Concordia MATH 203 : examen blanc de l’intra

9 questions à plusieurs parties • 100 points indicatifs • Durée de pratique suggérée : 90 minutes

Cet examen blanc porte sur une sélection de sujets des semaines 1 à 6 de MATH 203 à Concordia, à l’automne 2026.

• Faites une première tentative sans les solutions ni les liens de révision. Utilisez des feuilles séparées et montrez votre raisonnement. Donnez des réponses exactes sauf indication contraire.
• Pour une tentative chronométrée, prévoyez environ 90 minutes : 82 minutes de travail et 8 minutes de vérification. Vous pouvez aussi commencer sans limite de temps.
• Les variables et les coordonnées sont réelles et sans unité, sauf les grandeurs de position et de temps de la question 7. Les angles sont en radians. Une racine carrée est la racine réelle non négative; $\ln$ est le logarithme naturel et $e$ sa base exponentielle.
• Le symbole prime indique la dérivation par rapport à l’entrée de la fonction. Les dérivées usuelles sont bilatérales sauf indication contraire. $\mathbb R$ désigne les réels; dans la notation des intervalles employée ici, un crochet droit inclut l’extrémité et une parenthèse l’exclut.
• Les réponses exactes peuvent être obtenues sans calculatrice. Pour l’évaluation réelle, respectez les règles actuelles du cours concernant les calculatrices et les autres modalités.

Le plan officiel annonce un intra commun de 90 minutes le 1er novembre 2026 à 17 h 30, portant sur les semaines 1 à 6. L’heure de fin calculée est 19 h. Vérifiez les dernières annonces de votre enseignant et de Moodle. Source : plan de l’automne 2026, page 2.

Sujet seul

Examen blanc MATH 203 : barème et solutions expliquées

Total indicatif : 100 points. Utilisez ce barème indicatif pour vérifier votre travail. Acceptez les méthodes mathématiquement équivalentes, sauf lorsqu’une méthode est imposée. Accordez les points au raisonnement correct et comptez une même erreur de calcul reportée une seule fois si la suite du raisonnement reste valide. Utilisez les erreurs repérées pour choisir quoi retravailler.

Repérez la première étape incorrecte ou non justifiée de chaque réponse avant de consulter le lien de révision. Une réponse reconstruite à partir de la solution n’est pas encore une réussite sans aide.

1. Transformer et composer

(a) L’entrée de la racine doit satisfaire $3-x\ge0$. Le domaine est donc $( -\infty,3]$. La racine peut prendre toute valeur non négative; ainsi, $1-2\sqrt{3-x}$ prend toute valeur inférieure ou égale à 1. L’ensemble des valeurs est $( -\infty,1]$; le maximum 1 est atteint en $x=3$.

(b) Si $(u,v)$ appartient au graphique initial, on impose $3-x=u$, d’où $x=3-u$. La nouvelle hauteur est $1-2v$. La transformation des coordonnées est

On obtient $(3,1)$, $(2,-1)$ et $(-1,-3)$. La substitution de leurs abscisses dans $T$ vérifie les ordonnées.

(c) Remplacez l’entrée entière par $x^2$ :

La condition $3-x^2\ge0$ équivaut à $-\sqrt3\le x\le\sqrt3$. Les deux extrémités sont incluses, car la racine de zéro existe.

2. Inverser et résoudre

(a) Puisque $e^{-x}$ parcourt $(0,\infty)$, $F$ parcourt $( -\infty,3)$. La borne supérieure 3 n’est jamais atteinte. Si $x_1<x_2$, alors $e^{-x_1}>e^{-x_2}$; la multiplication par $-2$ inverse l’inégalité. Donc $F(x_1)<F(x_2)$, ce qui démontre sans dérivée que $F$ est strictement croissante et injective.

(b) Isolez $x$ dans $y=3-2e^{-x}$ :

En échangeant les noms de l’entrée et de la sortie,

Son domaine est $( -\infty,3)$, l’ensemble des valeurs de $F$. Son ensemble des valeurs est $\mathbb R$, le domaine de $F$. L’argument du logarithme est positif exactement lorsque $x<3$.

(c) Les arguments des logarithmes doivent être positifs : $3-u>0$ et $1+u>0$, donc $-1<u<3$. Sur ce domaine, la règle du logarithme d’un produit donne

L’injectivité du logarithme sur les arguments positifs donne $6-2u=1+u$, puis $u=5/3$. Cette valeur respecte les restrictions. Les deux membres de l’équation initiale valent alors $\ln(8/3)$.

3. Lire la structure trigonométrique

(a) Écrivez l’argument sous la forme $2(x-\pi/6)$. L’amplitude est 2, la période vaut $2\pi/2=\pi$, et le décalage horizontal est de $\pi/6$ vers la droite.

