Lois de Kirchhoff : signes et circuits résolus

1. Séparer trois choix dès le départ

Les lois de Kirchhoff permettent de passer d’un schéma de circuit à des équations. La difficulté se trouve souvent dans le premier signe, avant tout calcul. Une mise en équations fiable distingue le sens de référence du courant, le sens de parcours d’une maille et la polarité indiquée sur chaque source de tension. Une fois ces éléments fixés, chaque terme se justifie.

À la fin de cette leçon, vous devriez pouvoir écrire une équation de nœud, construire une équation de maille composant par composant et expliquer un courant négatif sans modifier le circuit. Il faut connaître la loi d’Ohm et savoir résoudre des équations linéaires simples. Les exemples supposent des fils idéaux, des résistances positives qui suivent la loi d’Ohm, des sources de tension idéales et un régime permanent en courant continu. Les courants et les tensions des sources sont constants; la résistance des fils et la résistance interne des sources sont négligées. Ce modèle ne comporte ni condensateur en cours de charge, ni régime transitoire de commutation, ni flux magnétique variable à travers les mailles.

• Sens de référence du courant : choisissez une flèche pour chaque courant de branche inconnu. Un résultat positif suit la flèche; un résultat négatif va en sens inverse. Il s’agit du courant conventionnel, orienté dans le sens où se déplaceraient des charges positives.
• Sens de parcours de la maille : choisissez l’un des deux sens d’un trajet fermé. Ce parcours sert à comptabiliser les variations de potentiel; il ne représente pas un courant supplémentaire. Vous pouvez parcourir une branche à contre-courant.
• Polarité de la source : recopiez les bornes + et − du schéma. Le choix d’une flèche ne modifie pas ces bornes. Dans le symbole d’une pile, le trait le plus long représente la borne positive.

Un nœud est une région reliée par des fils idéaux, à un même potentiel. Une jonction est un endroit où les courants peuvent se séparer ou se rejoindre. Une branche est un trajet entre des jonctions; les composants en série sur ce trajet sont parcourus par le même courant. Une maille est un trajet fermé qui ramène au point de départ.

2. Équilibrer les courants à un nœud

En régime permanent, la charge ne s’accumule pas à une jonction. La loi des nœuds de Kirchhoff, appelée KCL en anglais, impose donc l’égalité suivante :

Somme des courants entrants = somme des courants sortants.

Si la flèche de I₁ entre dans la jonction et que celles de I₂ et I₃ en sortent, écrivez

$I_1-I_2-I_3=0$.

Les grandeurs I₁, I₂ et I₃ sont des courants signés, exprimés en ampères (A). On peut aussi écrire I₁ = I₂ + I₃. Conservez la convention des flèches lorsque vous remplacez une inconnue par un résultat négatif. L’équation exprime la conservation de la charge : une résistance ne « consomme » pas le courant. Le même courant permanent entre dans une résistance et en sort; de l’énergie électrique peut y être transformée en énergie thermique.

Il est même possible de choisir toutes les flèches de référence sortantes à un nœud. La somme signée des courants vaut alors zéro. Sauf si tous les courants sont nuls, au moins un résultat doit être négatif. Il indique la branche qui apporte réellement du courant au nœud.

3. Attribuer les hausses et les baisses de potentiel

Notons V le potentiel électrique, exprimé en volts (V). Pour chaque étape, la variation de potentiel est la valeur finale moins la valeur initiale :

$\Delta V=V_{\text{après}}-V_{\text{avant}}$.

La loi des mailles de Kirchhoff, appelée KVL en anglais, indique que la somme algébrique de ces variations est nulle lorsqu’on revient au point de départ. Une variation ΔV positive est une hausse; une variation négative est une baisse. Pour une résistance, R désigne sa valeur en ohms (Ω), et I son courant de référence signé. Pour une source idéale, ℰ désigne la valeur positive de sa tension.

Pour une résistance, on utilise la flèche de référence, même si I s’avère ensuite négatif. Par exemple, −IR devient une variation de potentiel positive lorsque I est négatif. Dans le sens réel du courant conventionnel à travers une résistance positive, le potentiel diminue. En revanche, le signe d’une source dépend des bornes traversées, indépendamment de la flèche du courant.

Unités : une équation de maille additionne des volts; une équation de nœud additionne des ampères. Comme A × Ω = V, le produit IR possède bien l’unité d’une variation de potentiel. Convertissez les préfixes avant de remplacer les valeurs : 1 kΩ = 1000 Ω et 1 mA = 0,001 A. Par exemple, 6 V ÷ 1500 Ω = 0,004 A = 4 mA.

