Condensateurs : charge, tension et énergie stockée

1. Distinguer quatre grandeurs

Nous utilisons le modèle d’un condensateur idéal, linéaire, à deux bornes, dont les plaques portent des charges opposées. La capacité $C>0$ est constante tant que la géométrie et le matériau isolant ne changent pas. On néglige les fuites (pertes de charge), le claquage (l’isolant devient conducteur lorsque le champ électrique est trop intense) et les capacités parasites entre les pièces voisines. Les résultats décrivent l’équilibre du réseau : son état final après l’arrêt des courants de charge.

• Charge : $q_a$ est la charge algébrique sur la plaque reliée à la borne a; l’autre plaque porte $-q_a$. L’unité est le coulomb, $\mathrm C$.
• Tension : $v=V_a-V_b$ est une différence de potentiel orientée entre deux bornes, en volts. Changer le zéro des potentiels ne change pas cette différence.
• Capacité : $C$ relie la charge à la tension. Elle se mesure en farads, $1\,\mathrm F=1\,\mathrm C/\mathrm V$.
• Énergie stockée : $U$ est l’énergie électrique du condensateur, en joules. Ce n’est ni une charge ni une tension.

$$q_a=Cv$$

Pour les exemples à polarité positive, nous écrirons $Q=|q_a|$ et $V=|v|$, donc $Q=CV$. Un condensateur « chargé à $Q$ » porte $+Q$ sur une plaque et $-Q$ sur l’autre. Sa charge nette est nulle; $Q$ n’est pas la somme des valeurs absolues des deux charges.

À éviter : la capacité n’est pas une charge maximale. Dans ce modèle linéaire, doubler la tension double la charge sans changer $C$. Un composant réel possède aussi une tension nominale et des limites de fonctionnement; nous ne les calculons pas ici.

2. Relier l’énergie à la charge et à la tension

Quand on charge progressivement un condensateur à capacité fixe depuis l’état déchargé, sa tension augmente de zéro à $V$. Les dernières petites quantités de charge sont déplacées à travers une tension plus élevée que les premières. La tension moyenne par rapport à la charge transférée, et non par rapport au temps, est $V/2$. L’énergie stockée vaut donc :

$$U=\frac12 QV$$

$$U=\frac12 CV^2=\frac{Q^2}{2C}$$

Ces trois expressions décrivent le même état. Choisissez celle qui utilise la grandeur imposée. L’énergie reste positive si on inverse la polarité : sous forme algébrique, $U=\tfrac12 Cv^2$.

Attention au système : cette formule donne l’énergie finalement stockée, pas nécessairement toute l’énergie fournie par une source. Une résistance peut aussi recevoir de l’énergie pendant la charge. Ne posez pas automatiquement « travail de la pile = énergie du condensateur ».

3. Déterminer ce que la connexion impose

• Source de tension idéale toujours branchée : la source impose la différence de potentiel. Elle peut fournir ou reprendre de la charge. Si $C$ change, calculez la nouvelle charge avec $Q=CV$.
• Deux bornes débranchées et isolées : aucune charge ne peut entrer dans une plaque ou en sortir. Sans fuite ni autre connexion, la charge de chaque plaque reste fixe. Si $C$ change, calculez la nouvelle tension avec $V=Q/C$.
• Plusieurs condensateurs reliés entre eux, sans source : les plaques reliées peuvent échanger de la charge. C’est la charge algébrique totale de chaque groupe conducteur isolé qui se conserve, pas nécessairement celle de chaque plaque.

Le mot « isolé » doit désigner un système précis. Un réseau complet peut être isolé de l’extérieur alors que la charge se redistribue à l’intérieur. De même, l’absence de pile ne garantit pas la conservation de l’énergie stockée : une résistance peut chauffer et une force extérieure peut déplacer les plaques.

4. Reconnaître le parallèle et la série par les nœuds

Un nœud regroupe les points reliés par des fils idéaux, au même potentiel à l’équilibre. Redessiner un fil sans changer ses connexions ne change pas le réseau. La position des symboles sur la page ne suffit pas à décider « série » ou « parallèle ».

Parallèle : deux nœuds communs

Si les deux condensateurs sont branchés entre les mêmes nœuds a et b, ils partagent la même tension orientée $v$. Les charges des plaques reliées au nœud a s’additionnent algébriquement :

$$q_{a,\mathrm{tot}}=C_1v+C_2v$$

$$C_{\mathrm{eq}}=C_1+C_2$$

À tension identique, la plus grande capacité porte la plus grande valeur absolue de charge et stocke le plus d’énergie. La capacité équivalente est supérieure à chacune des capacités positives.

