Six exercices de flux de surface avec solutions expliquées

Prenez $\mathbf r(x,y)=(x,y,1+x+2y)$. La composante z de $\mathbf r_x\times\mathbf r_y$ doit être positive. Le rectangle des paramètres a une aire de 2, mais l’aire de la surface inclinée est différente.

Les vecteurs tangents sont $\mathbf r_x=(1,0,1)$ et $\mathbf r_y=(0,1,2)$. Leur produit vectoriel vaut $(-1,-2,1)$ et pointe vers le haut. L’intégrande signé est

Ainsi,

La normale unitaire est $(-1,-2,1)/\sqrt6$ et l’aire de la surface vaut $2\sqrt6$. Le champ et la normale étant constants, le second calcul donne $(3/\sqrt6)(2\sqrt6)=6$. Garder la normale unitaire tout en utilisant seulement l’aire projetée 2 ferait perdre le facteur d’étirement de l’aire. L’orientation vers le bas donne $-6$.

Avant de continuer, identifiez le facteur précis perdu dans ce calcul incorrect avec une normale unitaire. Revoyez l’explication du vecteur aire.

Utilisez $(-2x,-2y,1)\,dx\,dy$ comme élément d’aire vectoriel vers le haut. Après le produit scalaire, passez en coordonnées polaires dans le disque de projection.

L’évaluation du champ sur la surface et le produit scalaire donnent

Pour $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$, le jacobien du changement de variables dans le plan est $\rho$. Donc

La contribution dans le sens de la normale choisie est positive pour $\rho<1/\sqrt2$ et négative pour $\rho>1/\sqrt2$. Le disque intérieur contribue $\pi/4$; la couronne qui l’entoure contribue $-\pi/4$. Les deux se compensent. Le champ n’est jamais nul, car sa troisième composante vaut 1. Il est tangent seulement le long du cercle où sa composante normale s’annule.

Cette surface a un bord à $z=1$ et n’enferme pas à elle seule un solide. Le calcul direct est déjà valide : cette méthode ne demande aucune surface de fermeture. Si le jacobien ou l’élément d’aire posait problème, reprenez la formule pour un graphe avant de réessayer.

Utilisez $\mathbf r(\theta,z)=(2\cos\theta,2\sin\theta,z)$. Vérifiez le sens de $\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z$. Les disques supérieur et inférieur portent des valeurs différentes du champ et des normales extérieures opposées.

Pour $0\le\theta\le2\pi$ et $0\le z\le3$,

Ainsi, $\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z=(2\cos\theta,2\sin\theta,0)$. Ce vecteur pointe vers l’extérieur et sa norme vaut 2. Le champ sur la surface latérale vaut $(2\cos\theta,2\sin\theta,z+1)$, donc le produit scalaire vaut 4. La composante verticale ne contribue pas au flux à travers cette surface.

Pour vérifier avec le théorème, le cylindre solide a un volume $\pi(2)^2(3)=12\pi$. Le champ polynomial a une divergence de 3 : le flux de toute sa frontière fermée vaut donc $36\pi$.

• Disque supérieur : $z=3$, $\mathbf n=\mathbf k$, $\mathbf F\cdot\mathbf n=4$, aire $4\pi$, flux $16\pi$.
• Disque inférieur : $z=0$, $\mathbf n=-\mathbf k$, $\mathbf F\cdot\mathbf n=-1$, aire $4\pi$, flux $-4\pi$.
• Surface latérale : $36\pi-16\pi-(-4\pi)=24\pi$.

La somme vaut $24\pi+16\pi-4\pi=36\pi$. Oublier l’un des disques revient à utiliser le théorème avec une autre frontière. Revoyez la soustraction signée des surfaces de fermeture si ces signes ne correspondent pas à votre croquis.

À la hauteur $z$, la section du solide a une aire $\pi(4-z^2)$. Le disque de fermeture a un rayon $\sqrt3$, et non 2. Pour le calcul direct, utilisez une colatitude $0\le\varphi\le\pi/3$.

