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Université de Toronto · St. George · Guide de pratique indépendant

MAT148H1 : calcul différentiel avec démonstrations

Exercez-vous à transformer un calcul en raisonnement justifié. Commencez par un court exercice sur la continuité et la dérivée, puis choisissez l’étape à travailler.

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Quelles notions travailler?

La matière officielle comprend logique, quantificateurs, ensembles, récurrence, limites, continuité, dérivation et théorème des accroissements finis. Le plan de votre section précise l’ordre des sujets et la matière évaluée.

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Vérifier la continuité et la dérivabilité au raccord

Essayez cet exercice après avoir étudié la continuité et la définition de la dérivée. C’est un exemple ciblé de raisonnement, pas un test de préparation à l’ensemble du cours. Il s’agit d’un exercice original, et non d’une évaluation de U of T.

Soit x une variable réelle, et soient a et b des constantes réelles. La fonction f est définie sur tous les réels par :

Si x<1x<1 : f(x)=ax+bf(x)=ax+b.

f(1)=3f(1)=3.

Si x>1x>1 : f(x)=x2+2f(x)=x^2+2.

  1. Trouvez tous les couples (a,b)(a,b) pour lesquels f est continue en 1.
  2. Parmi ces couples, trouvez tous ceux pour lesquels f est dérivable en 1. Justifiez la réponse avec le quotient de différences.
Voir un indice

comparez les deux limites unilatérales de f à f(1)f(1), puis les deux limites unilatérales du quotient de différences.

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  1. Vérifier la continuité

    Lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures, ax+bax+b tend vers a+ba+b. Par valeurs supérieures, x2+2x^2+2 tend vers 3. Pour la continuité, ces deux limites doivent égaler la valeur attribuée f(1)=3f(1)=3. La continuité équivaut donc à a+b=3a+b=3.

  2. Utiliser le quotient de différences

    Notons h un déplacement réel non nul à partir de 1 : le point voisin est 1+h1+h. Un h négatif correspond au côté gauche, et un h positif au côté droit. La dérivée est la limite, lorsque h tend vers zéro, de :

    f(1+h)−f(1)h.\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.

    Avec a+b=3a+b=3, pour h<0h<0, ce quotient vaut :

    a(1+h)+b−3h=ahh=a.\begin{gathered}\frac{a(1+h)+b-3}{h}\\=\frac{ah}{h}=a.\end{gathered}

    Pour h>0h>0, il vaut :

    (1+h)2+2−3h=2h+h2h=2+h.\begin{gathered}\frac{(1+h)^2+2-3}{h}\\=\frac{2h+h^2}{h}\\=2+h.\end{gathered}

  3. Comparer les deux limites finies

    Les limites du quotient sont a et 2. Elles doivent être égales et finies : a=2a=2. La continuité donne alors b=1b=1. Réciproquement, ces valeurs donnent les quotients 2 à gauche et 2+h2+h à droite, qui tendent tous deux vers 2. L’unique couple donnant la dérivabilité est donc (2,1)(2,1), et f′(1)=2f^\prime(1)=2.

Ce que l’exercice vérifie : la continuité compare les valeurs voisines à f(1)f(1). La dérivabilité compare aussi les taux de variation. Faire coïncider les valeurs ne suffit pas à établir l’existence de la dérivée.

À vous de poursuivre

1. Garder la continuité; vérifier la pente

Prenez a=0a=0 et b=3b=3. La fonction f est-elle continue en 1? Y est-elle dérivable? Justifiez les deux réponses avant de consulter la solution.

Voir la solution

Elle est continue, car a+b=3a+b=3. Les limites unilatérales du quotient de différences sont 0 et 2 : la dérivée en 1 n’existe donc pas. Le graphique présente un point anguleux. C’est un contre-exemple à l’affirmation selon laquelle toute fonction continue serait dérivable.

2. Trouver la condition oubliée

Une personne dérive les deux formules, fait coïncider leurs pentes en 1, puis choisit a=2a=2 et b=0b=0. Pourquoi le raisonnement est-il incomplet?

Voir la solution

La limite à gauche vaut 2, tandis que f(1)f(1) et la limite à droite valent 3. Le raccord n’est pas continu. Plus directement, le quotient à gauche est :2(1+h)−3h=2−1h.\begin{gathered}\frac{2(1+h)-3}{h}\\=2-\frac{1}{h}.\end{gathered}Ce quotient n’a pas de limite finie lorsque h tend vers zéro par valeurs négatives. La dérivée d’une branche hors du raccord n’établit pas la dérivée au raccord.

