Flux de surface avec normales et surfaces de fermeture

Flux et orientation

Pour une surface orientée $S$, on écrit

Ici, $\mathbf n$ est une normale unitaire et $dS$ un élément d’aire positif. Le produit scalaire sélectionne la composante du champ perpendiculaire à la surface. Une contribution positive va dans le sens de la normale choisie; une contribution négative va dans le sens opposé. Un champ tangent apporte une contribution nulle en ce point.

Choisir la normale opposée inverse le signe du flux sans changer l’aire de la surface. Une intégrale nulle peut provenir d’une compensation entre contributions positives et négatives; elle ne prouve pas que le champ s’annule.

L’orientation d’une surface ouverte doit être précisée, par exemple vers le haut ou vers les x positifs. Le mot « extérieure » prend un sens lorsqu’un solide de référence est défini. Pour une frontière fermée, la normale extérieure pointe à l’opposé de l’intérieur du solide, y compris vers l’intérieur d’une cavité.

Un disque contient son cercle de bord, mais reste une surface ouverte dans ce vocabulaire du calcul : il possède un bord et n’enferme pas à lui seul un solide. « Surface fermée » désigne ici une frontière qui enferme complètement un solide, et non simplement un ensemble fermé de points.

Construire le vecteur aire à partir de deux paramètres

Soit $\mathbf r(u,v)$ une paramétrisation qui décrit $S$ une seule fois sur un domaine $D$, à l’exception de bords communs ou de lignes de raccordement. Ses dérivées partielles $\mathbf r_u$ et $\mathbf r_v$ sont tangentes à la surface. Leur produit vectoriel lui est normal :

Sur une portion régulière, $\mathbf A\ne\mathbf0$. La norme du produit vectoriel convertit l’aire dans le domaine des paramètres en aire sur la surface. Elle varie généralement d’un point à l’autre.

Si $\mathbf A$ pointe dans le sens demandé, alors

d’où

Sur chaque portion régulière connexe munie d’une orientation choisie continue, vérifiez le signe en un point simple. Le signe relatif ne peut pas changer sur cette portion sans perdre la régularité ou la continuité. Vérifiez séparément les portions non connexes. Pour une orientation vers le haut, la composante z du vecteur aire doit être positive. Sur une sphère orientée vers l’extérieur, son produit scalaire avec un vecteur radial sortant doit être positif. Si le produit vectoriel pointe du mauvais côté, changez son signe ou inversez l’ordre du produit vectoriel, mais ne faites pas les deux.

Deux calculs sont cohérents : utiliser une normale unitaire avec $dS$, ou utiliser le produit vectoriel non normalisé avec $du\,dv$. Normaliser le produit vectoriel en gardant seulement $du\,dv$ fait perdre le facteur d’aire. Multiplier le produit vectoriel non normalisé par une deuxième norme $\|\mathbf A\|$ compte ce facteur deux fois.

Une seule paramétrisation ne convient pas nécessairement partout. Les coordonnées sphériques dégénèrent notamment à un pôle. On peut employer des portions régulières et passer à la limite; le pôle et la ligne de raccordement ne changent pas les intégrales usuelles considérées ici. Évitez une paramétrisation qui recouvre deux fois une portion d’aire non nulle.

Utiliser la formule pour un graphe

Pour $z=g(x,y)$ au-dessus d’un domaine $D$ du plan xy, prenez

Alors

La dernière composante est positive : ce vecteur représente le vecteur aire par unité de $dx\,dy$, orienté vers le haut. Pour l’orientation vers le bas, on utilise $(g_x,g_y,-1)$.

Si $\mathbf F=(P,Q,R)$, le flux vers le haut vaut

Évaluez chaque composante du champ sur la surface avant de simplifier. L’aire correspondante est $\iint_D\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy$; il s’agit d’une autre intégrale.

Exemple sur une portion de plan

Prenez $z=x+y$, $0\le x\le1$, $0\le y\le1$, avec orientation vers le haut et $\mathbf F=(1,0,2)$. Le vecteur aire par unité de $dx\,dy$ est $(-1,-1,1)$. Ainsi,

Vérifiez avec l’autre convention : la normale unitaire vaut $(-1,-1,1)/\sqrt3$ et l’aire de la portion de plan vaut $\sqrt3$. Les facteurs se compensent et donnent $(1/\sqrt3)\sqrt3=1$. Le flux vers le bas vaut $-1$.

Si vous passez aux coordonnées polaires dans le plan de projection, l’élément d’aire plane change aussi : $dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\theta$. Ce facteur provient du changement de variables dans le plan. Il ne faut pas l’ajouter une deuxième fois après avoir déjà calculé le produit vectoriel complet d’une paramétrisation polaire de la surface.

Essayez la question 1 sur un plan incliné, puis la question 2 sur un graphe courbe.

Vérifier les conditions du théorème de la divergence

Dans la forme usuelle d’un premier cours, soit $E$ un solide borné dont la frontière $\partial E$ est fermée et lisse par morceaux. Supposons que les dérivées partielles premières de $\mathbf F$ sont continues sur un ouvert contenant tout le solide et sa frontière. Avec les normales extérieures,

Avant d’utiliser cette égalité, vérifiez trois points :

1. La surface de gauche contient toute la frontière du solide de droite.
2. Chaque portion de la frontière utilise la normale extérieure à ce même solide.
3. Le champ satisfait la condition de différentiabilité sur un voisinage de tout le solide, y compris son intérieur.

