Fonctions exponentielles et logarithmes

Choisissez votre point de départ

Une règle exponentielle donne le résultat de multiplications répétées. Un logarithme répond à la question inverse : combien d’étapes multiplicatives ont produit ce résultat? Construisons ce lien plutôt que de mémoriser une liste de règles.

Parcours débutant : étudiez les sections 1–2, puis les questions 1–4. Vous pouvez modéliser une croissance ou une décroissance, lire un graphe exponentiel et résoudre une équation à base commune sans logarithmes. Parcours avancé : poursuivez avec les sections 3–6 et les questions 5–12 pour déduire les lois des logarithmes, interpréter les graphes réciproques et trouver des seuils moins familiers. La leçon comprend six exemples résolus et douze exercices originaux.

Consultez les bases d’algèbre pour les équations et les exposants, et les fonctions, transformations et réciproques pour le domaine, l’image et les coordonnées. Nous travaillons dans les réels. Les arguments des logarithmes et les exposants sont sans unité; dans un modèle, on utilise un rapport de quantités de même unité ou un temps divisé par une durée.

1. Ajouter la même quantité ou multiplier par le même facteur?

Exemple résolu 1 : distinguer deux modèles

Deux processus idéalisés de stockage commencent avec 80 Mo. Chaque heure, L ajoute 40 Mo; E augmente son total courant de 50 %. Soit $t$ le temps écoulé en heures, et $L(t)$, $E(t)$ les quantités numériques en Mo.

Pour L, les différences successives sont 40, 40, 40 Mo. Pour E, elles sont 40, 60, 90 Mo, mais les rapports valent $120/80=180/120=270/180=1{,}5$. Ainsi, $L(t)=80+40t$, tandis que $E(t)=80(1{,}5)^t$ aux heures entières. Les deux premières observations ne distinguent pas ces règles; la troisième le fait.

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Le modèle général est $Q(t)=Q_0b^{t/\Delta t}$ : $Q_0$ est la quantité initiale, $b$ le facteur par intervalle, et $\Delta t$ la durée de cet intervalle, dans la même unité que $t$. Pour un taux fractionnaire $r$, la croissance donne $b=1+r$; la décroissance donne $b=1-r$, avec $0\lt r\lt 1$. Une perte de 20 % correspond au facteur 0,80, pas 0,20. Un rapport constant sur deux heures est un facteur de deux heures, pas un facteur horaire.

Ces formules supposent un facteur fixe et aucune autre entrée ou sortie. Si les mises à jour se font seulement à chaque heure, utilisez des temps entiers. Les heures fractionnaires exigent l’hypothèse d’un modèle exponentiel continu. Un petit tableau peut être compatible avec un modèle sans prouver qu’il reste valable indéfiniment.

2. Exposants, graphes exponentiels et base commune

Pour une base positive $b$, les multiplications répétées donnent $b^mb^n=b^{m+n}$. La division donne $b^m/b^n=b^{m-n}$, donc $b^0=1$ et $b^{-n}=1/b^n$. De plus, $(b^m)^n=b^{mn}$. Les exposants rationnels prolongent ce raisonnement : $b^{1/n}=\sqrt[n]{b}$ pour un entier positif $n$, et $b^{m/n}=(\sqrt[n]{b})^m$. Les bases positives évitent les difficultés de domaine réel des bases négatives. Ces lois s’étendent aux exposants réels.

Pour $y=b^x$, on exige $b\gt 0$ et $b\ne1$. Le domaine est l’ensemble des réels, l’image est $(0,\infty)$, et le graphe passe par $(0,1)$. Si $b\gt 1$, il est croissant; si $0\lt b\lt 1$, il est décroissant. L’asymptote horizontale est $y=0$ : la valeur s’approche de zéro dans une direction sans jamais l’atteindre. La base 1 donnerait une fonction constante, sans réciproque logarithmique.

Exemple résolu 2 : résoudre sans logarithme

Résolvez $9^{x-1}=27$. Écrivons les deux membres comme puissances de 3 :

$$\begin{aligned}&3^{2(x-1)}=3^3\\ &\Rightarrow 2(x-1)=3\\ &\Rightarrow x=\frac52.\end{aligned}$$

Pourquoi égaler les exposants? La fonction $3^u$ est strictement croissante : deux entrées distinctes ne peuvent donner la même sortie. Vérification : $9^{3/2}=(\sqrt9)^3=27$. L’exposant n’est pas $2x-1$ : le facteur 2 multiplie tout $x-1$.