(b) L’équation devient $\cos(2x-\pi/3)=1/2$. Posez $\theta=2x-\pi/3$. L’intervalle imposé devient

Les angles de cet intervalle dont le cosinus vaut $1/2$ sont $-\pi/3$, $\pi/3$ et $5\pi/3$. En résolvant $x=(\theta+\pi/3)/2$, on obtient

Les deux extrémités sont des solutions et doivent être conservées. On peut aussi utiliser $\theta=2k\pi\pm\pi/3$, avec $k$ entier, puis garder les valeurs appartenant à l’intervalle.

4. Lire un graphique

(a) Le point plein d’abscisse $x=0$ est $(0,1)$, donc $g(0)=1$. La branche gauche tend vers la hauteur 2 et la branche droite vers la hauteur $-1$ :

Les limites unilatérales diffèrent, donc la limite bilatérale n’existe pas. La valeur isolée 1 ne change aucune de ces limites.

(b) Les deux segments adjacents tendent vers $(2,1)$, donc la limite bilatérale vaut 1. Le point plein est $(2,3)$, d’où $g(2)=3$. La limite et la valeur diffèrent : $g$ n’est pas continue en 2.

(c) La dérivabilité exigerait la continuité; la seule valeur de remplacement possible est donc 1. Avec cette valeur, la nouvelle fonction est continue en 2. Toutefois, les limites des quotients de différences à gauche et à droite sont les pentes des segments :

Ces pentes diffèrent : il y a un point anguleux. Aucun choix de la seule valeur en 2 ne rend donc la fonction dérivable en ce point; tout autre choix échoue déjà à assurer la continuité.

5. Limites et asymptotes

(a) L’expression exige $x\ge-1/3$ et $x\ne0$. Au voisinage de 0, sans le point 0, multipliez par le conjugué :

La simplification utilise $x\ne0$. L’expression obtenue tend vers $3/2$. La forme initiale $0/0$ est indéterminée; ce n’est pas la limite.

(b) Sortez le facteur $x^2$ de la racine en conservant $\sqrt{x^2}=|x|$. Pour $x<0$, $|x|=-x$, donc

Lorsque $x\to-\infty$, le numérateur tend vers $-2$ et le dénominateur vers 1. La limite est $-2$. Ce signe concorde avec un numérateur positif et un dénominateur négatif pour les grandes valeurs négatives de l’entrée.

(c) La factorisation donne

Le domaine initial est $\mathbb R\setminus\{-1,2\}$. Sur ce domaine,

Près de 2, le numérateur de la fraction réduite est positif. Le dénominateur tend vers zéro par valeurs négatives à gauche et positives à droite :

Ainsi, $x=2$ est la seule asymptote verticale. À l’autre entrée exclue,

Il y a une discontinuité amovible (un trou) en $(-1,2/3)$, et non une asymptote verticale. Enfin, $1/(x-2)\to0$ aux deux infinis; $y=1$ est donc l’asymptote horizontale dans les deux directions. Aucun autre zéro du dénominateur ni aucune autre limite aux infinis n’ajoute d’asymptote verticale ou horizontale.

6. Deux affirmations sur les zéros

(a) Posez $H(x)=x^3-2x-2$. Ce polynôme est continu sur tout l’intervalle fermé $[1,2]$. Aux extrémités,

Zéro se trouve strictement entre ces valeurs. Le théorème des valeurs intermédiaires assure donc l’existence d’au moins un $c\in(1,2)$ tel que $H(c)=0$. Ce raisonnement établit l’existence, mais ne démontre pas à lui seul l’unicité.

(b) Les valeurs aux extrémités sont bien $r(0)=-1$ et $r(2)=1$. Toutefois, le théorème des valeurs intermédiaires exige la continuité sur tout l’intervalle fermé $[0,2]$. La fonction n’est pas définie en 1 : cette condition n’est pas satisfaite.

L’échec d’une hypothèse du théorème ne prouverait pas, à lui seul, l’absence de zéro. Ici, on peut trancher directement : $1/(x-1)=0$ est impossible pour toute entrée admissible, puisque le numérateur est la constante non nulle 1. L’affirmation est donc fausse et $r$ ne possède aucun zéro dans $(0,2)$, ni ailleurs dans son domaine.

7. Position et taux de variation

(a) Les positions aux extrémités sont $s(0)=0$ m et $s(2)=3$ m. La vitesse moyenne vaut

On compare une variation de position à une variation de temps; on ne calcule pas la moyenne des deux positions.