3. Preuve facultative : pourquoi la dérivabilité entraîne la continuité

Soit g une fonction réelle définie sur un intervalle ouvert contenant 1. Supposons que g′(1)g^\prime(1) existe et soit finie. Utilisez l’identité suivante pour démontrer que g est continue en 1.

g(1+h)−g(1)=h⋅g(1+h)−g(1)h,h≠0.\begin{gathered}g(1+h)-g(1)\\=h\cdot\frac{g(1+h)-g(1)}{h},\\h\ne0.\end{gathered}

Voir la solution

Le quotient tend vers g′(1)g^\prime(1), et h tend vers zéro. La limite du produit est 0 · g′(1)g^\prime(1) = 0. Donc g(1+h)g(1+h) tend vers g(1)g(1), ce qui exprime la continuité en 1. Le premier exercice montre pourquoi la réciproque est fausse.

Pratique autonome

Choisir une ressource gratuite pour la suite

Ces ressources portent sur des notions communes. Leurs liens vers d’autres cours ne rendent pas ces cours équivalents à MAT148H1.

Quoi travailler avec un tuteur

Apportez une question ou une notion à expliquer, même si vous n’avez pas commencé de solution. Si vous avez essayé d’utiliser une définition ou un théorème, vous pouvez joindre ce travail. Votre tuteur peut vous aider à :

  • Séparer les hypothèses de la conclusion avant de commencer une preuve.
  • Choisir la bonne branche d’une fonction par morceaux et préciser où un quotient est défini.
  • Repérer la première étape injustifiée, puis vous laisser corriger le raisonnement.
  • Modifier une hypothèse et expliquer si la conclusion reste valable.

Vous pouvez choisir ensemble la première étape ou reprendre le point où votre raisonnement est devenu moins clair.

Questions sur le cours et le tutorat

Quel code utiliser : MAT137Y1, MAT148H1 ou MAT149H1?

Les fiches MAT148H1 et MAT149H1 du calendrier indiquent toutes deux MAT137Y1 comme ancien code. Ce guide porte sur MAT148H1; MAT149H1 est un cours distinct portant sur les intégrales et les séries. Vérifiez votre plan actuel ou votre dossier d’inscription, surtout si vous utilisez du matériel ancien de MAT137.

MAT148H1 correspond-il à MAT135H1 ou à MAT136H1?

Ce sont des cours distincts. MAT135H1 développe le calcul différentiel appliqué, dont l’approximation affine et la méthode d’Euler. MAT136H1 poursuit cette séquence avec les intégrales, les séries et les équations différentielles. MAT148H1 inclut explicitement des fondements axés sur les preuves. Utilisez le guide de votre cours; U of T confirme les conditions d’admission, exclusions et substitutions.

Quel est le préalable?

La fiche MAT148H1 indique le calcul de niveau secondaire. Pour vous préparer, révisez la notation fonctionnelle, l’algèbre et la formulation claire des hypothèses. Ces conseils d’étude ne sont pas des conditions d’inscription supplémentaires. Consultez la fiche officielle pour les exclusions.

Cette page confirme-t-elle une section à l’automne 2026?

U of T classe MAT148H1 parmi les nouveaux cours approuvés pour l’automne 2026. Cette approbation ne confirme à elle seule ni une section précise ni une place disponible. Consultez l’horaire officiel et le site de votre cours pour les modalités actuelles.

Puis-je demander du tutorat en français ou réserver immédiatement?

Le site et ce guide sont disponibles en français; les séances de tutorat se déroulent en anglais. Indiquez votre code de cours, votre sujet et vos disponibilités. Vous pouvez joindre une question ou ce que vous avez commencé, mais une tentative de solution n’est pas nécessaire. Nablio confirme les sujets couverts, les disponibilités et les modalités avant le paiement. Une demande ne réserve pas de séance.

S’agit-il de matériel officiel de U of T?

Non. Nablio est indépendant de l’université. Cette page propose des exercices originaux et des liens vers les renseignements officiels. Le titre officiel est Calculus I with Proofs; le titre français est une traduction descriptive. Respectez les règles de votre enseignant pour le travail évalué; un tuteur peut vous aider à comprendre et à corriger votre propre raisonnement.