Pause débutant : essayez maintenant les questions 1–4. Si une base commune est difficile à trouver, un graphe peut estimer la solution. La prochaine section construit l’outil réciproque exact.

3. Un logarithme est un exposant : déduire les lois

Pour $b\gt 0$, $b\ne1$ et $u\gt 0$, $\log_bu=v$ signifie $b^v=u$. Lisez « l’exposant de la base $b$ qui donne $u$ ». Ainsi, $\log_2 8=3$, $\log_2(1/4)=-2$ et $\log_b1=0$. Un logarithme peut être négatif; son argument réel doit être strictement positif.

Exemple résolu 3 : déduire les lois, puis les utiliser

Posons $p=\log_bM$ et $q=\log_bN$, avec $M,N\gt 0$. Alors $M=b^p$ et $N=b^q$, donc $MN=b^{p+q}$. L’exposant qui produit ce résultat est $\log_b(MN)=p+q$. De même, $M/N=b^{p-q}$, et pour une puissance réelle $r$, $M^r=b^{pr}$. Ainsi :

$$\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_bM+\log_bN,\\\log_b(M/N)&=\log_bM-\log_bN,\\\log_b(M^r)&=r\log_bM.\end{aligned}$$

Appliquons ces lois à $\log_2(\sqrt{32}/4)$ : $\tfrac12\log_2 32-\log_2 4=\tfrac12(5)-2=\tfrac12$. Vérification directe : $\sqrt{32}/4=\sqrt2=2^{1/2}$. Avec des variables, chaque argument logarithmique original doit rester positif.

Il n’existe pas de loi analogue pour une somme : $\log_2(4+4)=3$, mais $\log_2 4+\log_2 4=4$. De plus, $\log_b(x^2)=2\log_bx$ n’est pas valable pour $x$ négatif; pour tout réel non nul $x$, la formule correcte est $2\log_b|x|$.

Sur une calculatrice, $\log$ désigne ici la base 10; $\ln$ désigne la base $e$, avec $e\approx2{,}71828$. Pour changer de base, écrivez $b^v=u$, puis prenez le logarithme naturel : $v\ln b=\ln u$, donc $\log_bu=\ln u/\ln b$. Le dénominateur est non nul car $b\ne1$. Utilisez la même base logarithmique au numérateur et au dénominateur.

4. Les graphes réciproques échangent domaine, image et asymptotes

Les fonctions $b^x$ et $\log_bx$ s’annulent mutuellement : $\log_b(b^x)=x$ pour tout réel $x$, et $b^{\log_bu}=u$ pour $u\gt 0$. Les points de leurs graphes échangent leurs coordonnées. En base 2, $(0,1),(1,2),(2,4)$ deviennent $(1,0),(2,1),(4,2)$. C’est une réflexion par rapport à $y=x$, pas à un axe.

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Le logarithme a pour domaine $(0,\infty)$, pour image l’ensemble des réels et passe par $(1,0)$. Il est croissant si $b\gt 1$, décroissant si $0\lt b\lt 1$. Une asymptote décrit une approche; elle n’est pas un point du graphe.

Exemple résolu 4 : un logarithme transformé et sa réciproque

Soit $g(x)=\log_2(x-3)+1$. L’argument exige $x-3\gt 0$, donc le domaine est $(3,\infty)$. L’image est l’ensemble des réels et l’asymptote verticale est $x=3$. Le point parent $(1,0)$ devient $(4,1)$. Pour l’intersection avec l’axe des x, $0=\log_2(x-3)+1$ donne $x-3=2^{-1}=1/2$, donc $x=3{,}5$.

Pour inverser la règle, écrivez $y-1=\log_2(x-3)$, puis $x=3+2^{y-1}$. Ainsi, $g^{-1}(x)=3+2^{x-1}$, de domaine réel, d’image $(3,\infty)$ et d’asymptote horizontale $y=3$. Vérifiez : $g(5)=2$, puis $g^{-1}(2)=5$.

