Forces dans le plan : résultante, accélération et équilibre

1. Choisir l’objet et le plan

Choisissez un objet, modélisez-le comme une particule de masse constante et utilisez un référentiel inertiel : un référentiel dans lequel les lois de Newton s’appliquent sans ajouter de forces d’inertie. Ici, on considère le référentiel du laboratoire comme inertiel. On étudie des tractions horizontales sur un palet ou un petit anneau, sur une table à coussin d’air horizontale, avec une résistance négligeable et sans rotation à analyser.

Chaque diagramme est une vue de dessus : $+x$ pointe vers l’est, $+y$ vers le nord, et les angles sont mesurés en degrés dans le sens antihoraire à partir de l’est. Le nord est une direction le long de la table, pas la verticale vers le haut. Le poids et la force de soutien de la table agissent perpendiculairement à ce plan et s’équilibrent séparément, puisqu’il n’y a aucune accélération verticale. Ils font partie de l’inventaire complet des forces, mais ne contribuent pas aux sommes des composantes horizontales.

Relevez chaque interaction extérieure qui agit sur l’objet choisi. La traction d’une corde sur le palet appartient à l’inventaire; la traction du palet sur la corde agit sur un autre corps et n’y appartient pas. Exprimez les forces en newtons (N), la masse en kilogrammes (kg) et l’accélération en $\mathrm{m/s^2}$.

La résultante $\mathbf R$ est la somme mathématique de ces forces. Ce n’est pas une force supplémentaire à ajouter aux flèches initiales. Pour construire la somme bout à bout, on peut translater un vecteur sans changer ses composantes; cela ne déplace pas le point de contact physique. Pour un solide étendu, où les points d’application et la rotation comptent, utilisez l’équilibre des forces et des moments. Une résultante nulle ne suffit pas à établir l’équilibre statique d’un solide.

2. Construire et interpréter la résultante

1. Nommez l’objet, relevez ses forces extérieures et précisez les axes.
2. Convertissez chaque angle à la référence choisie. Réglez la calculatrice en mode degrés. Pour une grandeur $F\geq0$ à l’angle $\theta$, écrivez les composantes signées.

Une force vers l’ouest a une composante x négative; une force vers le sud a une composante y négative. On ne peut pas insérer tel quel un angle donné depuis le nord dans une formule qui le mesure depuis l’est.

3. Additionnez les composantes x entre elles et les composantes y entre elles. Le symbole $\sum$ signifie « somme sur les forces qui agissent sur cet objet ».

4. Appliquez la deuxième loi de Newton avec la masse positive $m$ de l’objet.

L’accélération a la direction et le sens d’une résultante non nulle. La vitesse n’a pas nécessairement cette direction : la résultante indique comment la vitesse change, pas dans quel sens l’objet se déplace déjà.

Vérifier séparément la grandeur et la direction

Le théorème de Pythagore s’applique aux composantes x et y perpendiculaires de la résultante. En général, on ne peut ni additionner les grandeurs des forces, ni appliquer directement Pythagore à deux forces orientées selon des angles quelconques.

Si les deux composantes sont non nulles, trouvez l’angle aigu de référence $\alpha=\arctan(|R_y|/|R_x|)$, puis choisissez le quadrant à partir des signes : $\theta=\alpha$, $180^\circ-\alpha$, $180^\circ+\alpha$ ou $360^\circ-\alpha$ dans les quadrants I, II, III ou IV, respectivement. Une calculatrice ou un programme offrant $\operatorname{atan2}(R_y,R_x)$ peut choisir le quadrant; vérifiez l’ordre des arguments et l’unité angulaire, puis ajoutez $360^\circ$ à un résultat négatif en degrés pour donner un angle entre 0° et 360°.

• Si $R_x=0$ et $R_y\ne0$, la direction est le nord (90°) ou le sud (270°). Ne divisez pas par zéro.
• Si $R_y=0$ et $R_x\ne0$, la direction est l’est (0°) ou l’ouest (180°).
• Si les deux composantes sont nulles, la grandeur est nulle et la direction est indéfinie. La loi de Newton donne une accélération nulle, pas nécessairement une vitesse nulle.

3. Exemple résolu 1 : deux tractions et une accélération

Un palet de $4{,}0\,\mathrm{kg}$ subit une traction horizontale de $12\,\mathrm N$ à 30° et une autre de $8\,\mathrm N$ à 150°. Trouvez la résultante et l’accélération. Utilisez le modèle de table à coussin d’air et les axes horizontaux définis plus haut.