Un champ polynomial satisfait partout la troisième condition. Si un dénominateur s’annule à l’intérieur du solide, le domaine du champ exige une vérification particulière, même lorsque le champ est lisse sur la surface extérieure. Calculer la divergence seulement là où la formule est définie ne rétablit pas une hypothèse manquante.

Pour commencer par une frontière fermée, reprenez le calcul du pavé de MAST 219. Il additionne explicitement les six faces. La question 6 montre pourquoi une singularité à l’intérieur d’une sphère importe.

Fermer une surface ouverte et retirer la contribution signée

Supposons qu’une surface ouverte $S$ et une surface ajoutée $B$ forment ensemble $\partial E$. Elles peuvent se rencontrer le long d’un bord, mais leurs intérieurs ne doivent pas se recouvrir. Orientez les deux vers l’extérieur de $E$. Alors

On soustrait le flux signé de la surface ajoutée. Retirer une contribution négative augmente le résultat. S’il faut plusieurs portions pour fermer la surface, soustrayez leur somme. Si l’orientation demandée sur $S$ est vers l’intérieur, calculez d’abord son flux sortant, puis inversez le signe.

Hémisphère avec un disque de fermeture de flux non nul

Soit $S$ l’hémisphère supérieur courbe de rayon 1,

orienté à l’opposé de l’origine. Le champ est $\mathbf F=(x,y,z+1)$. Le cercle équatorial est le bord de $S$; le disque qu’il délimite n’est pas inclus dans le flux demandé.

Ajoutez le disque $B:\ z=0,\ x^2+y^2\le1$. Ensemble, les deux surfaces délimitent la demi-boule supérieure $E$. Le champ est polynomial, la frontière est lisse par morceaux et $\nabla\cdot\mathbf F=3$. Le flux sortant total vaut donc

Sur le disque, la normale extérieure pointe vers le bas, car le solide se trouve au-dessus. Ainsi, $\mathbf n_B=(0,0,-1)$. À $z=0$, le champ vaut $(x,y,1)$, d’où $\mathbf F\cdot\mathbf n_B=-1$. Par conséquent,

Le résultat $2\pi$ correspondrait au flux de l’hémisphère et du disque réunis. Le résultat $\pi$ proviendrait de la soustraction de la valeur absolue du flux du disque au lieu de sa contribution signée.

Vérifier directement le flux de l’hémisphère

Utilisez la colatitude $\varphi$, mesurée depuis l’axe z positif vers le bas, et l’azimut $\theta$ :

Sur la sphère unité, la normale unitaire extérieure est $\mathbf r$. Dans cet ordre des paramètres,

Son produit scalaire avec le vecteur radial est positif pour $0<\varphi\le\pi/2$, et $dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta$. Comme

on obtient

Le calcul direct et la méthode du disque de fermeture concordent. Ils portent tous deux uniquement sur l’hémisphère et utilisent la même orientation. Pour une frontière située au-dessus de l’équateur, essayez la question 4.

Reconnaître l’intégrale demandée

Une intégrale de surface scalaire comme $\iint_S1\,dS$ mesure une aire et n’utilise pas d’orientation. Le flux $\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$ en utilise une. Une intégrale curviligne $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ suit une courbe orientée et mesure une autre grandeur.

Le théorème de la divergence relie le flux de $\mathbf F$ à travers une frontière fermée à sa divergence dans un solide. Le théorème de Stokes relie la circulation le long d’un bord au flux de $\nabla\times\mathbf F$ à travers une surface d’orientation compatible. Stokes peut utiliser une surface ouverte; cela ne transforme pas pour autant un flux quelconque de $\mathbf F$ en calcul de circulation.

Si la question initiale suit une courbe, utilisez la leçon existante sur les intégrales curvilignes. Pour la surface latérale cylindrique de la question 3, une paramétrisation directe est courte et permet aussi une vérification avec deux disques de fermeture.

Reprendre la première étape non justifiée

• Mauvais signe : écrivez le sens de la normale demandée et testez votre produit vectoriel en un point.
• Mauvaise valeur absolue : précisez si votre normale est unitaire et où intervient le facteur d’aire.
• Mauvais domaine : distinguez le domaine des paramètres, la région de projection, la surface et le solide enfermé.
• Surface de fermeture oubliée : nommez chaque portion de la frontière et conservez sa contribution signée jusqu’à la soustraction finale.
• Théorème inapplicable : vérifiez le domaine du champ sur tout le solide avant d’intégrer sa divergence.

Essayez les six exercices progressifs de flux. Apportez votre croquis et la première étape que vous ne pouvez pas justifier à un tuteur. Reprenez cette étape, puis mettez en équation un problème modifié sans consulter la solution.

Liens avec les cours et références

Cette leçon travaille certaines notions d’intégrales de surface et du théorème de Gauss ou de la divergence de MAST 219 à Concordia et d’ENGR 233 à Concordia. Utilisez-la lorsque votre chapitre porte sur les surfaces et le flux. Ces exercices indépendants ne décrivent aucune évaluation particulière ni son calendrier.

La matière a été vérifiée le 11 octobre 2026 dans le calendrier de mathématiques et le calendrier de génie de Concordia. Les sections d’OpenStax sur les intégrales de surface et le théorème de la divergence, en anglais, offrent des références complémentaires. Les exemples résolus ici ont été créés pour Nablio. Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.