4. Écrire les équations avant de calculer

1. Lisez les connexions. Repérez les jonctions et les polarités fixes des sources. Un coude dans un fil n’ajoute aucun composant.
2. Choisissez les flèches des courants. Utilisez une inconnue signée par branche et conservez sa flèche partout où elle intervient.
3. Écrivez le bilan au nœud. Choisissez les courants entrants positifs ou les courants sortants positifs, puis gardez cette convention.
4. Choisissez assez de mailles indépendantes. Précisez le trajet et le sens de parcours de chacune. Énumérez les composants traversés dans l’ordre.
5. Résolvez les équations simultanément. Parcourir une maille en sens inverse donne l’opposé de la même équation, pas une équation indépendante supplémentaire.
6. Interprétez et vérifiez. Donnez les sens physiques des courants, puis remplacez les inconnues par leurs valeurs signées dans les équations initiales des nœuds et des mailles.

Une équation est « indépendante » si elle apporte une information qui ne découle pas des autres. Dans le circuit à trois branches ci-dessous, une équation de nœud et deux équations de mailles indépendantes suffisent pour les trois courants inconnus. L’équation de l’autre nœud répéterait le même bilan de courant.

5. Exemple résolu avec deux sources en opposition

Cette maille unique comporte une source de 12 V à gauche, une source de 4 V à droite, une résistance supérieure R₁ = 2 Ω et une résistance inférieure R₂ = 6 Ω. Les deux sources ont leur borne positive en haut. Déterminez le courant permanent. Les données de cette leçon sont des valeurs choisies pour un modèle idéal; conservez les fractions exactes jusqu’au résultat final.

Choisir les références et écrire la maille

Choisissez I dans le sens horaire. Parcourez D → A → B → C → D, également dans le sens horaire. Depuis D : traversez la source de gauche de − vers +, R₁ dans le sens de I, la source de droite de + vers −, puis R₂ dans le sens de I. En notant ℰ₁ et ℰ₂ les valeurs positives des tensions des sources, on obtient

$+\mathcal{E}_1-IR_1-\mathcal{E}_2-IR_2=0$.

$12\,\mathrm{V}-I(2\,\Omega)-4\,\mathrm{V}-I(6\,\Omega)=0\,\mathrm{V}$.

Réorganisez avant de diviser : I(R₁ + R₂) = ℰ₁ − ℰ₂. Ainsi, I = 8 V ÷ 8 Ω = 1 A dans le sens horaire. Dans ce parcours, les sources s’opposent; additionner 12 V et 4 V reviendrait à ignorer leurs polarités.

Vérifier le résultat de deux façons

La maille initiale donne 12 − 2 − 4 − 6 = 0, tous les termes étant en volts. Fixez le potentiel de référence en D à 0 V. En suivant le même trajet, les potentiels sont A : 12 V, B : 10 V, C : 6 V, puis D : 0 V. Le choix de la référence fixe les potentiels indiqués sans changer les courants.

Parcourez maintenant D → C → B → A → D en conservant la même flèche de courant horaire. Les deux résistances sont traversées à l’encontre de I, et le sens de traversée des deux sources s’inverse :

$+IR_2+\mathcal{E}_2+IR_1-\mathcal{E}_1=0$.

En remplaçant les valeurs, on obtient 6 + 4 + 2 − 12 = 0 V. Inverser le parcours a changé tous les signes, sans changer le résultat physique.

6. Exemple résolu avec un courant de branche négatif

Relions maintenant A et B par trois branches. La branche 1 contient R₁ = 2 Ω en série avec une source de 12 V. La branche 2 contient R₂ = 4 Ω en série avec une source de 6 V. La branche 3 contient seulement R₃ = 4 Ω. Les deux sources ont leur borne positive au-dessus de leur borne négative. Déterminez les trois courants permanents.

Conserver les trois courants de référence vers le bas

Choisissez I₁, I₂ et I₃ de A vers B, comme sur le schéma. L’équation du nœud A est

$I_1+I_2+I_3=0$. (1)

Posons ℰ₁ = 12 V et ℰ₂ = 6 V. Pour la première maille, descendez par la branche 1 et remontez par la branche 2. Les traversées des résistances sont orientées différemment par rapport à leurs flèches :

$-R_1I_1-\mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2+R_2I_2=0$. (2)

Pour la deuxième maille, descendez par la branche 2 et remontez par la branche 3 :

$-R_2I_2-\mathcal{E}_2+R_3I_3=0$. (3)

Le signe des sources vient de leurs bornes. En descendant par la branche 1 ou 2, on traverse la source de + vers −; en remontant par la branche 2, on la traverse de − vers +.

Calculer seulement une fois les signes fixés

Avec les données, l’équation (2) devient −(2 Ω)I₁ + (4 Ω)I₂ − 6 V = 0 V. On en tire I₁ = 2I₂ − 3 A. L’équation (3) donne I₃ = I₂ + 1,5 A. Remplacez ces deux expressions dans l’équation (1) :

$(2I_2-3\,\mathrm{A})+I_2+(I_2+1{,}5\,\mathrm{A})=0\,\mathrm{A}$.

