée, dans le même sens. Donnez ensuite l’intégrale le long de C parcouru en sens inverse. Expliquez si les extrémités inchangées permettent d’utiliser l’indépendance du chemin.

Un quart d’ellipse C et une corde droite L vont tous deux de A, au point (2,0), vers B, au point (0,1). L’ellipse passe au-dessus de la corde dans le premier quadrant. Les axes utilisent la même échelle par unité. — Les deux chemins partent de A et arrivent en B. Leurs flèches indiquent le même ordre des extrémités, mais les trajets diffèrent. Parcourir C à l’envers inverse le sens de sa flèche.

Indice

Pour chaque chemin, écrivez les extrémités, dérivez la paramétrisation, puis formez $\mathbf H(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r^{\prime}(t)$ . Pour le segment, on peut utiliser $\mathbf q(s)=(2-2s,s)$ , $0\le s\le1$ .

Solution expliquée et vérifications

L’ellipse part de $A=(2,0)$ et arrive en $B=(0,1)$ . Le long de ce chemin,

\begin{aligned}\mathbf r^{\prime}(t)&=(-2\sin t,\cos t),\\\mathbf H(\mathbf r(t))&=(-\sin t,2\cos t).\end{aligned}

Calculez le produit scalaire avant d’intégrer :

\begin{gathered}\mathbf H(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r^{\prime}(t)\\=2\sin^2t+2\cos^2t=2.\end{gathered}

Ainsi, $\int_C\mathbf H\cdot d\mathbf r=\int_0^{\pi/2}2\,dt=\pi$ .

Pour le segment, utilisez $\mathbf q(s)=(2-2s,s)$ , $0\le s\le1$ . Sa dérivée est $(-2,1)$ , et le champ évalué sur ce chemin vaut $(-s,2-2s)$ . Donc

\begin{gathered}\mathbf H(\mathbf q(s))\cdot\mathbf q^{\prime}(s)\\=2s+(2-2s)=2,\\\int_L\mathbf H\cdot d\mathbf r=\int_0^1 2\,ds=2.\end{gathered}

Les deux intégrandes se simplifient à 2, mais les intervalles des paramètres diffèrent. Les intégrales sont différentes : les seules extrémités ne peuvent donc pas déterminer l’intégrale de ce champ.

Parcourir l’ellipse en sens inverse donne −π. Par exemple, pour $0\le t\le\pi/2$ , le chemin inversé est

\begin{aligned}x_{\rm rev}(t)&=2\sin t,\\y_{\rm rev}(t)&=\cos t.\end{aligned}

Il part de B et arrive en A. Sa dérivée est $(2\cos t,-\sin t)$ , ce qui donne l’intégrande constant −2.

Vérifier le champ et l’orientation

Écrivez $\mathbf H=(P,Q)$ . Ici, $P_y=-1$ et $Q_x=1$ : l’égalité nécessaire pour un champ plan conservatif continûment différentiable échoue partout. On ne peut donc pas utiliser un potentiel comme raccourci. Ce calcul utilise directement les intégrales curvilignes, sans le théorème de Green.

Changer la vitesse à laquelle un paramètre décrit C une fois dans le même sens conserve l’intégrale, car la dérivée et les bornes changent ensemble. Inverser le parcours change son signe; choisir un autre chemin peut aussi changer sa valeur absolue.

Erreurs fréquentes

Intégrer les composantes du champ sans utiliser la dérivée du chemin.
Remplacer $\mathbf r^{\prime}$ par un vecteur tangent unitaire en gardant dt; la formule avec une tangente unitaire exige l’élément de longueur d’arc ds.
Employer les mêmes bornes pour des paramètres différents sans les vérifier.
Supposer l’indépendance du chemin dès que les extrémités correspondent.

Choisir la prochaine étape

Si les extrémités ou le chemin inversé posent problème, revoyez la paramétrisation et le sens de parcours. Si l’intégrande est incorrect, utilisez la construction de l’intégrale curviligne, puis refaites le calcul sur l’ellipse sans ouvrir cette solution.

Transformer une erreur en prochaine tentative

Géométrie : redessinez le point, la direction et la normale de la question 1. Vérifiez le plan avec les trois points.
Mouvement : dérivez votre fonction position de la question 2. À la question 3, expliquez ce que change chaque composante de l’accélération avant d’utiliser une formule.
Plusieurs variables : aux questions 4–5, précisez ce qui reste fixe, ce qui varie et si la direction a une norme de 1.
Champs et chemins : aux questions 6–8, distinguez un calcul local, un potentiel vérifié sur un domaine et un chemin orienté.

Si la question 8 est trop exigeante pour commencer, faites la question guidée sur l’intégrale curviligne, puis revenez à l’ellipse et à la corde.

Pour une seconde tentative, mélangez une question de géométrie, une de dérivation et une sur les champs ou les chemins. Expliquez votre premier choix à voix haute. Utilisez le parcours de révision d’ENGR 233 pour organiser les autres exercices du cours.

Quoi apporter à une séance de tutorat

Apportez votre tentative et marquez la première étape que vous ne pouvez pas justifier. Un tuteur peut observer votre choix de paramètre, de normale ou de dérivée, vous demander de l’expliquer, puis donner un indice ciblé avant de vous laisser reprendre le calcul. Pour une intégrale curviligne, comparez votre calcul direct à un potentiel vérifié lorsqu’il existe. Terminez en mettant vous-même un nouvel exercice en équation, puis en le vérifiant sans la solution détaillée.

Correspondance avec ENGR 233

Le plan de l’automne 2026 prévoit un examen de 60 minutes au premier cours de la 7e semaine d’enseignement, sur les sections 7.1 à 9.9. Le 27 octobre désigne le mardi de cette semaine, pas le jour d’examen de chaque section. Vérifiez les annonces actuelles de votre section. Les intégrales doubles et les théorèmes d’intégration ultérieurs dépassent cette limite.

Ces questions sélectionnent des notions de cette matière. Il s’agit d’exercices indépendants, sans prétendre constituer un examen blanc complet ni prévoir les questions, leur pondération ou leur difficulté.

Matière vérifiée le 4 octobre 2026 : plan d’ENGR 233 de Concordia, automne 2026, pages 2–3.

ENGR 233 Concordia : exercices de calcul vectoriel

1. Construire un plan à partir de deux directions

Vérifier le résultat

Erreurs fréquentes

Choisir la prochaine étape

2. Retrouver la position et interpréter la vitesse

Vérifier le résultat

Erreurs fréquentes

Choisir la prochaine étape

3. Distinguer le changement de direction de l’augmentation de vitesse

Vérifier le résultat

Erreurs fréquentes

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4. Distinguer les dérivées partielles de la dérivée le long d’un trajet

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Erreurs fréquentes

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5. Utiliser un gradient pour une direction et un plan tangent

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Erreurs fréquentes

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6. Calculer le rotationnel et la divergence, puis juger une affirmation

Vérifier le raisonnement

Erreurs fréquentes

Choisir la prochaine étape

7. Construire et vérifier un potentiel

Vérifier le résultat

Erreurs fréquentes

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8. Comparer deux chemins et vérifier leur orientation

Vérifier le champ et l’orientation

Erreurs fréquentes

Choisir la prochaine étape

Transformer une erreur en prochaine tentative

Quoi apporter à une séance de tutorat

Correspondance avec ENGR 233

Utile pour

Travaillez l’étape qui vous manque.

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