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5. Résoudre sans perdre le domaine original

Exemple résolu 5 : regrouper des logarithmes peut cacher une restriction

Résolvez $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$. Avant de regrouper, exigez $x-1\gt 0$ et $x-3\gt 0$, donc $x\gt 3$. Sur ce domaine, la loi du produit donne

$$\begin{aligned}&\log_2((x-1)(x-3))=3\\ &\Rightarrow (x-1)(x-3)=8\\ &\Rightarrow x^2-4x-5=0\\ &\Rightarrow (x-5)(x+1)=0.\end{aligned}$$

Les candidats algébriques sont 5 et −1. Seul 5 appartient au domaine original. Vérifiez : $\log_2 4+\log_2 2=2+1=3$. Pour −1, les deux arguments originaux sont négatifs, même si leur produit est positif. L’expression regroupée a un domaine plus grand que la somme originale si l’on oublie les restrictions.

Pour une équation exponentielle sans base commune pratique, isolez d’abord l’exponentielle, puis prenez un logarithme. Par exemple, $3^{2x-1}=7$ devient $(2x-1)\ln3=\ln7$, d’où $x=(1+\ln7/\ln3)/2$. Si l’isolement donne plutôt $3^{2x-1}=-7$, il n’existe aucune solution réelle : les puissances d’une base positive sont positives. Un message d’erreur de calculatrice ne remplace pas ce raisonnement.

Procédez ainsi : restrictions → isolement ou regroupement approprié → résolution → vérification dans l’équation originale. Un logarithme est une fonction, pas un facteur que l’on peut simplifier de part et d’autre d’une somme.

6. Seuils : résoudre, interpréter et vérifier l’intervalle

Exemple résolu 6 : atteindre un seuil de décroissance, puis comparer une croissance

Un échantillon idéalisé de 120 g conserve 80 % de sa masse toutes les 3 heures. Supposons une décroissance exponentielle continue, à facteur constant, sans ajout de matière. Soit $t\ge0$ le temps écoulé en heures et $M(t)=120(0{,}8)^{t/3}$ la masse en grammes. L’exposant compte les intervalles de trois heures. Quand la masse vaut-elle au plus 50 g?

$$\begin{aligned}&120(0{,}8)^{t/3}\le50\\ &\Rightarrow (0{,}8)^{t/3}\le\frac5{12}\\ &\Rightarrow \frac t3\ln(0{,}8)\le\ln(5/12).\end{aligned}$$

Le logarithme naturel est croissant : son application conserve le sens de l’inégalité. Mais $\ln(0{,}8)\lt 0$, donc la division renverse ce sens :

$$t\ge3\frac{\ln(5/12)}{\ln(0{,}8)}\approx11{,}77\text{ heures}.$$

L’égalité donne l’instant du franchissement; tous les temps suivants respectent la condition. Si l’échantillon est observé seulement toutes les 3 heures, la première observation admissible est à 12 heures : $M(9)=61{,}44$ g, mais $M(12)=49{,}152$ g. N’arrondissez pas 11,77 vers le bas et ne confondez pas 3,92 intervalles avec 3,92 heures.

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En comparaison, un stockage initial de 80 Mo qui croît de 50 % par heure atteint au moins 250 Mo lorsque $80(1{,}5)^t\ge250$. Ainsi, $t\ge\ln(250/80)/\ln(1{,}5)\approx2{,}81$ heures dans un modèle continu. Ici, $\ln(1{,}5)\gt 0$, donc le sens ne change pas. Avec des mises à jour aux heures entières, la première admissible est à l’heure 3 : 180 Mo à l’heure 2, 270 Mo à l’heure 3.

Dans les deux cas, divisez la cible par la quantité initiale avant de prendre les logarithmes : 50 g / 120 g et 250 Mo / 80 Mo sont sans unité. Vérifiez le facteur, l’unité de temps, le sens de variation et l’horaire des observations. Une croissance réelle peut ralentir quand les ressources s’épuisent; utilisez le modèle seulement lorsque ses hypothèses restent raisonnables.