Lire le diagramme en mots

Le panneau du haut montre les deux forces horizontales partant du même palet, avec +x vers l’est et +y vers le nord. Le poids et le soutien verticaux s’équilibrent hors de cette vue. Dans le panneau du bas, une copie translatée de F₂ commence à la pointe de F₁. La résultante en tirets relie le départ O à l’arrivée B. Ses composantes signées valent 2√3 N vers l’est et 10 N vers le nord. L’échelle vectorielle est de 10 pixels par newton dans l’image originale de 320 pixels de large.

Décomposer chaque traction physique

Les composantes vers l’est et l’ouest se compensent en partie; celles vers le nord s’additionnent. Gardez les valeurs exactes jusqu’à l’arrondi final.

Diviser chaque composante par la masse

La grandeur de l’accélération vaut environ $2{,}646\,\mathrm{m/s^2}$. Ses deux composantes étant positives, la résultante et l’accélération sont dans le quadrant I :

Vérification : la réponse pointe surtout vers le nord, ce qui convient à une composante de 10 N vers le nord contre seulement environ 3,46 N vers l’est. Multiplier chaque composante de l’accélération par 4 kg redonne les composantes des forces. Les tractions de 12 N et 8 N forment un angle de 120°; leur résultante ne vaut donc ni $12+8=20\,\mathrm N$, ni $\sqrt{12^2+8^2}\,\mathrm N$. Sa grandeur se situe entre leur différence, 4 N, et leur somme, 20 N.

4. Exemple résolu 2 : une force qui équilibre

Un petit anneau, modélisé comme une particule, subit deux tractions horizontales : $10\,\mathrm N$ à 60° et $6\,\mathrm N$ vers l’ouest. Trouvez une troisième force horizontale qui annule la résultante totale.

La force équilibrante $\mathbf E$ est la force supplémentaire sur le même anneau qui annule la résultante existante. Ainsi, $\mathbf E=-\mathbf R$ : même grandeur, sens opposé.

Lire le diagramme en mots

Toutes les flèches forment une construction vectorielle, pas une image des positions des cordes. Depuis O, F₁ va vers le nord-est jusqu’à A; F₂ va de 6 N vers l’ouest jusqu’à B. E va légèrement vers l’est et surtout vers le sud, de B à O. La résultante existante irait de O à B; elle est omise pour ne pas superposer des flèches opposées. Le petit repère indique +x vers l’est et +y vers le nord. Fermer le polygone signifie que les composantes des trois forces s’additionnent à zéro dans chaque axe.

L’équilibrante pointe vers l’est et le sud; elle est donc dans le quadrant IV. Son angle aigu sous l’est est :

Donnez 83,41° au sud de l’est, ou $\theta=360^\circ-\alpha\approx276{,}59^\circ$ dans le sens antihoraire à partir de l’est.

Vérification par substitution : la composante x totale vaut $5-6+1=0$; la composante y totale vaut $5\sqrt3+0-5\sqrt3=0$. Le polygone des forces se ferme et l’accélération est nulle.

Si l’anneau est initialement au repos, ces forces équilibrées l’y maintiennent. S’il se déplace déjà, la résultante nulle conserve sa vitesse vectorielle dans ce modèle idéal. Une équilibrante n’arrête pas automatiquement un objet en mouvement.

Pourquoi ce n’est pas la force partenaire de la troisième loi

L’équilibrante et les tractions existantes agissent toutes sur l’anneau. La partenaire de la traction de la corde sur l’anneau est la traction de l’anneau sur cette corde. Ces deux forces d’interaction agissent sur des corps différents et ne peuvent pas se compenser dans l’équation de l’anneau.

5. Exemple résolu 3 : retrouver une force inconnue

Un palet de $2{,}0\,\mathrm{kg}$ a une accélération $\mathbf a=(1{,}5,-0{,}5)\,\mathrm{m/s^2}$. Une traction horizontale vaut $10\,\mathrm N$ à 60°. La seule autre force horizontale est inconnue. Trouvez ses composantes, sa grandeur et sa direction.

Commencez par la résultante requise par l’accélération mesurée. Soustrayez ensuite la force connue, composante par composante. La force inconnue ne vaut généralement pas $m\mathbf a$ à elle seule. Dans les équations, l’indice k désigne la force connue et l’indice u la force inconnue.

Lire le diagramme en mots

À 16 pixels par newton, la force connue va de O à A avec les composantes (5, 5√3) N. La résultante requise, en tirets, va de O à B avec les composantes (3, −1) N. La flèche inconnue va de A à B : 2 N vers l’ouest et 1 + 5√3 N vers le sud. C’est une construction de soustraction, pas une force de plus à ajouter aux tractions connue et inconnue. La résultante vaut la masse fois l’accélération prescrite.