La calotte et le disque enferment la partie de la boule située entre $z=1$ et $z=2$. Son volume vaut

Le champ est polynomial et sa divergence vaut 3. Le flux de toute la frontière vaut donc $5\pi$. Sur le disque ajouté, le solide est au-dessus du plan, donc la normale extérieure est $-\mathbf k$. À $z=1$, la troisième composante du champ vaut 2. L’aire du disque est $3\pi$, d’où

Pour vérifier directement, paramétrez la sphère par

La condition de la calotte est $2\cos\varphi\ge1$, ce qui explique la borne supérieure de colatitude. La normale unitaire extérieure est $(x,y,z)/2$. Ainsi,

L’élément d’aire est $4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta$. Par conséquent,

Les deux méthodes concordent pour la seule calotte courbe. Si vos résultats diffèrent, vérifiez le rayon de la sphère dans l’élément d’aire et la borne de colatitude. Reprenez le calcul direct de l’hémisphère.

Le calcul de volume concerne la frontière du solide sous le paraboloïde et au-dessus de $z=0$. Nommez chaque surface de cette frontière avant de décider ce que représente $24\pi$.

Le volume est correctement calculé :

Le champ est lisse partout. Le résultat $24\pi$ est donc le flux sortant total du paraboloïde et de son disque de base réunis. Il manque la soustraction du flux de la base. Le disque a un rayon de 2, une normale $-\mathbf k$ et $\mathbf F\cdot\mathbf n=-1$, ce qui donne $\Phi_B=-4\pi$. Sur le paraboloïde, l’orientation vers le haut est extérieure à ce solide. Donc

Pour le calcul direct, $g_x=-2x$ et $g_y=-2y$. Le vecteur aire par unité de $dx\,dy$, orienté vers le haut, est $(2x,2y,1)$. Sur le graphe, $\mathbf F=(x,y,5-x^2-y^2)$, et le produit scalaire se simplifie en

Ainsi,

L’orientation vers le bas donne le flux opposé, soit $-28\pi$. Le volume enfermé reste identique. Il faut appliquer la convention des normales extérieures du théorème de la divergence avant d’inverser ce signe. Revoyez les conditions du théorème et l’identité avec la surface de fermeture si vous avez traité un volume correct comme une solution complète.

Sur une sphère de rayon $R$, écrivez $\mathbf n=(x,y,z)/R$. Sur le bord intérieur de la coquille, la normale pointe vers l’origine, à l’opposé de la matière de la coquille.

Le champ n’est pas défini à l’origine. Il est lisse sur la sphère, mais pas sur un ouvert contenant la boule pleine. Le théorème usuel de la divergence ne s’applique donc pas à cette boule. Retirer un point de l’intégrale sans tenir compte de la nouvelle frontière ne justifie pas le raisonnement.

Pour vérifier la divergence, posons $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}>0$. La somme des trois dérivées concernées vaut

là où le champ est défini. Ce calcul est correct; c’est son utilisation sur la boule pleine qui pose problème.

Sur une sphère de rayon $R$,

En multipliant par l’aire $4\pi R^2$, on obtient un flux sortant de $4\pi$. La réponse demandée pour le rayon 2 est donc $4\pi$.

La coquille exclut l’origine, et le champ est lisse sur un voisinage de sa fermeture. Sa frontière comporte deux composantes. La sphère extérieure contribue $4\pi$; la sphère intérieure porte la normale radiale opposée et contribue $-4\pi$. Le total $4\pi-4\pi=0$ concorde avec l’intégrale volumique de la divergence nulle sur la coquille. Le théorème fonctionne sur le domaine qui satisfait ses hypothèses.

Si le signe du bord intérieur vous a surpris, relisez l’orientation extérieure en présence d’une cavité. Pour l’hypothèse manquante sur le domaine, revoyez la condition de différentiabilité.