Série : un nœud intermédiaire isolé et neutre

Considérez a, puis $C_1$, puis b, puis $C_2$, puis c. Le nœud b ne doit comporter aucune autre branche. Pour utiliser la règle « même charge », il faut aussi que le conducteur intermédiaire, formé des deux plaques et de leur fil, ait une charge nette initiale nulle et ne puisse échanger de charge avec l’extérieur.

Avec une polarité positive de a vers c, la plaque intérieure de $C_1$ porte $-Q_1$ et celle de $C_2$ porte $+Q_2$. La neutralité impose $-Q_1+Q_2=0$, donc $Q_1=Q_2=Q$. Les tensions s’additionnent :

$$V=\frac Q{C_1}+\frac Q{C_2}$$

$$\frac1{C_{\mathrm{eq}}}=\frac1{C_1}+\frac1{C_2}$$

La capacité équivalente est inférieure à la plus petite capacité. À charge identique, la plus petite capacité reçoit la plus grande tension et stocke le plus d’énergie, puisque $V=Q/C$ et $U=Q^2/(2C)$.

Limite importante : si le nœud intermédiaire a une charge nette conservée $q_b\ne0$, utilisez les charges orientées $q_1=C_1(V_a-V_b)$ et $q_2=C_2(V_b-V_c)$. L’équation est alors $-q_1+q_2=q_b$, et les charges orientées ne sont pas égales. Il faut conserver cette contrainte au lieu d’appliquer aveuglément la règle usuelle. De la charge n’a pas besoin de traverser l’isolant d’un condensateur pour se redistribuer sur le conducteur intermédiaire.

5. Réduire un réseau, puis retrouver chaque condensateur

Exemple 2 : un bloc parallèle dans une association en série

Une source impose $12\,\mathrm V$ entre A et D. Les condensateurs $C_1=3\,\mu\mathrm F$ et $C_2=6\,\mu\mathrm F$ sont en parallèle entre A et B. Ce bloc est en série avec $C_3=18\,\mu\mathrm F$, entre B et D. Tous sont initialement déchargés, et B n’a aucune autre connexion. Trouvez les tensions, les charges et l’énergie totale à l’équilibre.

Étape A : réduire depuis le bloc intérieur

$$C_{12}=(3+6)\,\mu\mathrm F$$

$$C_{12}=9\,\mu\mathrm F$$

$$C_{\mathrm{eq}}=\frac{9\times18}{9+18}\,\mu\mathrm F$$

$$C_{\mathrm{eq}}=6\,\mu\mathrm F$$

Vérifiez le sens du résultat : $C_{12}>6\,\mu\mathrm F$ pour le parallèle, puis $C_{\mathrm{eq}}<9\,\mu\mathrm F$ pour la série.

Étape B : remonter du réseau aux branches

$$Q=C_{\mathrm{eq}}V=72\,\mu\mathrm C$$

$$V_{AB}=\frac{72}{9}\,\mathrm V=8\,\mathrm V$$

$$V_{BD}=\frac{72}{18}\,\mathrm V=4\,\mathrm V$$

Le bloc $C_{12}$ et $C_3$ portent la même valeur absolue de charge. À l’intérieur du bloc parallèle, les deux condensateurs ont plutôt la même tension :

$$Q_1=(3\times8)\,\mu\mathrm C$$

$$Q_1=24\,\mu\mathrm C$$

$$Q_2=(6\times8)\,\mu\mathrm C$$

$$Q_2=48\,\mu\mathrm C$$

$$Q_3=72\,\mu\mathrm C$$

Vérifications : $(8+4)\,\mathrm V=12\,\mathrm V$ et $Q_1+Q_2=Q_3$. Au nœud B, les charges algébriques sont $(-24-48+72)\,\mu\mathrm C=0$. La neutralité est respectée. Dire « les trois condensateurs sont en série, donc chacun porte 72 microcoulombs » aurait manqué la dérivation en parallèle.

Étape C : vérifier l’énergie de deux façons

$$U_1=96\,\mu\mathrm J$$

$$U_2=192\,\mu\mathrm J$$

$$U_3=144\,\mu\mathrm J$$

$$U_{\mathrm{tot}}=432\,\mu\mathrm J$$

$$\frac12 C_{\mathrm{eq}}V^2=432\,\mu\mathrm J$$

La somme des énergies individuelles concorde avec celle du condensateur équivalent. Additionner les valeurs absolues des charges sur toutes les plaques ne donnerait ni la charge fournie à une borne du réseau ni son énergie.