Douze exercices progressifs et de transfert

Essayez chaque question avant d’ouvrir un indice. Les questions 1–4 suivent le parcours débutant; 5–10 ajoutent les logarithmes; 11–12 transfèrent les idées à un nouveau modèle.

1. À intervalles égaux de deux heures, une quantité vaut 50, 60, 72, 86,4 L. Un modèle linéaire ou exponentiel convient-il? Donnez son facteur et sa règle, avec $t$ en heures.

   Indice facultatif 1

   Comparez les rapports successifs. Le facteur correspond à deux heures.

   Solution expliquée 1

   Les rapports valent tous 1,2; les différences valent 10, 12, 14,4 L. Un modèle exponentiel convient : $Q(t)=50(1{,}2)^{t/2}$ L, avec départ à $t=0$. Un prolongement continu exige une hypothèse supplémentaire; les observations seules ne le justifient pas.

2. Évaluez exactement $16^{-3/4}$. Expliquez le dénominateur 4 et le signe négatif de l’exposant.

   Indice facultatif 2

   Prenez une racine quatrième, élevez au cube, puis prenez l’inverse.

   Solution expliquée 2

   $16^{1/4}=2$, donc $16^{-3/4}=1/2^3=1/8$. L’exposant négatif indique un inverse multiplicatif, pas une valeur négative.

3. Pour $f(x)=(1/3)^x$, donnez le domaine, l’image, l’ordonnée à l’origine et l’asymptote horizontale. La fonction est-elle croissante ou décroissante?

   Indice facultatif 3

   La base est entre 0 et 1. Essayez x = −1, 0, 1.

   Solution expliquée 3

   Les valeurs 3, 1, 1/3 diminuent. Domaine : tous les réels. Image : $(0,\infty)$. Intersection : $(0,1)$. Asymptote : $y=0$, approchée lorsque x augmente; zéro n’est jamais atteint.

4. Résolvez $4^{x+1}=8^{x-1}$ à l’aide d’une base commune.

   Indice facultatif 4

   Utilisez la base 2 et multipliez chaque exposant au complet.

   Solution expliquée 4

   $2^{2x+2}=2^{3x-3}$, donc $2x+2=3x-3$ et $x=5$. Vérification : $4^6=8^4=4096$.

5. Évaluez $\log_3(1/27)$ et $\log_{1/2}8$. Pourquoi les deux réponses sont-elles permises?

   Indice facultatif 5

   Traduisez chaque question en une équation exponentielle.

   Solution expliquée 5

   Les deux réponses sont −3 : $3^{-3}=1/27$ et $(1/2)^{-3}=8$. Chaque argument est positif et chaque base est positive et différente de 1. Une sortie négative ne pose aucun problème de domaine.

6. Pour $u\gt 0$, développez $\ln(5u^2/\sqrt3)$. Expliquez ensuite pourquoi remplacer $u\gt 0$ par $u\ne0$ modifie la forme développée.

   Indice facultatif 6

   Appliquez les lois du produit, du quotient et de la puissance; vérifiez l’argument de chaque nouveau logarithme.

   Solution expliquée 6

   Pour $u\gt 0$, on obtient $\ln5+2\ln u-\tfrac12\ln3$. Pour tout $u\ne0$, l’expression originale existe, mais $\ln u$ peut ne pas exister; utilisez $\ln5+2\ln|u|-\tfrac12\ln3$.

7. Donnez le domaine, l’image, l’asymptote verticale et l’intersection avec l’axe des x de $h(x)=\log_3(x+2)-1$.

   Indice facultatif 7

   L’argument doit être positif. Pour l’intersection, posez la sortie entière égale à zéro.

   Solution expliquée 7

   Domaine : $(-2,\infty)$; image : tous les réels; asymptote : $x=-2$. De $\log_3(x+2)=1$, on tire $x+2=3$, donc l’intersection est $(1,0)$. L’asymptote est exclue.

8. Trouvez la réciproque de $h(x)=\log_3(x+2)-1$, son domaine et son image; vérifiez une paire de points.

   Indice facultatif 8

   Inversez la translation de sortie, le logarithme, puis la translation d’entrée, dans cet ordre.