La force inconnue doit dépasser la traction connue vers le nord pour laisser une force nette de 1 N vers le sud. Elle laisse aussi 3 N vers l’est après avoir annulé 2 N de la traction connue vers l’est.

Les deux composantes sont négatives; la direction est donc dans le quadrant III :

Il s’agit de 78,30° au sud de l’ouest. La force inconnue pointe vers le sud-ouest, même si l’accélération requise pointe vers le sud-est.

Vérification : la somme des forces connue et inconnue donne $(5-2,\,5\sqrt3-1-5\sqrt3)=(3,-1)\,\mathrm N$. La division par 2 kg redonne $(1{,}5,-0{,}5)\,\mathrm{m/s^2}$. L’ordre de la soustraction compte : force connue moins résultante requise inverserait la force inconnue.

6. Essayer six exercices

Gardez les mêmes axes en vue de dessus, la même convention en degrés et le même modèle de particule. Essayez chaque exercice avant d’ouvrir son indice ou sa solution. Donnez les composantes des forces en N et celles de l’accélération en $\mathrm{m/s^2}$.

1. 1. Un angle mesuré depuis le nord

   Une force horizontale de 8 N pointe à 30° à l’ouest du nord. Exprimez son angle dans le sens antihoraire depuis l’est et trouvez ses composantes signées.

   Indice facultatif 1

   Le nord est à 90° de l’est. Tourner vers l’ouest ajoute 30°. Prévoyez les signes avant de calculer.

   Solution expliquée 1

   L’angle vaut $90^\circ+30^\circ=120^\circ$, donc :

   $$\begin{aligned}F_x&=8\cos120^\circ=-4\,\mathrm N,\\F_y&=8\sin120^\circ=4\sqrt3\,\mathrm N.\end{aligned}$$

   Vérification : l’ouest donne x négatif, le nord donne y positif, et $\sqrt{(-4)^2+(4\sqrt3)^2}=8\,\mathrm N$. La direction est plus proche du nord que de l’ouest; la composante vers le nord est donc plus grande.

2. 2. Une résultante guidée

   Un palet de 2,0 kg subit 6 N vers l’est et 8 N vers le nord. Trouvez les composantes, la grandeur et la direction de la résultante, puis les composantes et la grandeur de l’accélération.

   Indice facultatif 2

   Écrivez les forces (6, 0) N et (0, 8) N. Leurs composantes non nulles sont perpendiculaires. Divisez la résultante par 2 kg, pas par le nombre de forces.

   Solution expliquée 2

   $$\begin{aligned}\mathbf R&=(6,8)\,\mathrm N,\\|\mathbf R|&=\sqrt{6^2+8^2}=10\,\mathrm N,\\\mathbf a&=(3,4)\,\mathrm{m/s^2},\\|\mathbf a|&=5\,\mathrm{m/s^2}.\end{aligned}$$

   Les deux vecteurs pointent à $\arctan(8/6)\approx53{,}13^\circ$ au nord de l’est. Vérification : $2(3,4)=(6,8)$ dans les unités de force. Pythagore s’applique directement ici parce que ces forces particulières sont perpendiculaires.

3. 3. Deux tractions obliques, nouvelles données

   Un palet de 2,0 kg subit 10 N à 30° et 6 N à 150°. Trouvez les composantes, la grandeur et la direction de son accélération.

   Indice facultatif 3

   Les deux composantes y sont positives. Les composantes x ont des signes opposés. Additionnez les composantes des forces avant de diviser par la masse.

   Solution expliquée 3

   $$\begin{aligned}\mathbf F_1&=(5\sqrt3,5)\,\mathrm N,\\\mathbf F_2&=(-3\sqrt3,3)\,\mathrm N,\\\mathbf R&=(2\sqrt3,8)\,\mathrm N,\\\mathbf a&=(\sqrt3,4)\,\mathrm{m/s^2}.\end{aligned}$$$$\begin{aligned}|\mathbf a|&=\sqrt{3+16}=\sqrt{19}\,\mathrm{m/s^2}\\&\approx4{,}359\,\mathrm{m/s^2},\\\theta&=\arctan(4/\sqrt3)\approx66{,}59^\circ.\end{aligned}$$

   La direction est au nord de l’est, dans le quadrant I. Vérification : multiplier l’accélération par 2 kg donne $(2\sqrt3,8)\,\mathrm N$; la composante vers le nord dépasse celle vers l’est.

4. 4. Une équilibrante sur un axe

   Dans l’exemple résolu 2, remplacez la traction vers l’ouest par 5 N et gardez celle de 10 N à 60°. Trouvez les composantes, la grandeur et la direction de l’équilibrante. Expliquez pourquoi le rapport habituel pour trouver un angle est inutile.