6. Écarter les plaques : même changement, deux contraintes

Pour de grandes plaques parallèles dans le vide, séparées par une petite distance $d$ devant leurs dimensions latérales, on néglige les effets de bord :

$$C=\frac{\varepsilon_0 A}{d}$$

Ici, $\varepsilon_0$ est la permittivité du vide, d’environ $8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$. L’aire $A$ est celle d’une plaque. Doubler $d$ à aire constante divise la capacité par deux, à condition que l’approximation reste valable. La géométrie détermine ce changement de capacité; la connexion détermine ce qui arrive ensuite à $Q$, $V$ et $U$.

7. Relier deux condensateurs : conserver la charge, suivre l’énergie

Deux condensateurs à capacités fixes sont séparés de toute source. On relie leurs bornes a entre elles à travers une résistance positive finie, puis leurs bornes b entre elles. On attend l’équilibre. On néglige les fuites vers l’extérieur, l’inductance, le rayonnement et tout mouvement des plaques. La résistance permet au courant transitoire de décroître en dissipant de l’énergie.

Les tensions initiales $v_1$ et $v_2$ utilisent toutes deux le sens a moins b. Le groupe des plaques a conserve sa charge algébrique totale. À l’équilibre, la tension commune est $v_f$ :

$$q_{a,\mathrm{tot}}=C_1v_1+C_2v_2$$

$$q_{a,\mathrm{tot}}=(C_1+C_2)v_f$$

$$v_f=\frac{C_1v_1+C_2v_2}{C_1+C_2}$$

La tension finale est une moyenne pondérée par les capacités; ce n’est une simple moyenne arithmétique que si les capacités sont égales. Le groupe des plaques b porte la charge opposée. Dire seulement « la charge totale des deux condensateurs est nulle » ne suffit pas à trouver la tension finale.

8. Essayer six exercices progressifs

Faites d’abord votre propre schéma et nommez la contrainte. Ouvrez l’indice seulement si nécessaire, puis comparez le raisonnement de la solution.

Atelier facultatif : charge et décharge d’un condensateur

Les sections précédentes comparent des états initial et final. Une résistance détermine aussi la rapidité du passage entre ces états. Utilisez cet atelier si votre cours d’électricité aborde les régimes transitoires RC. Il faut connaître les exponentielles, le logarithme naturel et la relation $q=Cv$. La vérification facultative de l’équation utilise une dérivée; les exemples et les exercices peuvent se résoudre par l’algèbre.

Il s’agit de modèles pédagogiques originaux, et non de consignes de montage ou de manipulation de circuits électriques. On utilise un condensateur linéaire idéal de capacité constante $C>0$, une résistance $R>0$ et une source idéale de tension constante après chaque commutation. On néglige les fuites, l’inductance et la résistance interne de la source. Un circuit plus complexe exige de justifier son propre modèle; n’insérez pas une résistance arbitraire dans ces formules.

1. Conserver la polarité et le sens de référence

Nommons a (+) et b (−) les bornes repérées du condensateur et définissons $v=V_a-V_b$. Ces signes définissent la mesure, sans garantir que $v$ soit positive. Le courant $i$ est positif lorsqu’il entre par a. Dans la boucle de charge, la source produit une hausse de potentiel $V_s$ en partant de b et en traversant la source; le courant passe ensuite dans R vers a. La loi des mailles donne $V_s-Ri-v=0$. Avec cette convention, $i=C\,dv/dt$.

Pour la décharge, on retire la source et on relie R aux bornes du condensateur pour fermer la boucle. On conserve le sens de référence entrant par a. La même équation s’applique avec $V_s=0$, donc $i=-v/R$. Un résultat négatif signifie que le courant conventionnel réel sort de l’armature initialement positive. Ce n’est pas une erreur à supprimer.

On fixe $t=0$ à la commutation et $V_0=v(0)$. Avec R finie et une tension de source finie, la tension du condensateur reste continue pendant la commutation. Son courant peut changer brusquement. La tension atteinte avant la commutation devient la tension initiale de l’intervalle suivant : elle ne redevient pas automatiquement nulle.

2. Partir de la valeur finale et de l’écart initial

La constante de temps est $\tau=RC$, en secondes lorsque R est en ohms et C en farads. Comme $\Omega\cdot\mathrm F=\mathrm s$, $1\,\mathrm{k\Omega}\times1\,\mu\mathrm F=10^{-3}\,\mathrm s$, et non une seconde.

