Opérations sur les lignes : pourquoi les solutions restent les mêmes

Nablio · 8 minPublié le 11 septembre 2026

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Ces notions de base en algèbre linéaire sont utiles en MATH 204 à Concordia et en MATH 133 à McGill; l’ordre des sujets et le rythme des cours peuvent varier.

Une solution d’un système doit satisfaire toutes les équations à la fois. L’élimination remplace les équations par des équations plus simples qui ont exactement les mêmes solutions communes. Il n’est pas nécessaire de conserver la forme de chaque équation.

Cette distinction explique pourquoi les opérations sur les lignes fonctionnent. Chaque opération permise est réversible : elle ne fait perdre aucune solution existante et n’en crée aucune nouvelle. Comprendre ce principe permet de vérifier le raisonnement autant que les calculs.

Les droites x + 2y = 7 et 3x − y = 7 se croisent en (3, 2). Soustraire trois fois la première équation de la deuxième donne −7y = −14. — Une solution doit appartenir aux deux droites. Les opérations permises préservent leur solution commune, même si une droite change.

Voir le schéma en grand (1200 × 800)

1. Utiliser des opérations réversibles

Vous pouvez échanger deux équations, multiplier une équation par un nombre non nul ou ajouter à une équation un multiple d’une autre. La réversibilité est essentielle : multiplier par 2 se défait en divisant par 2; ajouter trois fois une équation conservée se défait en la soustrayant trois fois. Multiplier une équation par zéro est différent. Cela détruit l’information qu’elle contient, et aucune opération inverse ne permet de la récupérer. Dans une matrice augmentée, les nombres avant la barre sont les coefficients et le dernier nombre est la constante. Une opération sur une ligne doit agir sur l’équation entière, y compris cette constante. Dans ce guide, les deux premières colonnes correspondent toujours à $x$ puis à $y$ . Ainsi, la ligne $[2,-4\mid10]$ représente $2x-4y=10$ .

Exemple expliqué

Opérations élémentaires permises sur les lignes : • Échanger deux lignes. • Multiplier une ligne par un nombre non nul. • Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne. Par exemple, diviser $\left[\begin{array}{cc|c}2&-4&10\end{array}\right]$ par 2 donne $\left[\begin{array}{cc|c}1&-2&5\end{array}\right]$ .

À éviter. Remplacer une ligne par une copie d’une autre peut faire perdre de l’information. Ce n’est pas la même opération réversible que lui ajouter un multiple d’une autre ligne.

À vous d’essayer

Un étudiant divise $\left[\begin{array}{cc|c}6&-9&15\end{array}\right]$ par 3 et écrit $\left[\begin{array}{cc|c}2&-3&15\end{array}\right]$ . Quelle est l’erreur? Pourrait-il plutôt multiplier la ligne initiale par zéro?

Voir la réponse et le raisonnement

La constante doit aussi être divisée par 3, ce qui donne $\left[\begin{array}{cc|c}2&-3&5\end{array}\right]$ . Multiplier par zéro n’est pas une opération élémentaire permise : cela remplacerait la contrainte par $0=0$ , en faisant perdre de l’information impossible à récupérer.

2. Résoudre un système et vérifier la solution

Résolvons $x+2y=7$ et $3x-y=7$ . Remplaçons la deuxième équation par elle-même moins trois fois la première. Toute solution initiale satisfait cette nouvelle équation. Inversement, puisque la première équation a été conservée, l’ajouter trois fois permet de retrouver la deuxième équation initiale. Le nouveau système a donc exactement les mêmes solutions. Divisons ensuite la deuxième équation par $-7$ pour obtenir $y=2$ , puis soustrayons deux fois cette ligne de la première pour obtenir $x=3$ . Géométriquement, l’élimination peut remplacer une droite tout en préservant le point commun aux deux droites. Dans la notation ci-dessous, $R_1$ et $R_2$ désignent les première et deuxième lignes courantes; $\leftarrow$ signifie « remplacer par ». Seule la ligne à gauche de la flèche change à cette étape.

Exemple expliqué

Matrice augmentée initiale : $\left[\begin{array}{cc|c}1&2&7\\3&-1&7\end{array}\right]$ $R_2\leftarrow R_2-3R_1$ : $\left[\begin{array}{cc|c}1&2&7\\0&-7&-14\end{array}\right]$ $R_2\leftarrow-\frac{1}{7}R_2$ : $\left[\begin{array}{cc|c}1&2&7\\0&1&2\end{array}\right]$ $R_1\leftarrow R_1-2R_2$ : $\left[\begin{array}{cc|c}1&0&3\\0&1&2\end{array}\right]$ Solution : $x=3$ , $y=2$ . Vérification : $3+2(2)=7$ et $3(3)-2=7$ .

À éviter. Accepter les lignes finales sans vérifier la solution proposée dans les équations initiales. Une erreur de transcription ou de calcul peut donner une solution à un autre système.

À vous d’essayer

Résolvez $x-y=1$ et $2x+y=11$ par élimination, puis vérifiez votre réponse.

Voir la réponse et le raisonnement

Soustrayez deux fois la première équation de la deuxième : $3y=9$ . Donc $y=3$ , puis la première équation donne $x=4$ . La vérification donne $4-3=1$ et $2(4)+3=11$ . Les deux équations initiales sont satisfaites.

3. Lire chaque ligne finale comme une équation

Tous les systèmes ne donnent pas une valeur unique pour chaque variable. Une ligne $\left[\begin{array}{cc|c}0&0&3\end{array}\right]$ signifie $0=3$ : c’est une contradiction, donc le système n’a aucune solution. Une ligne $\left[\begin{array}{cc|c}0&0&0\end{array}\right]$ signifie $0=0$ : cette ligne n’ajoute aucune contrainte. À elle seule, une ligne nulle n’indique pas combien de solutions restent. Examinez les autres lignes pour repérer une éventuelle contradiction et déterminer si des variables sont libres. Un système compatible, c’est-à-dire qui possède au moins une solution, admet une infinité de solutions réelles s’il a une variable libre. Les variables libres peuvent recevoir des valeurs réelles choisies indépendamment. Une fois toutes leurs valeurs choisies, les équations restantes déterminent les autres inconnues.

Exemple expliqué

$\left[\begin{array}{cc|c}0&0&3\end{array}\right]$ représente $0x+0y=3$ : impossible. $\left[\begin{array}{cc|c}0&0&0\end{array}\right]$ représente $0x+0y=0$ : toujours vrai.

À vous d’essayer

Les deux systèmes ont pour première ligne $\left[\begin{array}{cc|c}1&2&5\end{array}\right]$ . Le système A a pour deuxième ligne $\left[\begin{array}{cc|c}0&0&0\end{array}\right]$ ; le système B a $\left[\begin{array}{cc|c}0&0&3\end{array}\right]$ . Combien de solutions chacun possède-t-il?

Voir la réponse et le raisonnement

Le système A a une infinité de solutions. Choisissez n’importe quel nombre réel $t$ , posez $y=t$ , puis $x=5-2t$ . Le système B n’a aucune solution, car sa deuxième ligne exige l’égalité impossible $0=3$ .

Votre prochaine séance de révision

Pour votre prochain système, écrivez chaque opération sur les lignes avant de l’effectuer. Incluez la constante dans tous les calculs, traduisez les lignes finales en équations et vérifiez toute solution proposée dans le système initial.
Refaites un problème résolu un ou deux jours plus tard, en expliquant à voix haute pourquoi chaque opération est réversible.

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