(b) Prenez des accroissements de temps $h$ non nuls et proches de 0. Près de $t=2$, les accroissements positifs et négatifs sont permis tout en conservant $2+h\ge0$. Comme $s(2)=3$, le quotient numérique est

En mettant le numérateur au même dénominateur, on obtient

Le passage à la limite donne

La simplification précède le passage à la limite; substituer $h=0$ dans le quotient initial donnerait la forme indéterminée $0/0$.

(c) Le point du graphique est $(2,3)$, avec le temps en secondes et la position en mètres. La tangente est

Sa pente est la vitesse instantanée, soit $3/4$ de mètre par seconde. Le signe positif indique que la particule se déplace dans le sens positif choisi à cet instant. La pente est un taux, pas la position de 3 m. Elle n’est pas nécessairement égale à la vitesse moyenne des deux secondes précédentes.

8. Dériver trois fonctions

(a) Les deux facteurs sont $v(x)=e^{-x^2}$ et $w(x)=\sin(3x)$. La règle du produit donne $A'=v'w+vw'$. Appliquez la règle de la chaîne dans chaque facteur :

L’exponentielle de base e conserve sa forme à la dérivation, puis reçoit la dérivée intérieure $-2x$. Le sinus reçoit la dérivée intérieure 3. Les deux contributions donnent une seule dérivée :

De façon équivalente,

La fonction et sa dérivée sont définies pour toute entrée réelle; leurs domaines sont donc tous deux $\mathbb R$.

(b) Avec le numérateur $v=x^3+2$ et le dénominateur $w=x^2+1$, la règle du quotient donne

Ici, $v'=3x^2$ et $w'=2x$, donc

Le numérateur simplifié équivalent est $x^4+3x^2-4x$. Puisque $x^2+1>0$ pour tout réel $x$, les deux domaines sont $\mathbb R$.

(c) La fonction initiale exige $5-x^2\ge0$, ce qui donne le domaine fermé $[-\sqrt5,\sqrt5]$. Aux points intérieurs, la règle de la chaîne donne

Cette formule est définie pour $-\sqrt5<x<\sqrt5$. Les extrémités appartiennent au domaine de la fonction initiale, mais pas à celui de sa dérivée usuelle bilatérale. Le domaine de la dérivée est donc $(-\sqrt5,\sqrt5)$.

9. Une courbe implicite

(a) En $(1,2)$, $1^2(2)+2^3=2+8=10$; le point appartient donc à la courbe. Notez $y'=dy/dx$ et dérivez avant de substituer le point :

Le produit $x^2y$ fournit les deux termes $2xy$ et $x^2y'$. La règle de la chaîne fournit $y'$ lors de la dérivation de $y^3$. En regroupant,

Pour des coordonnées réelles, $x^2+3y^2$ s’annule seulement en $(0,0)$. Ce point ne satisfait pas l’équation de la courbe. Le dénominateur est donc strictement positif en tout point de cette courbe; la division ne fait perdre aucun de ses points.

(b) En $P$, la pente est

La droite tangente est

Elle passe par $P$; sa pente satisfait aussi l’équation dérivée $4+13y'=0$ en ce point.

(c) Une tangente horizontale exige $y'=0$. Le dénominateur étant non nul, il faut $xy=0$. Examinons les deux possibilités. Si $y=0$, l’équation initiale devient $0=10$, ce qui est impossible. Si $x=0$, elle donne $y^3=10$, donc $y=\sqrt[3]{10}$.

Le seul point est ainsi $(0,\sqrt[3]{10})$. Le dénominateur de sa dérivée vaut $3(\sqrt[3]{10})^2>0$ et le numérateur vaut zéro, ce qui confirme la tangente horizontale. Les deux cas de $xy=0$ ont été vérifiés.

Notions abordées

Le sujet échantillonne les fonctions et leurs transformations, les fonctions trigonométriques/exponentielles/réciproques/logarithmiques élémentaires, les taux et les tangentes, les limites unilatérales et aux infinis, la continuité, la définition de la dérivée et les règles du produit, du quotient, de la chaîne et de dérivation implicite. Un seul sujet ne peut évaluer toutes les compétences possibles de ces thèmes.

La séquence officielle place les dérivées des fonctions réciproques/logarithmiques et les fonctions trigonométriques réciproques en semaine 7, puis les taux liés et la linéarisation en semaine 8. Ces thèmes ultérieurs ne font pas partie de ce sujet. La dérivation exponentielle de base e est incluse avec les règles du produit et de la chaîne. Vérifiez toute règle supplémentaire dans le travail assigné par votre enseignant.

Plan de cours : sujets par semaine pour l’automne 2026, page 3, et sujets ultérieurs, page 4.