Pour $t\ge0$, tant que le circuit ne change pas :

$$v(t)=V_s+(V_0-V_s)e^{-t/\tau}.$$

$$i(t)=\frac{V_s-V_0}{R}e^{-t/\tau},\qquad q(t)=Cv(t).$$

Vérifiez les deux limites avant de calculer : $v(0)=V_0$, $v(t)\to V_s$ et $i(t)\to0$ lorsque $t\to\infty$. Après une constante de temps, l’écart à la valeur finale vaut $e^{-1}\approx0{,}368$ fois l’écart initial. La tension a effectué environ 63,2 % de sa variation totale. Cela représente 63,2 % de la tension finale seulement si $V_0=0$. Si $V_0>V_s$, la tension diminue vers celle de la source et le courant algébrique est négatif.

Vérification facultative de l’équation : la loi des mailles et la relation du condensateur donnent $RC\,dv/dt+v=V_s$. En dérivant la tension proposée, on obtient $RC\,dv/dt=-(V_0-V_s)e^{-t/\tau}$; en ajoutant v, il reste $V_s$. La formule respecte aussi la condition initiale : les deux éléments du modèle sont vérifiés.

Trouver l’instant d’un seuil : si la tension visée $V_*$ se trouve strictement entre $V_0$ et $V_s$, utilisez

$$t=-\tau\ln\!\left(\frac{V_*-V_s}{V_0-V_s}\right).$$

L’argument du logarithme est un nombre sans unité entre 0 et 1. La valeur initiale correspond à t = 0; la valeur finale est approchée, mais n’est atteinte à aucun instant fini dans ce modèle idéal si $V_0\ne V_s$. Un seuil à l’extérieur de cet intervalle n’est jamais atteint. Si $V_0=V_s$, la tension reste constante et la formule d’instant ci-dessus ne s’applique pas.

5. Essayer six exercices avec moins d’aide

Gardez les unités et les conventions de signe bien visibles. Prévoyez les états initial et final avant d’ouvrir chaque solution. Les données décrivent des expériences idéalisées distinctes, sauf si une commutation est explicitement indiquée.

6. Vérifier le modèle avant de choisir la formule

• Identifiez un intervalle où le circuit reste inchangé, sa tension finale et la tension initiale du condensateur.
• Calculez RC avec des unités cohérentes. L’exposant et l’argument du logarithme doivent être sans unité.
• Vérifiez les limites initiale et à long terme ainsi que le sens du courant algébrique.
• Utilisez 63,2 % de la variation totale de tension, pas automatiquement 63,2 % de la tension finale.
• Élevez le facteur de tension au carré pour l’énergie stockée; ne réutilisez pas le temps de demi-décroissance de la tension.
• Repartez à t = 0 après une commutation en conservant la tension du condensateur.

Pour les signes de l’équation de maille, revenez à la loi des mailles de Kirchhoff. Pour une autre présentation du modèle standard, consultez OpenStax, University Physics Volume 2, §10.5 : circuits RC. Les exemples, valeurs et exercices de cet atelier sont des créations originales de Nablio. Le niveau et les évaluations dépendent de votre plan de cours actuel.

9. Vérifier la méthode avant le calcul

• Marquez les nœuds et la polarité des tensions. N’identifiez pas les associations à partir de leur seule apparence.
• Écrivez « tension fixée par la source », « charge de chaque plaque fixe » ou « charge du groupe isolé conservée ». Précisez quel groupe.
• En série, justifiez la neutralité du nœud intermédiaire avant d’égaliser les charges. En parallèle, vérifiez les deux nœuds communs.
• Réduisez le réseau, puis remontez vers chaque composant. Un bloc parallèle peut porter une charge totale différente de celle de chaque branche.
• Contrôlez les unités, la somme des tensions et les charges algébriques aux nœuds isolés. Comparez les énergies par deux calculs quand c’est possible.
• N’imposez pas la conservation de l’énergie des seuls condensateurs si une source, une résistance ou une force mécanique échange de l’énergie avec eux.

Pour revoir la différence entre potentiel et énergie, consultez Champ et potentiel électriques. Pour les signes des tensions dans des circuits résistifs stationnaires, poursuivez avec les lois de Kirchhoff. Pour l’évolution temporelle, utilisez l’atelier facultatif sur la charge et la décharge RC ci-dessus.

10. Références et lien avec le cours

Cours : PHYS 205 — Electricity and Magnetism à Concordia.

Pour consulter d’autres explications des principes, voir University Physics, Volume 2, OpenStax. Les énoncés, valeurs numériques et figures de ce guide ont été créés pour Nablio; ils ne reproduisent pas des exercices ou des examens de cours.

• 8.1 — Condensateurs et capacité
• 8.2 — Associations en série et en parallèle
• 8.3 — Énergie stockée dans un condensateur