On obtient 4I₂ = 1,5 A. Les résultats signés sont

• I₁ = −2,25 A : courant réel de 2,25 A de B vers A, vers le haut dans la branche 1.
• I₂ = +0,375 A : courant réel de 0,375 A de A vers B, vers le bas dans la branche 2.
• I₃ = +1,875 A : courant réel de 1,875 A de A vers B, vers le bas dans la branche 3.

Le signe négatif de I₁ indique un sens, pas un échec du calcul. Conservez-le dans toutes les vérifications utilisant les flèches initiales. Si vous redessinez sa flèche vers le haut, attribuez un nouveau symbole à cette référence et réécrivez les équations concernées.

Vérifier le nœud et les deux mailles

• Nœud A, en ampères : −2,25 + 0,375 + 1,875 = 0.
• Maille (2), en volts : +4,5 − 12 + 6 + 1,5 = 0.
• Maille (3), en volts : −1,5 − 6 + 7,5 = 0.

Pour une deuxième vérification, définissons U = V_A − V_B, le potentiel de A par rapport à B. Ici, U désigne une tension, pas une énergie. Un parcours de A vers B donne donc ΔV = −U. Chaque branche complète doit donner la même valeur de U :

$U=R_1I_1+\mathcal{E}_1=R_2I_2+\mathcal{E}_2=R_3I_3$.

Numériquement, −4,5 + 12 = 1,5 + 6 = 7,5 V. Une autre méthode consiste à écrire l’équation fondée sur les potentiels des nœuds (U − 12 V)/(2 Ω) + (U − 6 V)/(4 Ω) + U/(4 Ω) = 0 A. Elle donne aussi U = 7,5 V et vérifie donc le résultat sans reprendre l’élimination utilisée dans les mailles.

Si B est à 0 V, A est à 7,5 V. La connexion entre R₁ et la source de 12 V se trouve à 12 V. Le courant réel dans R₁ va donc vers le haut, du potentiel 12 V vers le potentiel 7,5 V. Cela confirme le sens associé au résultat négatif de I₁. Remarquez aussi que les branches complètes partagent une même tension; les trois résistances seules ne sont pas toutes en parallèle, car leurs bornes inférieures ne sont pas toutes reliées au même nœud.

7. Essayer cinq questions avec indices et solutions

Dessinez vos flèches et écrivez vos équations avant d’ouvrir une solution. Pour les questions 4 et 5, reprenez la figure 2 avec seulement le changement indiqué.

8. Repérer une erreur de signe avant de recommencer

• Le signe d’une source change quand vous redessinez une flèche de courant : rétablissez la polarité indiquée. Seule l’inversion des bornes traversées change son signe dans la maille.
• La même résistance porte toujours un signe moins : comparez chaque parcours de maille avec sa flèche de courant de référence. Des mailles différentes peuvent la traverser différemment.
• Vous forcez tous les courants calculés à être positifs : conservez les résultats signés jusqu’à leur interprétation par rapport aux flèches.
• Vous avez trois équations, mais ne pouvez pas déterminer trois courants : vérifiez si une maille a simplement été parcourue à l’envers ou si deux équations de nœud répètent la même information.
• Le bilan au nœud fonctionne, mais pas celui d’une maille : vérifiez le parcours de cette maille, les polarités, les résistances et les calculs. Le respect d’une seule loi ne suffit pas.
• Le résultat présente un facteur 1000 inattendu : cherchez une conversion oubliée entre A et mA ou entre Ω et kΩ.

Pour votre prochain exercice de cours, arrêtez-vous d’abord aux équations indépendantes. À côté de chaque terme de tension, notez « avec la flèche », « contre la flèche », « de − vers + » ou « de + vers − ». Calculez ensuite et vérifiez. En apportant cette mise en équations à un tuteur, le premier terme incohérent permet de cibler la difficulté.

9. Lien avec le cours et références

Pour PHYS 205 Electricity and Magnetism à Concordia, utilisez votre plan de cours pour choisir les méthodes de résolution de circuits à travailler.

Les figures, les exemples numériques et les exercices sont originaux et indépendants de Concordia. Pour une explication distincte du champ et du potentiel, consultez champ électrique et potentiel électrique.

• Université Concordia : descriptions officielles des cours de physique — description du cours PHYS 205.
• OpenStax University Physics, volume 2, section 10.3 : lois de Kirchhoff — lecture complémentaire sur les lois des nœuds et des mailles, en anglais.
• MIT OpenCourseWare : Circuits, chapitre 6 — précisions sur les variables signées et les équations de nœud, en anglais.