Convergence des séries : trois décisions à justifier

Interpréter la limite du rapport

Les termes sont positifs : le rapport de leurs valeurs absolues est donc égal à $a_{n+1}/a_n$. En remplaçant les termes puis en développant le dénominateur, on obtient

$$\frac{n^2+3n}{n^2+5n+4}.$$

Divisons le numérateur et le dénominateur par $n^2$ :

$$\frac{1+3/n}{1+5/n+4/n^2}.$$

Lorsque $n\to\infty$, le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers 1. Le rapport tend donc vers 1.

Lorsque cette limite vaut $1$, le critère du rapport ne permet de conclure ni à la convergence ni à la divergence. Il faut utiliser un autre critère.

Majorer par les termes d’une série convergente

Pour tout $n\geq1$, on a $n^2+3n\geq n^2>0$. Passer aux inverses renverse l’inégalité, donc

$$0<\frac{1}{n^2+3n}\leq\frac{1}{n^2}.$$

Une série de Riemann a pour terme général $1/n^p$, où $p$ est un exposant réel fixé; elle converge lorsque $p>1$. Ici, $p=2$, donc la série de comparaison converge.

Préciser ce que la comparaison prouve

Les termes de la série initiale sont positifs ou nuls et ne dépassent pas les termes correspondants d’une série convergente. La comparaison directe prouve donc la convergence de la série initiale. Comme tous ses termes sont positifs, prendre leurs valeurs absolues ne change pas la série : elle converge aussi absolument.

L’élément décisif est la majoration par les termes d’une série convergente, et non la limite non concluante du critère du rapport.

Expliquer pourquoi la majoration ne suffit pas

La majoration est correcte, mais elle ne prouve pas la divergence. Les termes d’une série convergente peuvent aussi être inférieurs à ceux d’une série divergente : par exemple, $1/n^2\leq1/n$. Pour prouver ici la divergence par comparaison directe, cherchez une minoration par les termes d’une série positive divergente.

Minorer par les termes d’une série divergente

Comme $n\geq1$, on a $4\leq4n^2$, donc $n^2+4\leq5n^2$. Les dénominateurs sont positifs : passer aux inverses renverse l’inégalité. En multipliant par le nombre positif $n$, on obtient

$$b_n=\frac{n}{n^2+4}\geq\frac{1}{5n}.$$

Comparer les sommes partielles

Les sommes partielles de la série harmonique, $1+1/2+1/3+\cdots$, augmentent sans borne. Les sommes partielles de la série de terme $1/(5n)$ valent un cinquième des sommes partielles harmoniques et augmentent donc elles aussi sans borne. Les sommes partielles correspondantes de la série initiale sont au moins aussi grandes.

La série initiale diverge donc vers $+\infty$. La minoration par une série divergente impose cette conclusion; la majoration proposée ne la permettait pas.

Vérifier les conditions du critère des séries alternées

La série commence par $1/3-1/4+1/5-\cdots$. Ses signes alternent. Les valeurs absolues de ses termes sont positives et décroissent, car, pour tout $n\geq1$,

$$0<\frac{1}{n+3}<\frac{1}{n+2}.$$

Elles tendent aussi vers zéro :

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+2}=0.$$

Ces conditions permettent d’appliquer le critère des séries alternées et d’établir la convergence.

Étudier la série des valeurs absolues

La convergence absolue signifie que la série obtenue en prenant la valeur absolue de chaque terme converge. Ici, ses termes sont $|c_n|=1/(n+2)$. Pour $n\geq1$, on a $n+2\leq3n$, et les deux dénominateurs sont positifs. Ainsi,

$$\frac{1}{n+2}\geq\frac{1}{3n}.$$

La série de terme $1/(3n)$ diverge, car ses sommes partielles valent un tiers des sommes partielles harmoniques. La comparaison directe montre que la série des valeurs absolues diverge elle aussi.

Combiner les deux conclusions

Une série est dite conditionnellement convergente lorsqu’elle converge mais que la série de ses valeurs absolues diverge. La série alternée initiale est donc conditionnellement convergente.

La convergence absolue impliquerait la convergence. Ici, le critère des séries alternées a établi la convergence, mais pas la convergence absolue; la comparaison précédente exclut cette dernière.