   Indice facultatif 4

   La traction de 10 N a une composante de 5 N vers l’est. Que devient maintenant la somme en x?

   Solution expliquée 4

   $$\begin{aligned}\mathbf R&=(5-5,5\sqrt3)\,\mathrm N\\&=(0,5\sqrt3)\,\mathrm N,\\\mathbf E&=(0,-5\sqrt3)\,\mathrm N.\end{aligned}$$

   L’équilibrante a une grandeur de $5\sqrt3\,\mathrm N\approx8{,}660\,\mathrm N$ et pointe plein sud, à 270°. La composante x étant nulle, calculer $E_y/E_x$ ferait diviser par zéro; les signes identifient déjà l’axe. Vérification : $\mathbf R+\mathbf E=(0,0)\,\mathrm N$.

5. 5. Remonter le calcul de façon autonome

   Une particule de 3,0 kg a une accélération de $(-1,2)\,\mathrm{m/s^2}$. Une force horizontale vaut $(6,0)\,\mathrm N$. Trouvez la seule autre force horizontale, y compris sa grandeur et sa direction.

   Indice facultatif 5

   Calculez d’abord $m\mathbf a$. La force inconnue égale la résultante requise moins la force connue. Ses signes détermineront le quadrant.

   Solution expliquée 5

   $$\begin{aligned}\mathbf R&=(-3,6)\,\mathrm N,\\\mathbf F_{\mathrm{u}}&=(-3,6)-(6,0)\\&=(-9,6)\,\mathrm N,\\|\mathbf F_{\mathrm{u}}|&=\sqrt{81+36}=\sqrt{117}\,\mathrm N\\&\approx10{,}817\,\mathrm N.\end{aligned}$$

   Elle se trouve dans le quadrant II. L’angle de référence vaut $\arctan(6/9)\approx33{,}69^\circ$; sa direction antihoraire vaut donc $180^\circ-33{,}69^\circ=146{,}31^\circ$, soit 33,69° au nord de l’ouest. Vérification : $(6,0)+(-9,6)=(-3,6)\,\mathrm N$, ce qui donne l’accélération indiquée après division par 3 kg.

6. 6. Diagnostiquer une réponse de résultante nulle

   Un palet qui se déplace vers l’est à 2 m/s subit quatre forces horizontales constantes : (3, 0), (−3, 0), (0, 4) et (0, −4) N. Un élève affirme : « La résultante pointe vers l’est à 0 N, donc le palet s’arrête. » Corrigez les affirmations sur la grandeur, la direction, l’accélération et le mouvement.

   Indice facultatif 6

   Faites les deux sommes de composantes. Distinguez un vecteur nul d’un vecteur vers l’est, puis l’accélération de la vitesse.

   Solution expliquée 6

   La résultante est $\mathbf R=(0,0)\,\mathrm N$, de grandeur 0 N et de direction indéfinie. L’accélération est $\mathbf a=(0,0)\,\mathrm{m/s^2}$. Le palet continue vers l’est à 2 m/s tant que ces hypothèses restent valides; il ne s’arrête pas. Vérification : les deux sommes de forces sont nulles, donc aucune composante de la vitesse ne change. Une valeur numérique donnée par la calculatrice pour $\operatorname{atan2}(0,0)$ ne confère pas de direction physique au vecteur nul.

7. Vérifier la méthode et choisir la suite

• Chaque force de la somme agit-elle sur le même objet?
• Avez-vous converti la référence angulaire et prévu les signes des composantes?
• Avez-vous additionné les forces une seule fois, sans ajouter encore la résultante?
• La direction annoncée correspond-elle au quadrant ou à l’axe? Avez-vous traité le vecteur nul correctement?
• Pouvez-vous substituer la réponse dans les deux équations de composantes?

Revoir votre démarche avec un tuteur

Apportez votre inventaire des forces et la première équation de composantes qui vous fait hésiter. Un tuteur peut vous aider à identifier l’objet qui subit la force, à vérifier la convention angulaire, à comparer les signes au schéma vectoriel et à localiser une erreur par substitution. Essayez ensuite vous-même un exercice avec un autre angle ou une force inconnue. Découvrez le tutorat en mécanique. Les séances sont actuellement offertes en anglais seulement.

Si le choix des interactions pose problème, revenez aux diagrammes de forces. Si un point d’application, un bras de levier ou une rotation possible compte, poursuivez avec le moment d’une force et l’équilibre statique. Ces exemples constituent une ressource thématique commune; votre plan de cours actuel détermine les modèles et les exigences d’évaluation à préparer.