   Solution expliquée 8

   De $y+1=\log_3(x+2)$, on tire $x=3^{y+1}-2$. Donc $h^{-1}(x)=3^{x+1}-2$, de domaine réel et d’image $(-2,\infty)$. Puisque $h(1)=0$, la réciproque donne $h^{-1}(0)=1$.

9. Résolvez $5^{2x}=17$. Donnez une valeur exacte et une approximation à trois décimales.

   Indice facultatif 9

   Prenez le même logarithme des deux côtés, puis appliquez la loi de la puissance.

   Solution expliquée 9

   $2x\ln5=\ln17$, donc $x=\ln17/(2\ln5)\approx0{,}880$. Les deux membres sont positifs; la substitution de la valeur exacte redonne 17.

10. Résolvez $\log_3(x+1)+\log_3(x-1)=1$, en vérifiant le domaine original.

    Indice facultatif 10

    Exigez que chaque argument soit positif avant de former le produit.

    Solution expliquée 10

    Le domaine original est $x\gt 1$. L’équation du produit donne $(x+1)(x-1)=3$, donc $x^2=4$, d’où les candidats ±2. Seul $x=2$ reste : $\log_3 3+\log_3 1=1$. Pour −2, les logarithmes originaux ne sont pas définis.

11. Transfert : un modèle double une quantité initiale de 30 Mo toutes les 4 heures. Avec une croissance exponentielle continue, quand atteint-il 200 Mo? Si les observations ont lieu aux heures entières, laquelle atteint la cible en premier?

    Indice facultatif 11

    Utilisez $Q(t)=30\cdot2^{t/4}$. Cherchez le temps, pas le nombre d’intervalles de doublement.

    Solution expliquée 11

    $t=4\ln(200/30)/\ln2\approx10{,}948$ h. Le modèle étant croissant, il respecte le seuil aux temps suivants. La première observation à une heure entière est à 11 h. À 10 h, la quantité vaut environ 169,71 Mo; à 11 h, environ 201,82 Mo.

12. Transfert et nouvel essai : un échantillon conserve 90 % de sa masse toutes les 2 heures, à partir de 200 g. Avec une décroissance exponentielle continue, quand vaut-il au plus 100 g? Quelle observation aux deux heures convient en premier? Recommencez avec un seuil de 80 g.

    Indice facultatif 12

    Utilisez $200(0{,}9)^{t/2}$. La division par $\ln(0{,}9)$ renverse l’inégalité; une observation prévue doit être un multiple de 2 heures.

    Solution expliquée 12

    Pour 100 g, $t\ge2\ln(1/2)/\ln(0{,}9)\approx13{,}16$ h; première observation : 14 h. À 12 h, la masse vaut 106,2882 g; à 14 h, 95,65938 g. Pour 80 g, $t\ge2\ln(0{,}4)/\ln(0{,}9)\approx17{,}39$ h; première observation : 18 h. À 16 h, elle vaut environ 86,09 g; à 18 h, environ 77,48 g. Un seuil de décroissance plus bas prend plus de temps.

Pour faire le point : pouvez-vous expliquer pourquoi les intervalles doivent être égaux, pourquoi les arguments des logarithmes restent positifs et pourquoi l’instant continu diffère parfois de la première observation prévue? Reprenez les sections 1, 5 ou 6 au besoin.

Contexte des cours et prochaine étape

Le programme ontarien de mathématiques distingue les fonctions exponentielles de 11e année, MCR3U (pages imprimées 48–49), des fonctions exponentielles et logarithmiques de 12e année, MHF4U (pages 87–89). Le parcours débutant vise certaines bases exponentielles; le parcours avancé ajoute les lois logarithmiques, les graphes réciproques, les équations et les applications. Cela ne signifie pas que les logarithmes sont exigés dans le volet exponentiel de 11e année.

L’annuaire officiel de Concordia inclut les fonctions exponentielles et logarithmiques et les transformations dans MATH 201, Elementary Functions. Ces exercices originaux ciblent certaines notions : ils ne constituent ni un document officiel, ni une révision complète du cours, ni une garantie de matière à l’examen. Consultez le plan actuel de votre section pour la matière évaluée.

Pour relier un graphe, une équation et son domaine, le tutorat en algèbre et précalcul peut vous aider à avancer à votre rythme. Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.